高中數(shù)學 第3章綜合素質檢測 新人教A版選修1-2

第三章綜合素質檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2020·安徽文，2)已知i21，則i(1i)()A.iB.iCi Di答案B解析該題考查復數(shù)的四則運算i(1i)i2ii，故選B.2復數(shù)z1在復平面內所對應的點在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析z11i，故復數(shù)z所對應的點為(1,1)，在第一象限3復數(shù)10的值是()A1 B1C32 D32答案A解析本題主要考查復數(shù)的基本運算，i，(i)101，故選A.4若z1(x2)yi與z23xi(x、yR)互為共軛復數(shù)，則z1對應的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得z13i，故選C.5對于復平面，下列命題中真命題的是()A虛數(shù)集和各個象限內的點的集合是一一對應的B實、虛部都是負數(shù)的虛數(shù)的集合與第二象限的點的集合是一一對應的C實部是負數(shù)的復數(shù)的集合與第二、三象限的點的集合是一一對應的D實軸上側的點的集合與虛部為正數(shù)的復數(shù)的集合是一一對應的答案D解析復數(shù)的幾何意義是平面內的點與復數(shù)建立一一對應關系，其中實數(shù)對(a，b)對應復數(shù)的實部與虛部6設復數(shù)z滿足z|2i，那么z等于()Ai B.iCi D.i答案D解析方法一：設zxyi(x，yR)，則xyi|xyi|2i，即xyi2i，把y1代入x2中，得x2，x，zi.方法二：代入法驗證答案易得7復數(shù)z滿足方程|z|4，那么復數(shù)z的對應點P組成的圖形為()A以(1，1)為圓心，4為半徑的圓B以(1，1)為圓心，2為半徑的圓C以(1,1)為圓心，4為半徑的圓D以(1,1)為圓心，2為半徑的圓答案C解析|z|z(1i)|z(1i)|4，設1i的對應點為C(1,1)，則|PC|4，因此動點P的軌跡是以C(1,1)為圓心，4為半徑的圓8若x是純虛數(shù)，y是實數(shù)，且2x1iy(3y)i，則xy等于()A1i B1iC1i D1i答案D解析設xit(tR且t0)，于是2ti1iy(3y)i，1(2t1)iy(3y)i，xy1i.9已知復數(shù)(x2)yi(x，yR)在復平面內對應的向量的模為，則的最大值是()A. B.C. D.答案D解析因為|(x2)yi|，所以(x2)2y23，所以點(x，y)在以C(2,0)為圓心，以為半徑的圓上，如圖，由平面幾何知識知.10設復數(shù)z為虛數(shù)，條件甲：z是實數(shù)，條件乙：|z|1，則()A甲是乙的必要非充分條件B甲是乙的充分非必要條件C甲是乙的充要條件D甲既不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件答案C解析本題考查復數(shù)的運算和充要條件的判斷設zabi(b0且a，bR)，則zabii.因為z為實數(shù)，所以b.因為b0，所以a2b21，所以|z|1.而當|z|1，a2b21，條件甲顯然成立11如果復數(shù)z滿足條件|2z1|zi|，那么在復平面內z對應的點的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案A解析設zabi(a，bR)，則|(2a1)2bi|a(b1)i|，所以(2a1)24b2a2(b1)2，化簡，得3a23b24a2b0，此為圓的方程12設z(2t25t3)(t22t2)i，tR，則以下結論正確的是()Az對應的點在第一象限Bz一定不為純虛數(shù)C.對應的點在實軸的下方Dz一定為實數(shù)答案C解析t22t2(t1)21>0，z對應的點在實軸的上方又z與對應的點關于實軸對稱C項正確二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)13(2020·上海文，4)若復數(shù)z12i(i為虛數(shù)單位)，則z·z_.答案62i解析本題考查了復數(shù)的基本運算z·|z|25，原式5(12i)62i.14已知復數(shù)z1cosisin，z2cosisin，則復數(shù)z1·z2的實部是_答案cos()解析z1·z2(cosisin)(cosisin)coscossinsin(cossinsincos)icos()sin()i故z1·z2的實部為cos()15實數(shù)m滿足等式|log3m4i|5，則m_.答案27或解析本題考查有關復數(shù)模的運算由|log3m4i|5，得(log3m)21625，(log3m)29，所以log3m±3，m27或m.16設0,2，當_時，z1sini(cossin)是實數(shù)答案或解析本題主要考查復數(shù)的概念z為實數(shù)，則cossin，即tan1.因為0,2，所以或.三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)已知復數(shù)z滿足zi()1，求z.解析將方程兩邊化成abi的形式，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件來解設zxyi(x，yR)，則x2y2i1()，即x2y23y3xi13i，由復數(shù)相等得解得或z1或z13i.18(本題滿分12分)已知復數(shù)x2x2(x23x2)i(xR)是復數(shù)420i的共軛復數(shù)，求實數(shù)x的值解析因為復數(shù)420i的共軛復數(shù)為420i，由題意得x2x2(x23x2)i420i，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得方程的解為x3或x2.方程的解為x3或x6.所以實數(shù)x的值為3.點評本題主要考查共軛復數(shù)的概念和復數(shù)相等的充要條件19(本題滿分12分)已知z1i，(1)求wz234(2)如果1i，求實數(shù)a、b.解析(1)w1i(2)(a2)(ab)i(a2)(ab)i1ia1b220(本題滿分12分)設a、b為共軛復數(shù)，且(ab)23abi46i，求a和b.解析a、b為共軛復數(shù)，設axyi(x，yR)則bxyi，由(ab)23abi46i，得(2x)23(x2y2)i46i，即a1i，b1i；a1i，b1i；a1i，b1i；a1i，b1i.21(本題滿分12分)證明：在復數(shù)范圍內，方程|z|2(1i)(1i)z無解證明原方程可化簡為|z|2(1i)(1i)z13i.設zxyi(x，yR)，代入上述方程，整理得x2y22xi2yi13i，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，得將代入，消去y整理，得8x212x50.因為16<0，所以上述方程無實數(shù)解所以原方程在復數(shù)范圍內無解點評本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的運算，解決本題的關鍵是將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題來求解22(本題滿分14分)復數(shù)z滿足|zi|zi|2，求|z1i|的最大值與最小值解析在復平面內，|zi|zi|2表示復數(shù)z對應的點Z到點A(0，1)，B(0,1)的距離之和為2，而|AB|2，所以點Z的軌跡為以A，B為端點的線段(包括兩端點)而|z1i|z(1i)|表示點Z到點C(1，1)的距離，因而，問題的幾何意義是求線段AB上的點到點C的距離的最大值與最小值，如右圖易知|z1i|max|BC|，|z1i|min|AC|1.點評本題主要考查復數(shù)|zz1|的幾何意義，即|zz1|表示復數(shù)z與z1對應的兩點之間的距離利用數(shù)形結合法是求解本題的關鍵