高中數(shù)學(xué) 2、2-1-1-1第1課時 歸納推理同步檢測 新人教版選修2-2

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1、選修2-2 2.1.1 第1課時 歸納推理 一、選擇題 1．關(guān)于歸納推理，下列說法正確的是(　　) A．歸納推理是一般到一般的推理 B．歸納推理是一般到個別的推理 C．歸納推理的結(jié)論一定是正確的 D．歸納推理的結(jié)論是或然性的 [答案]　D [解析]　歸納推理是由特殊到一般的推理，其結(jié)論的正確性不一定．故應(yīng)選D. 2．下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋

2、＝1的面積S＝πab D．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 [答案]　B [解析]　由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應(yīng)選B. 3．?dāng)?shù)列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　) A．28　　　　　　　　　 B．32 C．33 D．27 [答案]　B [解析]　因?yàn)?－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜測x－20＝3×4,47－x＝3×5，推知x＝32.故應(yīng)選B. 4．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an是(　　) A．2n－2－ B．2n－2 C．2n－1＋1 D．2n＋1－4 [答案]　B

3、[解析]　∵a1＝0＝21－2， ∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2， a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2， …… 猜想an＝2n－2. 故應(yīng)選B. 5．某人為了觀看2020年奧運(yùn)會，從2020年起，每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2020年將所有的存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)(元)為(　　) A．a(chǎn)(1＋p)7 B．a(chǎn)(1＋p)8 C.[(1＋p)7－(1＋p)] D.[(1＋p)8－(1＋p)] [答案]　D [解析]　到2020年5

4、月10日存款及利息為a(1＋p)． 到2020年5月10日存款及利息為 a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)] 到2020年5月10日存款及利息為 a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p) ＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)] …… 所以到2020年5月10日存款及利息為 a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)] ＝a ＝[(1＋p)8－(1＋p)]． 故應(yīng)選D. 6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A. B. C. D.

5、 [答案]　B [解析]　因?yàn)镾n＝n2an，a1＝1， 所以S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝， S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝， S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4 ?a4＝＝＝. 所以猜想an＝，故應(yīng)選B. 7．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表： 根據(jù)規(guī)律，從2020到2020箭頭的方向依次為(　　) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ [答案]　C [解析]　觀察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由234可知從2020到2020為↑→，故應(yīng)選C. 8．(2020·山東文，10)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x

6、3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝(　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) [答案]　D [解析]　本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導(dǎo)后都變成了奇函數(shù)， ∴g(－x)＝－g(x)，選D，體現(xiàn)了對學(xué)生觀察能力，概括歸納推理的能力的考查． 9．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于(　　) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝1

7、11111 … A．1111110 B．1111111 C．1111112 D．1111113 [答案]　B [解析]　根據(jù)規(guī)律應(yīng)為7個1，故應(yīng)選B. 10．把1、3、6、10、15、21、…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個正三角形(如下圖)， 試求第七個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 [答案]　B [解析]　觀察歸納可知第n個三角形數(shù)共有點(diǎn)數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝個，∴第七個三角形數(shù)為＝28. 二、填空題 11．觀察下列由火柴桿拼成的一列圖形中，第n個圖形由n個正方形組成： 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第

8、4個圖形中，火柴桿有________根；第n個圖形中，火柴桿有________根． [答案]　13,3n＋1 [解析]　第一個圖形有4根，第2個圖形有7根，第3個圖形有10根，第4個圖形有13根……猜想第n個圖形有3n＋1根． 12．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般規(guī)律是__________________． [答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析]　第1式有1個數(shù)，第2式有3個數(shù)相加，第3式有5個數(shù)相加，故猜想第n個式子有2n－1個數(shù)相加，且第n個式子的第一個加數(shù)為n，每數(shù)增加1，共有2n－1個數(shù)相加，故第n

9、個式子為： n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]} ＝(2n－1)2， 即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 13．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓圈，每個圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為________． [答案]　S＝4(n－1)(n≥2) [解析]　每條邊上有2個圓圈時共有S＝4個；每條邊上有3個圓圈時，共有S＝8個；每條邊上有4個圓圈時，共有S＝12個．可見每條邊上增加一個點(diǎn)，則S增加4，∴S與n的關(guān)系為S＝4(n－1)(n≥2)． 14．(2020·浙江理，15)觀察下列等式：

10、C＋C＝23－2， C＋C＋C＝27＋23， C＋C＋C＋C＝211－25， C＋C＋C＋C＋C＝215＋27， 　　　　…… 由以上等式推測到一個一般的結(jié)論： 對于n∈N*，C＋C＋C＋…＋C＝__________________. [答案]　24n－1＋(－1)n22n－1 [解析]　本小題主要考查歸納推理的能力 等式右端第一項(xiàng)指數(shù)3,7,11,15，…構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)公式為an＝4n－1，第二項(xiàng)指數(shù)1,3,5,7，…的通項(xiàng)公式bn＝2n－1，兩項(xiàng)中間等號正、負(fù)相間出現(xiàn)，∴右端＝24n－1＋(－1)n22n－1. 三、解答題 15．在△ABC中，不等式＋＋≥成立， 在

11、四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立， 在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有怎樣的不等式成立？ [解析]　根據(jù)已知特殊的數(shù)值：、、，…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：(n≥3)． ∴在n邊形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)． 16．下圖中(1)、(2)、(3)、(4)為四個平面圖．?dāng)?shù)一數(shù)每個平面圖各有多少個頂點(diǎn)？多少條邊？它們圍成了多少個區(qū)域？并將結(jié)果填入下表中． 平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) (1) (2) (3) (4) (1)觀察上表，推斷一個平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)

12、域數(shù)之間有什么關(guān)系？ (2)現(xiàn)已知某個平面圖有999個頂點(diǎn)，且圍成了999個區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個平面圖有多少條邊？ [解析]　各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)如下表： 平面區(qū)域 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) 關(guān)系 (1) 3 3 2 3＋2－3＝2 (2) 8 12 6 8＋6－12＝2 (3) 6 9 5 6＋5－9＝2 (4) 10 15 7 10＋7－15＝2 結(jié)論 V E F V＋F－E＝2 推廣 999 E 999 E＝999＋999－2 ＝1996 其頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，平面區(qū)域數(shù)F滿足關(guān)系式V＋F－E＝2

13、. 故可猜想此平面圖可能有1996條邊． 17．在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液a升，攪勻后再倒出溶液a升，這叫一次操作，設(shè)第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為bn(每次注入的溶液濃度都是p%)，計算b1、b2、b3，并歸納出bn的計算公式． [解析]　b1＝＝， b2＝＝. b3＝ ＝， ∴歸納得bn＝. 18．設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，計算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗(yàn)證猜想是否正確． [解析]　f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都為質(zhì)數(shù)． 即：當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時f(n)＝n2＋n＋41的值為質(zhì)數(shù)． 但是當(dāng)n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝1681為合數(shù)． 所以，上面由歸納推理得到的猜想不正確．