2020年高考數(shù)學(xué)一輪經(jīng)典例題 棱錐 理

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1、2020年高考數(shù)學(xué)（理）一輪經(jīng)典例題——棱錐 例1 正六棱錐的底面周長為24，側(cè)面與底面所成角為，求：（1）棱錐的高；（2）斜高；（3）側(cè)棱長；（4）側(cè)棱與底面所成角． 分析：本題涉及了正棱錐的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量． 解：正六棱錐的底面周長為24． ∴正六棱錐的底面邊長為4． 在正棱錐中， 取中點(diǎn)，連，， 是正六邊形的中心． 連，則底面 ∴． ∴是側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即． （1）在△中，，， ∴． （2）同樣在△中，斜高， （3）△中，，． ∴． （4）∵底面，∴是側(cè)棱與底面所成角， 同樣在△中，，∴，

2、說明：在立體幾何中，要善于把長度和角度放到三角形中去解決，正棱錐中有關(guān)長度、角度主要在兩上重要的直角三角形中，本題中的方法也可用于其它正棱錐中．比如：已知正四棱錐底面邊長為，相鄰兩側(cè)面所成二面角為，求正棱錐的高、斜高、側(cè)棱長．正四棱錐相鄰側(cè)面是全等的等腰三角形，利用這個性質(zhì)先落實相鄰側(cè)面所成二面的平面角，先計算側(cè)棱長為，然后利用底面邊長和側(cè)棱長在兩個重要的直角三角形中，計算出高為，斜高為． 典型例題二 例2 如圖所示，正四棱錐棱長均為13，，分別是，上的點(diǎn)，且． （1）求證：直線平面； （2）求直線與底面所成角的正弦． 分析：（1）要證明平面，只需證明與平面內(nèi)某一條直線平行．為此

3、連并延長交于，連．可考慮證明．（2）若能證明，則即為直線與底面所成的角． 解：（1）連并延長交于，再連． ∵，∴， 又， ∴， ∴， 又平面，平面，∴平面． （2）設(shè)為底面中心，連，，則平面．又，則為直線與平面所成的角． 由及，得，在△中，，，，由余弦定理，得．在△中，，，則． 說明：本題（2）若直接求與平面所成的角，計算就比較復(fù)雜，而平移為求與底面所成的角，計算就易得多．可見，平移是求線線、線面所成角的重要方法． 典型例題三 例3 斜三棱柱的底面△是直角三角形，，側(cè)棱與底面成角，點(diǎn)在底面的射影為的中點(diǎn)，． （1）求證； （2）若為的二面角，求四棱錐的體積．

4、 分析：證關(guān)鍵在于證出其中一條線垂直于另一條線所在的平面；而求棱錐的體積關(guān)鍵在于求出其底面積和高．這兩個問題可由題設(shè)及線與線、線與面的位置關(guān)系求得． 解：如圖所示， （1）∵平面， 底面， ∴． ∵， ∴平面， ∴． ∵在底面上的射影為的中點(diǎn)，側(cè)棱與底面成角， ∴四邊形是菱形， ∴， ∴平面， ∴． （2）過作，連結(jié)． ∵平面， ∴是在平面上的射影， ∴， ∴是二面角的平面角， ∴． 在△中，，在△中，由可得． ∴， ∴ ． ∴ （體積單位）． 說明

5、：證明線線垂直轉(zhuǎn)化成證線面垂直是證明時常用的方法之一，而證線面垂直時又涉及線與線的垂直，因此線與面各種位置關(guān)系經(jīng)常貫穿問題的始終．當(dāng)遇到一線垂直于一截面，而截面面積又能計算時，將幾何體分割成兩個體積之和計算也是一種常用的方法．結(jié)果便轉(zhuǎn)化成截面與此線相乘的關(guān)系，因而使問題得到簡化． 典型例題四 例4如圖，在三棱錐中，底面，，、分別是和的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，． （1）求證：平面； （2）求截面分棱錐所成兩部分的體積之比． 分析：由底面，可以判定平面平面，且相交于，因為是的中點(diǎn)，且，所以，于是有平面，． 若證平面，只需與平面中的另一條直線垂直就可以了．為此，就要從已知的數(shù)量關(guān)系著

6、手，找到新的線與線的垂直關(guān)系． 平面把三棱錐分成兩部分，顯然這兩部分具有相同的高線．所以，只要找到△和四邊形的面積之比，就可以確定兩部分的體積之比了． 證明： （1）∵平面，且平面 ∴平面平面，且相交于 在△中，∵，是邊上的中線 ∴．∴平面 ∵平面，∴ 利用兩個平面垂直的性質(zhì)定理可以證明平面 在△和△中 設(shè)，則，，， ∵， ∵，∴△～△ ∵，∴ ∴．∵ 利用相似三角形的性質(zhì)，得到 ∴ ∵，∴平面． 解：（2）∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴截面分棱錐為兩部分，三棱錐與四棱錐的體積之比為1：2． 典型例題五 例5四棱錐，側(cè)面是邊長為2的正三角

7、形且與底面垂直，底面是面積為的菱形，為菱形的銳角．（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）求棱錐的側(cè)面積與體積． 分析：取中點(diǎn)，側(cè)面底面，從而可利用三垂線定理轉(zhuǎn)化為證明，線面垂直也為二面角平面角的落實創(chuàng)造了有利條件，棱錐的側(cè)面積可通過抓側(cè)面三角形的特殊性來解決． 證明：（1）取中點(diǎn)，連、， ∵△是等邊三角形，∴， ∵面底面，∴底面， ∵等邊△的邊長為2，∴ ∴菱形的邊長為2，又菱形的面積是， ∴，∴，又是銳角， ∴，∴△是等邊三角形， ∴，在平面上射影為，∴． 解：（2）∵，由（1），， ∴，． ∴是二面角的平面角， 在△中， ∴，即二面角的大小為． （3）由（

8、2）在△中，可得， 在△中，，，∴，， 在△中，，，可得， 在△中，，，可得， 又正△邊長為2，∴， ∴， ∵，∴． 說明：抓線面垂直關(guān)系是解決立體幾何問題的關(guān)鍵，非特殊棱柱、棱錐的側(cè)面積，往往要通過逐個計算每個側(cè)面的面積相加而得到，這就需要分析每個側(cè)面的具體特點(diǎn)，比如是否為矩形、直角三角形、等邊三角形等．可以舉一個類似的例子，四棱錐的高為1，底面為菱形，側(cè)面和側(cè)面所成角為，且都垂直于底面，另兩側(cè)面與底面都成角，求棱錐的全面積．這里由相交平面與都與底面垂直得到垂直于底面，利用底面，一方面落實了棱錐的高為，另一方面幾個二面角的平面角都能方便地落實，四個側(cè)面中，有兩個是等腰三角形，有

9、兩個是直角三角形，通過計算可得，全面積為． 典型例題六 例6 已知三棱錐中，、、與底面所成角相等，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且截面，（1）求與底面所成角；（2）求到平面的距離． 分析：由、、與底面所成角相等可得點(diǎn)在面上射影為△的外心，由于△是直角三角形，可以得到面，面可轉(zhuǎn)化為，是中點(diǎn)，找出到面的垂線落實與面所成角．到面的距離可從兩方面得到，一方面直接找到面的垂線，另一方面，用等積法可求點(diǎn)到面的距離． 解：（1）∵、、與底面成相等的角，設(shè)在面上射影為，則有， ∴△≌△≌△， ∴且， ∴是△的外心． ∵△是直角三角形，且是斜邊的中點(diǎn)， ∴點(diǎn)和點(diǎn)重合，即面， ∵截面，過的平面與平

10、面交于， ∴，∵是中點(diǎn)，∴是中點(diǎn)， 取中點(diǎn)，則，∴平面， ∴為與底面所成角． ∵，∴， ∵且，∴． 又，∴△也是等腰直角三角形， ∴，∴， 在△中，， ∴，即與平面所成角為． （2）方法一：∵平面，∴． 又∵，∴平面，∴． 由（1）△是直角三角形，，∴， ∵，∴，∴平面． ∵，∴． 即到平面的距離為． 方法二：∵，，∴平面， ∴，又，． ∴， ∵，， 設(shè)到面的距離為， ∴，∴． ，即到平面的距離為． 典型例題七 例7　如圖所示，在三棱錐中，底面，，垂直平分，且分別交、于、，又，．求以為棱，以和為面的二面角的度數(shù)． 分析：從尋找二面角

11、的平面角入手．二面角的平面角有時圖形中沒有給出，需要我們自己作出，有時平面角在圖形中已經(jīng)存在，只需要將其找出來． 解：∵平面，平面，∴． ∵是的垂直平分線，∴，且是的中點(diǎn)． 又，∴． 又，∴平面，∴． 又，∴平面，∴，． 從而為二面角的平面角． 設(shè)，則． ∵平面，∴，，從而． 又，∴． 在中，，∴， 又，∴． 因此所求的二面角的度數(shù)為． 說明：本題是通過三棱錐來考查直線與直線、直線與平面、二面角、解三角形等知識，并考查了空間想像能力和邏輯推理能力．解答本題的關(guān)鍵是認(rèn)定是二面角的平面角．這需要具有一定的觀察能力和判斷能力，而且要給出嚴(yán)格的證明．學(xué)生很可能發(fā)現(xiàn)不了即是所求

12、二面角的平面角，自己再作二面角的平面角，使問題復(fù)雜化．本題所給條件較多，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇所需條件進(jìn)行論證和計算也是解決本題的一個難點(diǎn)． 典型例題八 例8　是所在平面外的一點(diǎn)，、、兩兩垂直，．求到平面的距離． 分析：利用三棱錐的性質(zhì)、體積以及線面關(guān)系求解． 解法一：∵，∴在底面內(nèi)的射影是的外心．又、、兩兩相互垂直，∴是等邊三角形，∴是的重心． 如圖，在中，， ∴． 解法二：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為． ∵、、兩兩垂直，， ∴， ， ． 又， ∴，∴． ∴到平面的距離為． 解法三：取的中點(diǎn)，連、． ∵，，∴，， ∴平面，平面， ， ∴就是到平面的距離． 在

13、中，，， ． 又∵， ∴． 說明：本題難度并不大．但是這里所給出的三種方法非常典型．方法一利用確定在底面內(nèi)射影為的外心；方法二利用體積轉(zhuǎn)化的方法；方法三利用面面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行垂足定位． 典型例題九 例9　如圖所示，在三棱錐中，底面為直角三角形，兩直角邊，三棱錐側(cè)面與底面所成二面角都為．求此三棱錐的側(cè)面積． 分析：本題可利用面積射影定理求解．若一棱錐各側(cè)面與底面所成二面角都為，且已知，則由面積射影定理知：． 解法一：過作底面的垂線，垂足為，過在底面內(nèi)作的垂線，垂足為，連結(jié)．由三垂線定理知，∴為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，即．又可知為的內(nèi)心．∵，，，從而．在中，由

14、，得，從而各側(cè)面三角形的高均為． ∴． 解法二： ． 說明：本題考查了三棱錐的有關(guān)概念與性質(zhì)．在三棱錐中，過一條側(cè)棱和高的截面有許多重要性質(zhì)，而這個截面又把棱錐的許多有線段、高、角都集中到同一個平面內(nèi)，所以常常通過研究這個輔助平面來解決問題．解法二是求棱錐側(cè)面積的一種簡捷解法，用到了面積射影定理． 典型例題十 例10　三棱錐中，，．將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開，其展開圖是一個直角梯形．如圖所示． (1)求證：側(cè)棱； (2)求側(cè)面與底面所成的角的余弦值． 分析：(1)折疊與展開是互逆過程，將直角梯形折成三棱錐時，，的關(guān)系不變，于是在三棱錐中有，故，從而． (2)由(1)可

15、知，∴在平面內(nèi)作于，連，則即是所求二面角的平面角，且為，∴只需求出兩條邊即可．而邊長可以考慮在側(cè)面展開圖中求解． 證明：(1)見上述思路分析． 解：(2)作，則由三垂線定理知，于是是二面角的平面角，即．再作于，則，且是的中點(diǎn)，設(shè)，．在中，．且由，得，解得，． 由，得． 由，，，知． ∴所求二面角的余弦值為． 說明：折與展是一對互逆的過程．在處理這類問題時應(yīng)充分注意折疊或展開前后各元素(主要是直線、線段、角)的相對位置和數(shù)量變化，注意哪些發(fā)生了變化，哪些不變．一般來說，位于同一半平面內(nèi)的元素相對位置和數(shù)量關(guān)系不變．位于兩個不同半平面內(nèi)的元素，位置和數(shù)量要發(fā)生變化．這類問題常用的添輔助

16、線方法是作棱的垂線． 典型例題十二 例12　下列命題中，真命題的個數(shù)是（　?。? (1)兩相鄰側(cè)棱所成之角相等的棱錐是正棱錐． (2)兩相鄰側(cè)面所成之角相等的棱錐是正棱錐． (3)側(cè)棱與底面所成之角相等的棱錐是正棱錐． (4)側(cè)面與底面所成之角相等的棱錐是正棱錐． A．3個　　　B．2個　　　C．1個　　　D．0個 分析：有些同學(xué)錯解的原因在于未能很好地理解正棱錐的定義以及正棱錐的性質(zhì)，正棱錐的定義不同于正棱錐的性質(zhì)，正棱錐的性質(zhì)可以由其定義結(jié)合有關(guān)知識推導(dǎo)得到． 對照定義，構(gòu)造反例． 如圖所示，是正三棱錐，兩相鄰側(cè)棱所成之角相等，兩相鄰側(cè)面所成之角相等．在、上分別

17、取異于、的點(diǎn)、，連、，則三棱錐均滿足命題(1)、(2)的條件，但顯然不是正三棱錐，所以命題(1)、(2)為假命題．命題(3)中，側(cè)棱與底面所成之角相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的外心．外心不一定是中心，因為底面不一定是正多邊形，因此命題(3)也是假命題．在命題(4)中，側(cè)面與底面所成之角相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的內(nèi)心，而內(nèi)心不一定是中心，所以命題(4)也是假命題． 綜上可知應(yīng)選D． 典型例題十三 例13 .如圖，已知三棱錐中，，在底面上的射影為． 求證：為的外心． 證明：連結(jié)、、、，則底面 ∵（斜線相等）， ∴（射影相等）， ∴為的外心． 說明：(1)同

18、理可證，如果三棱錐的三條側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影也是底面三角形的外心． (2)上述兩結(jié)論對一般棱錐也成立，即棱錐的側(cè)棱均相等或側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心． 典型例題十四 例14　如果三棱錐的三個側(cè)面與底面所成的二面角都相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心． 如圖，已知三棱錐，三側(cè)面、、與底面所成二面角都相等，點(diǎn)在底面上的射影為．求證：為的內(nèi)心． 證明：連結(jié)，則平面． 在底面上作、、，垂足分別為、、． 連結(jié)、、． 由三垂線定理可得、、． ∴、、分別為二面角，，的平面角． 又∵，， ∴≌≌，∴，

19、∴為的內(nèi)心． 說明：(1)同理可證，如果三棱錐的頂點(diǎn)到底面三條邊的距離相等，那么頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的內(nèi)心（若射影點(diǎn)在多邊形內(nèi)部的話）． (2)上述兩結(jié)論對一般棱錐也成立，即棱錐的各側(cè)面與底面所成之角均相等或棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)切圓的圓心（射影在多邊形內(nèi)部）． (3)不要誤論為棱錐頂點(diǎn)在底面上的射影一定在底面多邊形的內(nèi)部，頂點(diǎn)在底面的射影可以在底面多邊形的外部，也可以在多邊形的一邊上． 典型例題十五 例15　如果三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，那么頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的垂心． 已知三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，為在底面上

20、的射影． 求證：為底面三角形的垂心． 證明：如圖，連結(jié)、、． ∵，，且， ∴平面． ∴． 又平面， 由三垂線定理的逆定理知，． 同理，． ∴點(diǎn)為的垂心． 說明：同理可證：如果三棱錐有兩組對棱垂直，那么第三組對棱也垂直且頂點(diǎn)在底面上的射影為底面三角形的垂心． 典型例題十六 例16　三棱錐的各面積分別為，，，，且各側(cè)面與底面所成的二面角都相等，求側(cè)面與底面所成二面角的平面角． 分析：首先找出二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到平面中去，然后利用已知條件列有關(guān)的等式． 解：如圖，作平面于，連結(jié)、、． ∵側(cè)面與底面所成的角都相等，設(shè)者為， ∴為底面的內(nèi)心， ∴過在底面內(nèi)

21、作，，， 垂足分別為、、；連結(jié)、、． 由三垂線定理可得，，． ∴． ∵，，而， ∴，∴． 同理，， ∴， 即． ∴， ∴，∴． ∴側(cè)面與底面所成的二面角為． 說明：(1)根據(jù)本題的推導(dǎo)過程不難得出如下結(jié)論：如果三棱錐的三個側(cè)面與底面成等角，三棱錐的底面積為，側(cè)面積為，那么． (2)可以進(jìn)一步證明：如果棱錐的各個側(cè)面與底面成等角，那么． 典型例題十七 例17　如圖，已知正三棱錐的高，斜高．求經(jīng)過的中點(diǎn)平行于底面的截面的面積． 分析：求出底面正三角形的邊可得其面積，再利用棱錐截面性質(zhì)，得截面面積． 解：連結(jié)、． 在中，． 因為棱錐是正棱錐，所以點(diǎn)是正三

22、角形的中心． ， ． 據(jù)一般棱錐截面的性質(zhì)，有 ．∴． 說明：過高的中點(diǎn)且平行于底面的截面叫做中截面． 典型例題十八 例18　如圖，已知棱錐的底面積是，平行于底面的截面面積是，棱錐頂點(diǎn)在截面和底面上的射影分別是、，過的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，求各截面的面積． 分析：頂點(diǎn)到已知截面的距離與原棱錐高的關(guān)系，可由已知截面面積與底面積的量的關(guān)系得到，從而各截面對應(yīng)的高與原棱錐的高的關(guān)系可以求出，再運(yùn)用一般棱錐截面性質(zhì)可以求得各截面面積． 解：設(shè)棱錐的高為，其頂點(diǎn)到已知截面之距，的三等分點(diǎn)為、， 由已知得，∴，∴ ∴， 而，則． ∴，． 設(shè)過、的截面面積分別為、，

23、底面面積為則 ，∴()． ，∴()． ∴兩截面的面積分別為和． 說明：本題還可以求得以為頂點(diǎn)，分別以過的截面、過的截面、過的截面為底面的棱錐，以及原棱錐的側(cè)面積之比，這四個棱錐的側(cè)面積之比依次為 ． 典型例題十九 例19　正三棱錐底面邊長和高都是4，它的一個內(nèi)接三棱柱的三個側(cè)面都是正方形．求內(nèi)接三棱柱的全面積． 分析：如圖所示．三棱柱的上底面與正三棱錐的底面相似，它們的相似比等于．設(shè)三棱柱的棱長為，則有，得出，． 解：設(shè)三棱柱的棱長為，由于三棱柱的上底面∽，則有，即，∴，，， ∴． 典型例題二十 例20　如圖(1)設(shè)正三棱錐的底面邊長，側(cè)棱長為，過作與、分別

24、交于和的截面，當(dāng)截面的周長最小時，求截面的面積． 分析：因為截面的三個頂點(diǎn)都在正三棱錐的側(cè)面上，現(xiàn)若沿側(cè)棱將棱錐展開，則截面的周長為最小時，就是線段的長，如圖(2)所示． 解：將正三棱錐沿側(cè)棱展開，當(dāng)截面的周長為最小值時，其周長即是展開圖中線段之長． 在側(cè)面展開圖中，∵，且． ∴四邊形是等腰梯形，，∴， ∴∽，．∵，∴． ∵，又，∴． ∴． 在三棱錐中，取截面的邊的中點(diǎn)為， ∵，∴，∴， ∴． 說明：本例中，求側(cè)面展開圖中之長時運(yùn)用了平面幾何知識，過程較為簡明．若在三角形中，由，計算出的余弦后，再用余弦定理求之長，就麻煩得多了． 典型例題二十一 例21　已知正

25、三棱錐的底面邊長為，過作截面垂直側(cè)棱于，且此截面與底面成的二面角，求此正三棱錐的側(cè)面積． 分析：先找出二面角的平面角，再由正三棱錐的一些線面關(guān)系，把要求的斜高轉(zhuǎn)化到直角三角形中，解直角三角形． 解：如圖，作底面于． ∵為正三棱錐， ∴為底面正三角形的中心，連結(jié)交于，連結(jié)， 則，， ∴平面，， ∴為截面與底面所成二面角的平面角， ∴． ∵平面，∴，． ∵正三角形的邊長為，∴，． 在中，． 在中，∵， ∴． 說明：(1)在多面體中，求邊長、側(cè)棱長、高和斜高等長度以及距離、角等等，要充分注意各多面體的概念，在多面體中首先畫出所求元素，其次根據(jù)不同情況作出輔助線（

26、注意經(jīng)常用到三垂線定理），然后加以解決． 典型例題二十二 例22　棱錐的底面是等腰三角形，這等腰三角形的底邊長為，腰長為，棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都是，求這個棱錐的側(cè)面積． 已知三棱錐的底邊是等腰三角形，，，側(cè)面、、與底面所成的二面角都是． 求棱錐的側(cè)面積． 解法1：作點(diǎn)在底面上的射影，如圖， 則是底面的內(nèi)心，作于點(diǎn)，連接， 則（三垂線定理），故是側(cè)面與底面所成的二面角的平面角，， ∵內(nèi)切圓半徑， 其中，是的面積． ∴斜高， ∴． 即棱錐的側(cè)面積為． 解法2：還可用面積射影定理：由于棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角均為， 故 說明：(1)求棱錐側(cè)面積，關(guān)鍵

27、是求各個側(cè)面三角形的高，即斜高，要熟悉三角形的面積公式．如；；，． (2)在棱錐中，若側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面的夾角相等，則該點(diǎn)在底面的射影是底面多邊形的外心；若斜高相等或側(cè)面與底面的夾角相等，則該點(diǎn)在底面的射影為底面多邊形的內(nèi)心． 典型例題二十三 例23 在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有（　　）． A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 解：如圖，在長方體中，取四棱錐，則此四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形． ∴應(yīng)選D． 說明：本題對給出的四棱錐沒有帶任何附加條件，只給出了思考、探索的方向，即思考、探索側(cè)面為直角三角形的四棱錐應(yīng)是怎樣的模型，讓人們展開充分的想象空間，讓人們?nèi)ニ伎肌⑻剿鲉栴}，確實是一道好題，也是今后命題的方向，對培養(yǎng)學(xué)生的能力大有裨益．