高中數(shù)學 第四章 三角函數(shù)教案

第四章 三角函數(shù)教材分析三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了，本章所介紹的知識，既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學習中學后繼內(nèi)容和高等數(shù)學的基礎(chǔ) 本章教學時間約用36課時，具體分配如下(僅供參考)： 4.1角的概念的推廣 約2課時 4.2弧度制 約2課時 4.3任意角的三角函數(shù) 約2課時 4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 約2課時 4.5正弦、余弦的誘導公式 約3課時 4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切 約7課時 4.7二倍角的正弦、余弦、正切 約3課時 4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 約4課時 4.9函數(shù)y=Asin(x+) 的圖象 約3課時 4.10正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 約2課時 4.11已知三角函數(shù)值求角 約2課時 小結(jié)與復習 約4課時 一、 內(nèi)容與要求 (一)本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角等 (二)章頭引言安排了一個實際問題求半圓內(nèi)接矩形的最大面積這個問題可以用二次函數(shù)來解決，但如果設(shè)角度為自變量，就會得到三角函數(shù)式，學生尚未學過求它的最大值 第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角(都用坐標定義)，然后導出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式及正弦、余弦的誘導公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實例以及知識的應(yīng)用 第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”教科書先引入平面內(nèi)兩點間距離公式(只通過畫圖說明公式的正確性，不予嚴格證明)，用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)其他公式，同時安排了這些公式的簡單應(yīng)用和實際應(yīng)用，包括解決引言中的實際問題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學生有所了解 第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教科書先利用正弦線畫出函數(shù) ，x0,的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動，得到正弦曲線；在此基礎(chǔ)上，利用誘導公式，把正弦曲線向左平行移動個單位長度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，然后又研究了正弦函數(shù)的簡圖的畫法，簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質(zhì)最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進了arcsinx、arccosx、arctanx等記號，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問題時用來表示答案 (三)本章的教學要求是： 1使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算 2使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導公式 3使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過公式的推導，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力 4使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶） 5 使學生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解A、的物理意義 6使學生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示二、 考點要求1理解弧度的定義，并能正確地進行弧度和角度的換算2掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號、同角三角函數(shù)的關(guān)系式與誘導公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會求的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運用上述三角公式化簡三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式3了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，并能解決正弦、曲線有關(guān)的實際問題4能推導并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式5了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式6能正確地運用上述公式簡化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題7掌握余弦定理、正弦定理及其推導過程、并能運用它們解斜三角形三、考點分析 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質(zhì)以及與其他代數(shù)、幾何知識的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎(chǔ)，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過強的題目，重點應(yīng)放在結(jié)知識理解的準確性、熟練性和靈活性上試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識結(jié)合考查復習時應(yīng)把握好以下幾點：1理解弧度制表示角的優(yōu)點在于把角的集合與實數(shù)集一一對應(yīng)起來，二是就可把三角函數(shù)看成以實數(shù)為自變量的函數(shù)2要區(qū)別正角、負角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念3在已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要注意題設(shè)中角的范圍，并對不同的象限分別求出相應(yīng)的值在應(yīng)用誘導公式進行三角式的化簡、求值時，應(yīng)注意公式中符號的選取4單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來代替三角函數(shù)值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質(zhì)的一個強有力的工具5要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個三角函數(shù)的“標準式”，進而可求得某些復合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調(diào)性等對函數(shù)式作恒等變形時需特別注意保持定義域的不變性6函數(shù)的單調(diào)性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調(diào)敬意的同一函數(shù)的兩個函數(shù)值才能由它的單調(diào)性來比較大小7對于具有周期性的函數(shù)，在作圖時只要先作它在一個周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個函數(shù)的圖象8對于，等表達式，要會進行熟練的變形，并利用等三角公式進行化簡本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)，考查的知識共7個，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識，題目多為求值題，有直接求某個三角函數(shù)值的，也有通過三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質(zhì)；以及少量的化簡，證明題考查的題量一般為34個，分值在1222分，都是容易題和中等題，重點考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式 考生丟分的原因主要有以下兩點：一是公式不熟，二是運算不過關(guān)，因此復習時要注意以下幾點： 1熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復習中注意掌握以下幾個三角恒等變形的常用方法和簡單技巧 常值代換，特別是“1”的代換，如：，等等 項的分拆與角的配湊 降次與升次 萬能代換 另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實質(zhì)，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應(yīng)用范圍和力度 2要會運用和差化積與積化和差公式對三角函數(shù)和差式，要善于轉(zhuǎn)化為積的形式，反之亦然，對于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號決定，角的值由確定對這種思想，務(wù)必強化訓練，加深認識 3歸納總結(jié)并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧 三角函數(shù)化簡時，在題設(shè)的要求下，首先應(yīng)合理利用有關(guān)公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等 三角函數(shù)的求值問題，主要有兩種類型一關(guān)是給角求值問題；另一類是給值求角問題它們都是通過恰當?shù)淖儞Q，設(shè)法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時應(yīng)注意方向性、靈活性，以造成消項或約項的機會，簡化問題 4關(guān)于三角函數(shù)式的簡單證明三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡入手，適當變換，化繁為簡，不過這里的變換目標要由所證恒等式的特點來決定 不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條件下，也可使用數(shù)學歸納法 附加條件的三角恒等式證明：關(guān)鍵在于恰當而適時地使用所附加的條件，也就是要仔細地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等證明中要重點會用和差與積的互化公式，掌握等價轉(zhuǎn)化的思想和變量代換的方法證明的關(guān)鍵是：發(fā)現(xiàn)差異觀察等式兩邊角、函數(shù)、運算間的差異；尋找聯(lián)系選擇恰當公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉(zhuǎn)化促進聯(lián)系，創(chuàng)造性地應(yīng)用基本公式 而關(guān)于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來說，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調(diào)性得出 5在解有關(guān)三角形的問題中，銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關(guān)系的作用 6求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值四、三角函數(shù)中應(yīng)注意的問題(一)本章內(nèi)容的重點是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關(guān)系式、誘導公式及其運用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì)難點是：弧度制的慨念，綜合運用本章公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關(guān)系關(guān)鍵是：使學生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質(zhì) 由于課時較緊，教學中應(yīng)遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充已被刪簡的知識點例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式只講，三個；除（kZ）外，其余誘導公式中，要求學生記住并能靈活運用的，只是用正弦、余弦表示那幾個，以后求tan可通過用科學計算器或者轉(zhuǎn)化為 來求；在推導正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時，出現(xiàn)了正切的誘導公式，但這只作為推導的中間步驟，不要求學生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和(差)角公式的應(yīng)用出現(xiàn)一下，結(jié)果不要求記憶，更不要求運用；此外，也不要補充“把化成一個角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習題 (二)在講述弧度制的優(yōu)點、角度制的不足時，要注意科學性事實上，角的概念推廣后，無論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實數(shù)集R及之間建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系說“每個角都有唯一的實數(shù)與它對應(yīng)”時，這個實數(shù)可以取這個角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分數(shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對應(yīng)法則不是唯一的，但每一種對應(yīng)法則下對應(yīng)的實數(shù)是唯一的所以不要認為只有弧度制才能將角與實數(shù)一一對應(yīng)有的教師認為角度制的計量單位太小，而弧度制的計量單位大，而且可以省略不寫，這種說法雖有一定道理，但在科學上并不具有充足的理由，因為小有小的好處，何況坐標系中兩條數(shù)軸上的單位長度可以不一致關(guān)鍵在于用角度制表示角的時候，我們總是十進制、六十進制并用的，例如角其中61、21、12都是十進數(shù)，而度、分、秒之間的關(guān)系是六十進(退)位的，這樣，為了找出與角對應(yīng)的實數(shù)(我們學的實數(shù)都是十進數(shù))，要經(jīng)過一番計算，這就不太方便了 (三)定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴格地說，例如，只有 ，才可以說是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說是三角函數(shù)，例如可以說是2x的正弦函數(shù)(這時可說它是三角函數(shù))，也可以說是正弦函數(shù)與正比例函數(shù) 的復合函數(shù)，但不能說是x的正弦函數(shù)另一點是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關(guān)的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學中不宜隨便說(或?qū)?“正弦函數(shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個周期，不要把部分當作整體 (四)關(guān)于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關(guān)例題時，可以利用設(shè)輔助角(即通過設(shè)輔助元素把未知轉(zhuǎn)化為已知，這是化歸思想的運用)來求解，把求解過程調(diào)整為： 1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應(yīng)的銳角，如果函數(shù)值為負數(shù)，則先求出與其絕對值相應(yīng)的銳角 2、決定角x可能是第幾象限角 3、如果函數(shù)值為負數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對應(yīng)的角如果它是第二象限角，那么可表示為 ;如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或也可以把上述輔助角看作參變量(x為自變量)，那么所提供的方法就可以看作參數(shù)的應(yīng)用新大綱把參數(shù)的知識分散在有關(guān)的教學內(nèi)容中，教學時適時提醒學生注意使用，這是有好處的 (五)本章所使用的符號及其用法，全部與國家標準所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達到規(guī)范化物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時，對于本章中的幾道與物理(力學、電學)有關(guān)的習題，解答時使用的符號及其用法，應(yīng)與教科書上的相同，以免與物理教師講課時的要求發(fā)生矛盾，弄得學生無所適從 (六)注意符合學生的認識規(guī)律除了從實際問題引入數(shù)學概念之外，在這方面的措施有：(1)重建數(shù)形結(jié)構(gòu)首先通過平面直角坐標系 (數(shù)形結(jié)合)定義任意角的三角函數(shù)，在得到“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”即第一組誘導公式后，就引入與單位圓有關(guān)的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式(三角函數(shù)線)表示出來；然后學習同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式，其他誘導公式，以及兩角和與差的三角函數(shù)，這一部分屬于式的化簡、求值、恒等關(guān)系的證明以及它們的簡單應(yīng)用，研究方法以數(shù)為主，以形為輔；最后學習三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、其應(yīng)用包括已知三角函數(shù)值求角，這一部分的研究方法則以形為主，以數(shù)為輔(2)利用學生已有的認知結(jié)構(gòu)首先利用二次函數(shù)的知識來解決問題；建立任意角的概念時，利用學生觀看體操節(jié)目已有的例如對于“轉(zhuǎn)體720度”的直覺和語詞記憶；畫余弦函數(shù)的圖象時，利用正弦曲線和誘導公式，已知三角函數(shù)值求角時，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(3)精簡認知結(jié)構(gòu)，略去或簡化不必要的程序例如，從銳角三角函數(shù)直接推廣到任意角三角函數(shù)，略去了講鈍角三角函數(shù)這一程序這樣做不僅節(jié)約了課時，而且密切了“任意角”與 “任意角三角函數(shù)”的聯(lián)系，反而加強了后者這一知識的發(fā)生和形成過程