【高考前三個月復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練

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第21練　關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 [題型分析高考展望]　平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算，應(yīng)用十分廣泛，對向量本身，通過數(shù)量積運算可以解決位置關(guān)系的判定、夾角、模等問題，另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在解答題中出現(xiàn)，常與其他知識結(jié)合，進(jìn)行綜合考查. ?？碱}型精析 題型一　平面向量數(shù)量積的基本運算 例1　(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若＝1，則λ的值為________. (2)已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為切點，那么的最小值為(　　) A.－4＋ B.－3＋ C.－4＋2 D.－3＋2 點評　(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式：一是依據(jù)長度和夾角，二是利用坐標(biāo)運算，具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a，b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的“”. (2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題：ab＝0時得不到a＝0或b＝0，根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2＝a2，但|ab|≤|a||b|. 變式訓(xùn)練1　(2015湖北)已知向量⊥，||＝3，則＝________. 題型二　利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2　(1)(2015重慶)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D.π (2)(2015石家莊模擬)已知向量a，b滿足|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6abx＋5在R上單調(diào)遞減，則向量a，b夾角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 點評　求向量的夾角時要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角. 變式訓(xùn)練2　若兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，則向量b與a＋b的夾角為(　　) A. B. C. D. 題型三　利用數(shù)量積求向量的模 例3　(1)已知平面向量a和b，|a|＝1，|b|＝2，且a與b的夾角為120，則|2a＋b|等于(　　) A.2 B.4 C.2 D.6 (2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動點，則|＋3|的最小值為________. 點評　(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a＝(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|＝即可求解. (2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會把向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|＝. 變式訓(xùn)練3　(2015浙江)已知e1，e2是空間單位向量，e1e2＝，若空間向量b滿足be1＝2，be2＝，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝__________，y0＝________，|b|＝________. 高考題型精練 1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a，∠ABC＝60，則 等于(　　) A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2 2.(2014浙江)記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則(　　) A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|} C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2 D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2 3.(2015湖南)已知點A，B，C在圓x2＋y2＝1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標(biāo)為(2,0)，則|＋＋|的最大值為(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 4.如圖，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C為AB上靠近點A的四等分點，過C作AB的垂線l，P為垂線上任一點，設(shè)＝a，＝b，＝p，則p(b－a)等于(　　) A.－ B. C.－ D. 5.在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，則||的取值范圍是(　　) A.(0，] B.(，] C.(，] D.(，] 6.如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90且AC＝BC＝4，點M滿足＝3，則等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(2014安徽)設(shè)a，b為非零向量，|b|＝2|a|，兩組向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D.0 8.(2014江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，＝2，則的值是________. 9.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，記f(a，b)＝acos θ－bsin θ.若e1，e2均為單位向量，且e1e2＝，則向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為________. 10.(2015湖南衡陽八中第六次月考)已知點O是銳角△ABC的外心，AB＝8，AC＝12，A＝.若＝x＋y，則6x＋9y＝________. 11.已知向量a＝(sin x，)，b＝(cos x，－1). (1)當(dāng)a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的取值范圍. 　 　 　 　 　 　 12.(2015黃岡模擬)在△ABC中，AC＝10，過頂點C作AB的垂線，垂足為D，AD＝5，且滿足＝. (1)求|－|； (2)存在實數(shù)t≥1，使得向量x＝＋t，y＝t＋，令k＝xy，求k的最小值. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 答案精析 第21練　關(guān)于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型 ?？碱}型精析 例1　(1)2　(2)D 解析　(1)如圖， ＝(＋)(＋)＝(＋)(＋) ＝＋＋＋ ＝22cos 120＋22＋22＋22cos 120＝－2＋＋－＝－， 又∵＝1，∴－＝1，∴λ＝2. (2)方法一　設(shè)||＝||＝x，∠APB＝θ， 則tan ＝， 從而cos θ＝＝. ＝||||cos θ ＝x2＝ ＝ ＝x2＋1＋－3≥2－3， 當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝， 即x2＝－1時取等號， 故的最小值為2－3. 方法二　設(shè)∠APB＝θ，0<θ<π， 則||＝||＝. ＝||||cos θ ＝()2cos θ ＝(1－2sin2) ＝. 令x＝sin2，0|a－b|，此時，|a＋b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a，b夾角為鈍角時，|a＋b|<|a－b|，此時，|a－b|2>|a|2＋|b|2；當(dāng)a⊥b時，|a＋b|2＝|a－b|2＝|a|2＋|b|2，故選D.] 3.B [∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓直徑，故＋＝2＝(－4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，＝(x－2，y)，∴＋＋＝(x－6，y).故|＋＋|＝，∴x＝－1時有最大值＝7，故選B.] 4.A [以O(shè)A，OB所在直線分別作為x軸，y軸， O為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(1,0)，B(0,1)，C(，)， 直線l的方程為y－＝x－， 即x－y－＝0. 設(shè)P(x，x－)，則p＝(x，x－)， 而b－a＝(－1,1)， 所以p(b－a)＝－x＋(x－)＝－.] 5.D [由題意，知B1，B2在以O(shè)為圓心的單位圓上，點P在以O(shè)為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部. 又⊥，＝＋， 所以點A在以B1B2為直徑的圓上， 當(dāng)P與O點重合時，||取得最大值， 當(dāng)P在半徑為的圓周上時，||取得最小值， 故選D.] 6.C [在△ABC中，因為∠ACB＝90且AC＝BC＝4，所以AB＝4，且B＝A＝45.因為＝3，所以＝.所以＝(＋)＝2＋＝2＋＝16＋44cos 135＝4.] 7.B [設(shè)a與b的夾角為θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成，記S＝(xiyi)，則S有以下三種情況： ①S＝2a2＋2b2；②S＝4ab；③S＝|a|2＋2ab＋|b|2. ∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cos θ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cos θ. 易知②最小，即8|a|2cos θ＝4|a|2， ∴cos θ＝，可求θ＝，故選B.] 8.22 解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因為＝2，所以(＋)(－)＝2，即2－－2＝2.又因為2＝25，2＝64，所以＝22. 9. 解析　由e1e2＝，可得cos〈e1，e2〉＝＝， 故〈e1，e2〉＝，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝. f(e1，e2)＝e1cos －e2sin ＝e1－e2， f(e2，－e1)＝e2cos －(－e1)sin ＝e1－e2. f(e1，e2)f(e2，－e1)＝(e1－e2)(e1－e2)＝－e1e2＝0， 所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1). 故向量f(e1，e2)與f(e2，－e1)的夾角為. 10.5 解析　如圖，設(shè)點O在AB，AC上的射影是點D，E，它們分別為AB，AC的中點，連接OD，OE.由數(shù)量積的幾何意義，可得＝||||＝32，＝||||＝72，依題意有＝x2＋y＝64x＋48y＝32，即4x＋3y＝2，＝x＋y2＝48x＋144y＝72，即2x＋6y＝3，將兩式相加可得6x＋9y＝5. 11.解　(1)因為a∥b，所以cos x＋sin x＝0. 所以tan x＝－. 故cos2x－sin 2x＝ ＝＝. (2)f(x)＝2(a＋b)b ＝2(sin x＋cos x，－)(cos x，－1) ＝sin 2x＋cos 2x＋ ＝sin(2x＋)＋. 由正弦定理，得＝， 所以sin A＝＝＝. 所以A＝或A＝.因為b>a，所以A＝. 所以f(x)＋4cos(2A＋)＝sin(2x＋)－. 因為x∈[0，]，所以2x＋∈[，]. 所以－1≤f(x)＋4cos(2A＋)≤－. 所以f(x)＋4cos(2A＋)的取值范圍為[－1，－]. 12.解　(1)由＝，且A，B，D三點共線， 可知||＝||.又AD＝5，所以DB＝11. 在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75， 在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196， 所以BC＝14. 所以|－|＝||＝14. (2)由(1)，知||＝16，||＝10，||＝14. 由余弦定理，得cos A＝＝. 由x＝＋t，y＝t＋， 知k＝xy ＝(＋t)(t＋) ＝t||2＋(t2＋1)＋t||2 ＝256t＋(t2＋1)1610＋100t ＝80t2＋356t＋80. 由二次函數(shù)的圖象，可知該函數(shù)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)t＝1時，k取得最小值516.