福建省2020屆高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 曲線和方程 理

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1、典型例題一 例1 如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點都在曲線上”不正確，那么以下正確的命題是 （A）曲線上的點的坐標(biāo)都滿足方程． （B）坐標(biāo)滿足方程的點有些在上，有些不在上． （C）坐標(biāo)滿足方程的點都不在曲線上． （D）一定有不在曲線上的點，其坐標(biāo)滿足方程． 分析：原命題是錯誤的，即坐標(biāo)滿足方程的點不一定都在曲線上，易知答案為D． 典型例題二 例2 說明過點且平行于軸的直線和方程所代表的曲線之間的關(guān)系． 分析：“曲線和方程”的定義中所列的兩個條件正好組成兩個集合相等的充要條件，二者缺一不可．其中“曲線上的點的坐標(biāo)都是方程的解”，即純粹性；“以方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點”

2、，即完備性．這是我們判斷方程是不是指定曲線的方程，曲線是不是所給方程的曲線的準(zhǔn)則． 解：如下圖所示，過點且平行于軸的直線的方程為，因而在直線上的點的坐標(biāo)都滿足，所以直線上的點都在方程表示的曲線上．但是以這個方程的解為坐標(biāo)的點不會都在直線上，因此方程不是直線的方程，直線只是方程所表示曲線的一部分． 說明：本題中曲線上的每一點都滿足方程，即滿足純粹性，但以方程的解為坐標(biāo)的點不都在曲線上，即不滿足完備性． 典型例題三 例3　說明到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡與方程所表示的直線之間的關(guān)系． 分析：該題應(yīng)該抓住“純粹性”和“完備性”來進(jìn)行分析． 解：方程所表示的曲線上每一個點都滿足到坐標(biāo)

3、軸距離相等．但是“到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡”上的點不都滿足方程，例如點到兩坐標(biāo)軸的距離均為3，但它不滿足方程．因此不能說方程就是所有到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡方程，到坐標(biāo)軸距離相等的點的軌跡也不能說是方程所表示的軌跡． 說明：本題中“以方程的解為坐標(biāo)點都在曲線上”，即滿足完備性，而“軌跡上的點的坐標(biāo)不都滿足方程”，即不滿足純粹性．只有兩者全符合，方程才能叫曲線的方程，曲線才能叫方程的曲線． 典型例題四 例4 曲線與直線有兩個不同的交點，求的取值范圍．有一個交點呢？無交點呢？ 分析：直線與曲線有兩個交點、一個交點、無交點，就是由直線與曲線的方程組成的方程組分別有兩個解、一個解和

4、無解，也就是由兩個方程整理出的關(guān)于的一元二次方程的判別式分別滿足、、． 解：由 得 ∴ ∴當(dāng)即，即時，直線與曲線有兩個不同的交點． 當(dāng)即，即或時，直線與曲線有一個交點． 當(dāng)即，即或時，直線與曲線沒有公共點． 說明：在判斷直線與曲線的交點個數(shù)時，由于直線與曲線的方程組成的方程組解的個數(shù)與由兩方程聯(lián)立所整理出的關(guān)于(或)的一元方程解的個數(shù)相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通過判別式來判斷直線與曲線的交點個數(shù)，但如果是兩個二次曲線相遇，兩曲線的方程組成的方程組解的個數(shù)與由方程組所整理出的一元方程解的個數(shù)不一定相同，所以遇到此類問題時，不要盲目套用上例方法，一定要做到具體問

5、題具體分析． 典型例題五 例5 若曲線與有兩個公共點，求實數(shù)的取值范圍． 分析：將“曲線有兩個公共點”轉(zhuǎn)化為“方程有兩個不同的解”，從而研究一元二次方程的解的個數(shù)問題．若將兩條曲線的大致形狀現(xiàn)出來，也許可能得到一些啟發(fā)． 解法一：由得： ∵，∴， 即． 要使上述方程有兩個相異的非負(fù)實根． 則有： 又∵ ∴解之得：． ∴所求實數(shù)的范圍是． 解法二：的曲線是關(guān)于軸對稱且頂點在原點的折線，而表示斜率為1且過點的直線，由下圖可知，當(dāng)時，折線的右支與直線不相交．所以兩曲線只有一個交點，當(dāng)時，直線與折線的兩支都相交，所以兩條直線有兩個相異的交點． 說明：這類題較好的解法是

6、解法二，即利用數(shù)形結(jié)合的方法來探求．若題設(shè)條件中“”改為呢，請自己探求． 典型例題六 例6 已知，其中，，，則角平分線的方程是(如下圖)，對嗎？ 分析：本題主要考查曲線方程概念掌握和理解的程度，關(guān)鍵是理解三角形內(nèi)角平分線是一條線段． 解：不對，因為內(nèi)角平分線是一條線段，而方程的圖形是一條直線．如點坐標(biāo)適合方程，但點不在內(nèi)角的平分線上． 綜合上述內(nèi)角平分線為：． 說明：判斷曲線的方程或方程的曲線，要緊扣定義，兩個條件缺一不可，關(guān)鍵是要搞清楚曲線的范圍． 典型例題七 例7 判斷方程所表示的曲線． 分析：根據(jù)方程的表面形式，很難判斷方程的曲線的形狀，因此必需先將

7、方程進(jìn)行等價變形． 解：由原方程可得： ，即 ∴方程的曲線是兩條射線，如圖所示： 說明：判斷方程表示的曲線，在化簡變形方程時要注意等價變形．如方程等價于且，即，原方程的曲線是拋物線一部分． 典型例題八 例8 如圖所示，已知、是兩個定點，且，動點到定點的距離是4，線段的垂直平分線交線段于點，求動點的軌跡方程． 分析：本題首先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，動點滿足的條件(等量關(guān)系)題設(shè)中沒有明顯給出，要從題意中分析找出等量關(guān)系．連結(jié)，則，由此，即動點到兩定點，距離之和為常數(shù)． 解：過，兩點的直線為軸，，兩點的中點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系 ∵，∴，兩點坐標(biāo)分別為，． 連結(jié)．

8、∵垂直平分線段， ∴， ． 設(shè)點，由兩點距離公式得 ， 化簡方程，移項兩邊平方得(移項) ． 兩邊再平方移項得： ，即為所求點軌跡方程． 說明：通過分析題意利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)，找出點與兩定點，距離之和為常數(shù)，是解本題的關(guān)鍵．方程化簡過程也是很重要的，且化簡過程也保證了等價性． 典型例題九 例9　過點作兩條互相垂直的直線，，若交軸于，交軸于，求線段中點的軌跡方程． O A x P y B 圖２ M 解：連接，設(shè)，則，． ∵ ∴ 為直角三角形． 由直角三角形性質(zhì)知 即 化簡得的軌跡方程為 說明：本題也

9、可以用勾股定理求解，還可以用斜率關(guān)系求解，因此本題可有三種解法．用斜率求解的過程要麻煩一些． 典型例題十 例10 求與兩定點、滿足（是常數(shù)）的動點的軌跡方程． 分析：按求曲線方程的方法步驟求解． 解法一：如圖甲，取兩定點和的連線為軸，過的中點且與垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系． 設(shè)，，，則：，． 據(jù)題意，，有得． 由于是常數(shù)，且，所以為動點的軌跡方程，即動點的軌跡是一條平行于軸的直線． 解法二：如圖乙，取與兩點連線為軸，過點且與垂直的直線為軸建立坐標(biāo)系． 設(shè)，，，則：，． 據(jù)題意，，有， 得，即動點的軌跡方程為，它是平行于軸的一條直線． 解法三：如圖丙建立坐

10、標(biāo)系，設(shè)，，，則 ，． 據(jù)題意，，有 ， 整理后得到點的軌跡方程為： ，它是一條直線． 說明：由上面介紹的三種解法，可以看到對于同一條直線，在不同的坐標(biāo)系中，方程不同，適當(dāng)建立坐標(biāo)系如解法一、解法二，得到的方程形式簡單、特性明顯，一看便知是直線．而解法三得到的方程煩瑣、冗長，若以此為基礎(chǔ)研究其他問題，會引起不必要的麻煩．因此，在求曲線方程時，根據(jù)具體情況適當(dāng)選取坐標(biāo)系十分重要．另外，也要注意到本題所求的是軌跡的方程，在作解答表述時應(yīng)強調(diào)曲線的方程，而不是曲線． 典型例題十一 例11 兩直線分別繞著定點和()在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，且轉(zhuǎn)動時保持相互垂直，求兩直線的交點的軌跡方程．

11、 分析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用直角三角形的性質(zhì)，列出動點所滿足的等式． 解：取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，則： ，，屬于集合． 設(shè)，則，化簡得． 這就是兩直線的交點的軌跡方程． 說明：本題易出現(xiàn)如下解答錯誤： 取直線為軸，取線段的中點為原點建立直角坐標(biāo)系，則： ，，交點屬于集合． 設(shè)，則，， 故，即()． 要知道，當(dāng)軸且另一直線與軸重合時，仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為．同樣軸重合時，且另一直線與軸仍有兩直線互相垂直，此時兩直線交點為．因而，與應(yīng)為所求方程的解． 糾正的方法是：當(dāng)或的斜率不存在時，即時，和也在曲線上，故所求的點的軌跡方程是． 求

12、出曲線上的點所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為坐標(biāo)的點作考察，既要剔除不適合的部分，也不要遺漏滿足條件的部分． 典型例題十二 例12 如圖，的兩條直角邊長分別為和，與兩點分別在軸的正半軸和軸的正半軸上滑動，求直角頂點的軌跡方程． 分析：由已知是直角，和兩點在坐標(biāo)軸上滑動時，也是直角，由平面幾何知識，、、、四點共圓，則有，這就是點滿足的幾何條件．由此列出頂點的坐標(biāo)適合的方程． 解：設(shè)點的坐標(biāo)為，連結(jié)，由，所以、、、四點共圓． 從而．由，，有，即． 注意到方程表示的是過原點、斜率為的一條直線，而題目中的與均在兩坐標(biāo)軸的正半軸上滑動，由于、為常數(shù)，故點的軌

13、跡不會是一條直線，而是直線的一部分．我們可考察與兩點在坐標(biāo)軸上的極端位置，確定點坐標(biāo)的范圍． 如下圖，當(dāng)點與原點重合時， ，所以． 如下圖，當(dāng)點與原點重合時，點的橫坐標(biāo)． 由射影定理，，即，有．由已知，所以． 故點的軌跡方程為：（）． 說明：求出曲線上的點所適合的方程后，只是形式上的曲線方程，還必須對以方程的解為坐標(biāo)的點作考察，剔除不適合的部分． 典型例題十三 例13 過點作兩條互相垂直的直線、，若交軸于，交軸于，在線段上，且，求點的軌跡方程． 分析：如圖，設(shè)，題中幾何條件是，在解析幾何中要表示垂直關(guān)系的代數(shù)關(guān)系式就是斜率乘積為－1，所以要求的軌跡方程即、之間的關(guān)

14、系，首先要把、的斜率用、表示出來，而表示斜率的關(guān)鍵是用、表示、兩點的坐標(biāo)，由題可知是、的定比分點，由定比分點坐標(biāo)公式便可找出、、坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而表示出、兩點的坐標(biāo)，并求出點的軌跡方程． 解：設(shè)，， ∵在線段上，且． ∴分所成的比是， 由，得， ∴、 又∵，∴的斜率，的斜率． ∵，∴． 化簡得：． 說明：本題的上述解題過程并不嚴(yán)密，因為需在時才能成立，而當(dāng)時，，的方程為．所以的方程是．故，可求得，而也滿足方程．故所求軌跡的方程是．這類題在解答時應(yīng)注意考慮完備性和純粹性． 典型例題十四 例14 如圖，已知兩點，以及一直線，設(shè)長為的線段在直線上移動．求直線和的交點的

15、軌跡方程． 分析1：設(shè)，題中的幾何條件是，所以只需用表示出、兩點的坐標(biāo)，便可求出曲線的方程，而要表示點坐標(biāo)可先找出、兩點坐標(biāo)的關(guān)系，顯然、、三點共線．這樣便可找出、坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而表示出的坐標(biāo)，同理便可表示出的坐標(biāo)，問題便可以迎刃而解． 解法一：設(shè)、、． 由、、三點共線可得：（利用與斜率相等得到） ∴． 由、、三點共線可得． ∴． 又由得． ∴，∴． 化簡和所求軌跡方程為：． 分析2：此題也可以先用、、三點共線表示出點坐標(biāo)，再根據(jù)表示出點坐標(biāo)，然后利用、、三點共線也可求得軌跡方程． 解法二：設(shè)， 由且在直線上且在的上方可得： 由解法一知， ∴ 又由、、三點共線可得： ． 化簡得所求軌跡方程為：． 解法三：由于且在直線上 所以可設(shè)，． 則直線的方程為： 直線的方程為： 由上述兩式解得 ∴ ∴， 即． 而當(dāng)時，直線與平行，沒有交點． ∴所求軌跡方程為． 說明：本題的前兩種方法屬于直接法，相對較繁，而后一種方法，事實上它涉及到參數(shù)的思想(為參數(shù))，利用交點求軌跡方程．一般先把交點表示為關(guān)于參數(shù)的坐標(biāo)，然后消去參數(shù)，這也反映出運動的觀點．