高中數(shù)學(xué) 第六章 第24課時(shí)《方差與標(biāo)準(zhǔn)差》教案（學(xué)生版） 蘇教版必修3

第24課時(shí) 方差與標(biāo)準(zhǔn)差【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】 學(xué)習(xí)要求 1體會(huì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差也是對(duì)調(diào)查數(shù)據(jù)的一種簡(jiǎn)明的描述，要求熟練記憶公式，并能用于生產(chǎn)實(shí)際和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中；2體會(huì)方差與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)描述中的異同。 【課堂互動(dòng)】自學(xué)評(píng)價(jià)案例 有甲乙兩種鋼筋現(xiàn)從中各抽取一個(gè)樣本(如下表)檢查它們的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/mm2)，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好?【分析】 在平均數(shù)相同的情況下，觀察上述數(shù)據(jù)表，發(fā)現(xiàn)乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，最大值145高于甲樣本的最大值135，這說(shuō)明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定在平均數(shù)相同的情況下，比較兩組數(shù)據(jù)的極差能大概判斷它們的穩(wěn)定程度極差: 從數(shù)據(jù)表上可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)較分散;甲的極差小，數(shù)據(jù)較集中，這就說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡(jiǎn)單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論這時(shí)，我們考慮用更為精確的方法方差在上一課時(shí)中，學(xué)習(xí)了總體平均數(shù)的估計(jì)，其中提到平均數(shù)是“最理想”近似值的緣由同樣我們可以考慮每一抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的離差，離差越小，穩(wěn)定性就越高那么，怎樣來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度呢？在上一課時(shí)中，設(shè)n個(gè)實(shí)驗(yàn)值(=1，2，n)的近似值為，那么它與這n個(gè)實(shí)驗(yàn)值(=1，2，n)的離差分別為，由于上述離差有正有負(fù)，故不宜直接相加可以考慮將各個(gè)離差的絕對(duì)值相加，研究|+|+|取最小值時(shí)的值但由于含絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以考慮離差的平方和，即()2+()2+()2，當(dāng)此和最小時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值作為近似值，因?yàn)?)2+()2+()2 =，所以當(dāng)時(shí)離差的平方和最小，故可用作為表示這個(gè)物理量的理想近似值，稱其為這n個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)或均值，一般記為 在上述過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)， 最小，考慮用與其平均數(shù)的離差的平方和來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是可行的即本案例中，可用各次抗拉強(qiáng)度與平均抗拉強(qiáng)度的差的平方和表示由于比較的兩組數(shù)據(jù)的容量可能不同，因此應(yīng)將上述平方和除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，我們把由此所得的值稱為這組數(shù)據(jù)的方差因?yàn)榉讲钆c原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開方后的值稱為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱 為這個(gè)樣本的方差，其算術(shù)平方根 為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，分別簡(jiǎn)稱樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差根據(jù)上述方差計(jì)算公式可算得甲、乙兩個(gè)樣本的方差分別為50和165，故可認(rèn)為甲種鋼筋的質(zhì)量好于乙種鋼筋【經(jīng)典范例】例1 甲、乙兩種冬水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）, 試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)?品 種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8【解】例2 為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差.天數(shù)151180181210211240241270271300301330331360361390燈泡數(shù)1111820251672【分析】用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命?！窘狻坷?（1）求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（結(jié)果精確到0.1）： 甲123456789乙111213141516171819丙102030405060708090丁35791113151719（2）比較計(jì)算結(jié)果，各組方差和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系是什么？【解】例4某市共有50萬(wàn)戶居民，城市調(diào)查隊(duì)按千分之一的比例進(jìn)行入戶調(diào)查，抽樣調(diào)查的結(jié)果如下家庭人均月收入(元)工作人員數(shù)管理人員數(shù)20560102005080204015合 計(jì)400100(1)一般工作人員家庭人均月收入的估計(jì)及其方差的估計(jì)；(2)管理人員家庭人均月收入的估計(jì)及其方差的估計(jì)(3)平均數(shù)的估計(jì)及總體方差的估計(jì)【解】追蹤訓(xùn)練1.若樣本，的平均數(shù)，方差，則樣本，的平均數(shù)_ ，_2若，的方差為3，則，的方差為 。3.計(jì)算下列兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差甲9.910.39.810.110.410.09.89.7乙10.210.09.510.310.59.69.810.1解：