高三數(shù)學(xué) 第62課時(shí) 空間的角教案

課題：空間的角教學(xué)目標(biāo)：掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問(wèn)題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：直線與平面所成的角，二面角的求解.（一） 主要知識(shí)及主要方法： 三垂線定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線的逆定理(課本)：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直. 空間角的計(jì)算步驟 一作、二證、三算.異面直線所成角：范圍：；計(jì)算方法:平移法：一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對(duì)邊、梯形的平行對(duì)邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.向量法：設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,則兩異面直線所成的角；補(bǔ)體法；證明兩條異面直線垂直,即所成角為.直線與平面所成的角：定義：（課本）平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角；一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是直角.范圍 ；最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角.斜線與平面所成角的計(jì)算：直接法：關(guān)鍵是作垂線，找射影 可利用面面垂直的性質(zhì)； 平移法：通過(guò)三角形的中位線或平行四邊形的對(duì)邊平移，計(jì)算其平行線與平面所成的角.也可平移平面通過(guò)等體積法求出斜線任一點(diǎn)到平面的距離，計(jì)算這點(diǎn)與斜足之間的線段長(zhǎng)，則.應(yīng)用結(jié)論：如右圖所示，為垂足，為斜足，與平面所成的角為，則.向量法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角.二面角：定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分叫做半平面.從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做這個(gè)二面角的平面角.規(guī)定：二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，二面角為，當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，二面角為，因此，二面角的大小范圍為.確定二面角的方法：定義法；三垂線定理及其逆定理法；垂面法；射影面積法：，此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；無(wú)棱二面角也可以先根據(jù)線面性質(zhì)恢復(fù)二面角的棱，然后再用方法、計(jì)算大??；向量法：法一、在內(nèi)，在內(nèi)，其方向如左圖，則二面角 的平面角；其方向如右圖，則二面角的平面角（同等異補(bǔ)）法二、設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角（二）典例分析： 問(wèn)題1（全國(guó)）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，證明：；求直線與平面所成角的大?。ū拘☆}要求用多種方法解答,包括向量法）.問(wèn)題2 （屆高三湖北、荊州、宜昌月模擬）邊長(zhǎng)為的正方體中，是棱上任一點(diǎn)，（）.若時(shí)，求證：面面；試確定值，使直線與平面所成的角的正切值為.問(wèn)題3（四川）如圖，是直角梯形，又，直線與直線所成的角為.求證：平面平面；求二面角的大小;求三棱錐的體積.(要求第小題用多種方法解答,包括向量法）.問(wèn)題4（陜西）如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：平面（此小題這里略去不做）；求二面角的大小(要求第小題用多種方法解答,包括向量法）.（三）課后作業(yè)： 如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是底面的中心，分別是，的中點(diǎn).那么異面直線和所成角的余弦值等于 (浙江文)在三棱錐中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，底面.求證：平面；求直線與平面所成角的大小如圖，的邊長(zhǎng)為，都垂直于平面，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線與平面所成的角.（四）走向高考： （浙江）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，且，是的中點(diǎn)求證：；求與平面所成的角(北京)如圖，在中，斜邊可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)的斜邊上求證：平面平面；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大??；求與平面所成角的最大值vABCD（福建）如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)求證：平面（此小題這里略去不做）；求二面角的大?。磺簏c(diǎn)到平面的距離