高中數(shù)學(xué) 3-2-5第5課時(shí) 利用向量知識(shí)求距離同步檢測(cè) 新人教A版選修2-1

3.2第5課時(shí) 利用向量知識(shí)求距離一、選擇題1正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，O是A1C1的中點(diǎn)，則O到平面ABC1D1的距離為()A.B.C.D.答案B解析以、為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，平面ABC1D1的法向量(1,0,1)，點(diǎn)O到平面ABC1D1的距離d.2已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，棱A1A5，AB12，那么直線B1C1和平面A1BCD1的距離是()A5B.C. D8答案C解析解法一：B1C1BC，且B1C1平面A1BCD1，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1.從而點(diǎn)B1到平面A1BCD1的距離即為所求過(guò)點(diǎn)B1作B1EA1B于E點(diǎn)BC平面A1ABB1，且B1E平面A1ABB1，BCB1E.又BCA1BB，B1E平面A1BCD1，在RtA1B1B中，B1E，因此直線B1C1和平面A1BCD1的距離為.解法二：以D為原點(diǎn)，、的方向?yàn)閤、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,12,0)，D1(0,0,5)，設(shè)B(x,12,0)，B1(x,12,5)(x0)設(shè)平面A1BCD1的法向量n(a，b，c)，由n，n得n·(a，b，c)·(x,0,0)ax0，a0，n·(a，b，c)·(0，12,5)12b5c0，bc，可取n(0,5,12)，(0,0，5)，B1到平面A1BCD1的距離d.3將銳角為60°，邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD沿較短的對(duì)角線折成60°的二面角，則AC與BD間的距離為()A.aB.aC.aD.a答案C解析折起后如圖，取BD中點(diǎn)M，則AMBD，CMBD，取AC中點(diǎn)N，則BNAC，DNAC故AC平面BDN，BD平面AMC.連結(jié)MN則MNAC且MNBD，MN即為AC與BD間的距離，可求得MNa.4正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則平面AB1D1與平面BDC1的距離為()A.B.C.D.答案D解析以A為原點(diǎn)，AB、AD、AA1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)設(shè)平面AB1D1的法向量為n(x，y，z)，則，令z1，則n(1,1，1)，顯然n·0，n·0，n也是平面BDC1的法向量，平面AB1D1平面BDC1，其距離為d.5正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為BB1的中點(diǎn)，則|MN|的長(zhǎng)為()A.a B.aC.a D.a答案A解析設(shè)a，b，c，則|a|b|c|a，a·bb·cc·a 0，由條件知，()()()(2ac)(cab)abc，|22(2abc)2(4|a|2|b|2|c|24a·b2a·cb·c)，|a.6二面角l等于120°，A、B是棱l上兩點(diǎn)，AC、BD分別在半平面、內(nèi)，ACl，BDl，且ABACBD1，則CD的長(zhǎng)等于()A.B.C2D.答案C解析如圖二面角l等于120°，與夾角為60°.由題設(shè)知，|1，|2|2|2|2|22·2·2·32×cos60°4，|2.7ABC中，C90°，點(diǎn)P在ABC所在平面外，PC17，點(diǎn)P到AC、BC的距離PEPF13，則點(diǎn)P到平面ABC的距離等于()A7 B8C9 D10答案A解析解決本題的關(guān)鍵在于找點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影易知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影在C的角平分線上8已知夾在兩平行平面、內(nèi)的兩條斜線段AB8 cm，CD12 cm，AB和CD在內(nèi)的射影的比為35，則、間的距離為()A.cm B.cmC.cm D.cm答案C解析設(shè)、間距離為d，AB、CD在內(nèi)的射影長(zhǎng)分別為3x,5x，由解得d.二、填空題9矩形ABCD中，BCA30°，AC20，PA平面ABCD，且PA5，則P到BC的距離為_(kāi)答案5解析由已知得AB20sin30°10，又PA5，PB5.10在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)B1到平面ABC1的距離為_(kāi)答案解析解法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，則，(0,1,0)，(0,1，1)，設(shè)平面ABC1的法向量為n(x，y,1)，則有，解得n，則d.h.11在底面是直角梯形的四棱錐PABCD中，側(cè)棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90°，PAABBC2，AD1，則AD到平面PBC的距離為_(kāi)答案解析由已知AB，AD，AP兩兩垂直以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，(2,0，2)(0,2,0)，設(shè)平面PBC的法向量為n(a，b，c)，則，n(1,0,1)，又AB(2,0,0)，d.三、解答題12三棱柱ABCA1B1C1是各條棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)(1)求證：平面AB1D平面ABB1A1；(2)求點(diǎn)C到平面AB1D的距離解析(1)證明：取AB1中點(diǎn)M，則，又.2.2·()·0,2·()·()|2|20，DMAA1，DMAB.DM平面ABB1A1.DM平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)解：A1BDM，A1BAB1.A1B平面AB1D.是平面AB1D的一個(gè)法向量點(diǎn)C到平面AB1D的距離為da.13如圖所示，AB和CD是兩條異面直線，BD是它們的公垂線，ABCDa，點(diǎn)M，N分別是BD，AC的中點(diǎn)(1)求證：MNBD；(2)若AB與CD所成的角為60°，求MN的長(zhǎng)解析(1)證明：由點(diǎn)M，N分別是BD、AC的中點(diǎn)可知，0，()()()，·()·(··)，·0，·0.·0，MNBD.(2)證明：()，|2()2(22·2)a2×2a2cos60°a2a2.所以|a.14如圖所示，已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點(diǎn)，PA平面ABC，且PA2，設(shè)平面過(guò)PF且與AE平行，求AE與平面間的距離解析設(shè)、的單位向量分別為e1、e2、e3，選取e1，e2，e3作為空間向量的一組基底，易知e1·e2e2·e3e3·e10，2e1，2e2，2e3，()2e1e2e3，設(shè)nxe1ye2e3是平面的一個(gè)法向量，則n，n，ne1e3直線AE與平面間的距離為d.15如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)(1)證明：D1EA1D；(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；(3)AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AEx，則A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1，x,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)(1)因?yàn)?#183;(1,0,1)·(1，x，1)0，所以.(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(1,1,0)，從而(1,1，1)，(1,2,0)，(1,0,1)，設(shè)平面ACD1的法向量為n(a，b，c)，則，即，從而n(2,1,2)，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為h.(3)設(shè)平面D1EC的法向量n(a，b，c)(1，x2,0)，(0,2，1)，(0,0,1)由，令b1，c2，a2x，n(2x,1,2)依題意cos，x12(不合題意，舍去)，x22，AE2時(shí)，二面角D1ECD的大小為.