高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第1節(jié) 正整數(shù)指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

§1 正整數(shù)指數(shù)函數(shù) 1．理解正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的概念，會求正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的值域． 2．掌握正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 正整數(shù)指數(shù)函數(shù) (1)定義：一般地，函數(shù)y＝_______(a＞0，a≠1，x∈N＋)叫作正整數(shù)指數(shù)函數(shù)．其中x是______(x在指數(shù)位置上)，底數(shù)a是常數(shù)． (2)定義域：__________. (3)正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是一群__________的點(diǎn)，且都位于x軸的__________． 【做一做1－1】 下列函數(shù)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的為( )． A．y＝－2x(x∈N＋) B．y＝2x(x∈R) C．y＝x2(x∈N＋) D．y＝x(x∈N＋) 【做一做1－2】 函數(shù)f(x)＝x(x∈N＋)，則f(2)＝__________. 答案：1．(1)ax　自變量　(2)N＋　(3)孤立　上方 【做一做1－1】 D 【做一做1－2】 1．在正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義中，為什么限定底數(shù)的范圍為a＞0且a≠1? 剖析：(1)若a＝0，則由于x∈N＋，則ax＝0，即ax是一個常量，沒有研究的必要． (2)若a＜0，則在正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義直接擴(kuò)充到指數(shù)函數(shù)的定義時對于x的某些取值，ax無意義，即不利于定義的擴(kuò)充，這是因?yàn)閧正整數(shù)指數(shù)函數(shù)}{指數(shù)函數(shù)}，即正整數(shù)指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的特例． (3)若a＝1，則對于任意x∈N＋，ax＝1，即ax是一個常量，沒有研究的必要． 為了避免出現(xiàn)上述各種情況，所以規(guī)定a＞0且a≠1，在規(guī)定以后，對于任意x∈N＋，ax都有意義，且ax＞0. 2．為什么正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像不是曲線？ 剖析：由于正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域是正整數(shù)集N＋，而正整數(shù)集是不連續(xù)的，所以用描點(diǎn)法畫正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像時，不能用平滑的曲線連起來．也就是說，正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的圖像是由一系列孤立的點(diǎn)組成的．例如：正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝x(x∈N＋)的圖像如圖所示． 題型一 判斷正整數(shù)指數(shù)函數(shù) 【例1】 若x∈N＋，下列哪個函數(shù)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)？ (1)y＝(－2)x；(2)y＝x3；(3)y＝7×2x； (4)y＝()x；(5)y＝(π－1)x. 分析：只需判斷函數(shù)的解析式是否符合形式y(tǒng)＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)即可． 反思：根據(jù)函數(shù)的解析式判斷是否為正整數(shù)指數(shù)函數(shù)時，關(guān)鍵是抓住正整數(shù)指數(shù)函數(shù)解析式的基本特征：ax前的系數(shù)必須是1，自變量x∈N＋，且x在指數(shù)的位置上，底數(shù)a＞0，a≠1.要注意正整數(shù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù))的區(qū)別． 題型二 正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 【例2】 畫出正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝3x(x∈N＋)的圖像，并指出其單調(diào)性和值域． 反思：正整數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的值域是{a，a2，a3，…}．當(dāng)a＞1時，為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時，為減函數(shù)． 題型三 實(shí)際應(yīng)用中的正整數(shù)指數(shù)函數(shù) 【例3】 已知鐳每經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%，設(shè)質(zhì)量為20克的鐳經(jīng)過x百年后剩留量為y克(其中x∈N＋)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出經(jīng)過1 000年后鐳的質(zhì)量．(可以用計(jì)算器) 分析：把100年看成一個基數(shù)，然后看每經(jīng)過100年鐳的質(zhì)量的變化，歸納出函數(shù)關(guān)系式． 反思：通常利用歸納法求實(shí)際應(yīng)用中的正整數(shù)指數(shù)函數(shù)型的解析式． 答案：【例1】 解：(1)y＝(－2)x的底數(shù)小于0，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)． (2)y＝x3中自變量x在底數(shù)的位置上，是冪函數(shù)，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)． (3)y＝7×2x中2x的系數(shù)等于7，是正整數(shù)指數(shù)型函數(shù)，不是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)． (4)(5)是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)． 【例2】 解：列表，描點(diǎn)作圖，如圖所示. x 1 2 3 … y 3 9 27 … 單調(diào)性：函數(shù)y＝3x(x∈N＋)是增函數(shù)． 值域是：{3,32,33，…}． 【例3】 解：鐳原來質(zhì)量為20克； 100年后鐳的質(zhì)量為20×95.76%(克)； 200年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)2(克)； 300年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)3(克)； …… x百年后鐳的質(zhì)量為20×(95.76%)x(克)． ∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為 y＝20×(95.76%)x(x∈N＋)． ∴經(jīng)過1 000年(即x＝10)后鐳的質(zhì)量為 y＝20×(95.76%)10≈12.97(克)． 1 若x∈N＋，下面幾個函數(shù)中，是正整數(shù)指數(shù)函數(shù)的是( )． A．y＝x4 B．y＝－2x C．y＝(－2)x D．y＝πx 2函數(shù)y＝(x∈N＋)的值域是( )． A．R B．R＋ C．N D. 3 函數(shù)y＝(x∈N＋)是( )． A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．奇函數(shù) D．偶函數(shù) 4 已知f(x)＝ax(a＞0，a≠1，x∈N＋)的圖像過點(diǎn)(3,64)，則f(2)＝________. 5 一種產(chǎn)品的成本原來是220元，在今后10年內(nèi)，計(jì)劃使成本每年比上一年降低20%，寫出成本y隨經(jīng)過年數(shù)x變化的函數(shù)關(guān)系式． 答案：1．D　2.D　3.A 4．16　由題意，得a3＝64，∴a＝4. ∴f(x)＝4x.∴f(2)＝42＝16. 5．分析：歸納出函數(shù)關(guān)系式． 解：每年的成本是上一年的1－20%＝80%＝0.8. 當(dāng)x＝1時，y＝220×0.8； 當(dāng)x＝2時，y＝220×0.8×0.8＝220×0.82； 當(dāng)x＝3時，y＝220×0.82×0.8＝220×0.83； …… 所以成本y與年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式為y＝220×0.8x(x＝1,2,3，…10)．