高中數(shù)學(xué)《空間中的垂直關(guān)系》學(xué)案5 新人教B版必修2

空間中的垂直關(guān)系新課標(biāo)要求通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。能運用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。重點難點聚焦直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定不光是確立垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也以后計算角和距離重要環(huán)節(jié)。因此，垂直關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化是整個立體幾何部分的重點和關(guān)鍵。高考分析及預(yù)策 近年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考查重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進行了降低，重點放在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。題組設(shè)計再現(xiàn)型題組 （2020上海，13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ ）條件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線BD1的關(guān)系為（ ）AlBD1 BlBD1 Cl與BD1 相交 D不確定3如圖，在四面體ABCD中，（1）四面體ABCD的各面中有幾個直角三角形？為什么？（2）四面體ABCD的各面中有幾組平面互相垂直？為什么？（3）你能找出A在面BCD上的射影嗎？為什么？鞏固型題組 如圖所示，為正方形，平面，過且垂直于的平面分別交于求證：，5如圖，在三棱錐中，作，為垂足，作于求證： 6如圖，是圓的直徑，是圓周上一點，平面若 ，為垂足，是上任意一點，求證：平面平面提高型題組 7.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中點（1）求證C1D 平面A1B ；（2）當(dāng)點F 在BB1 上什么位置時，會使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。反饋型題組 8（2020江西理,7）如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H則以下命題中，錯誤的命題是（ ）A點H是A1BD的垂心 BAH垂直平面CB1D1CAH的延長線經(jīng)過點C1 D直線AH和BB1所成角為45°9.（1999全國，18）、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線.給出四個論斷：mn n m以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題： 。10. 如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是EA 的中點，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。11. 求證：如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線l垂直于另一個平面空間中的垂直關(guān)系（解答部分）再現(xiàn)型題組 【提示或答案】C【基礎(chǔ)知識聚焦】線面垂直定義：如果一條直線l和一個平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l。【提示或答案】B【基礎(chǔ)知識聚焦】直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。【提示或答案】四個；三組；（3）BD的中點E【基礎(chǔ)知識聚焦】兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面。鞏固型題組【證明】平面，平面又平面，平面，平面同理可證【點評】本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化判定空間兩直線垂直的方法有：由定義：若兩條直線所成的角是直角，則它們互相垂直平面幾何中證明線線垂直的方法；三垂線定理及其逆定理線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面互相垂直，則這條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直(5)向量方法。5. 【證明】取的中點，連結(jié)， ， ， 又，平面 平面， 又， 平面， ， 平面【點評】本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復(fù)，直到證得結(jié)論判定直線與平面垂直的方法有：由定義：如果一條直線和一個平面相交，且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線和這個平面互相垂直線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面向量方法6.【證明】是圓的直徑，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面【點評】證明兩個平面垂直時，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系判定平面與平面垂直的方法有：由定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面面面垂直的判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直向量方法提高型題組【解法】（1）證明：如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90°。又 D 是A1B1 的中點， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點F 即為所求。事實上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF ?！军c評】本題（1）的證明中，證得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。課堂小結(jié)1證明空間線面垂直需注意以下幾點：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時應(yīng)用判定定理，何時應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。2. 要有升降維”思想，熟練掌握各類垂直的相互轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直 每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達到目的。例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程。反饋型題組8.D9.m，n，mn或mn，m，n【點評】本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體。考查知識立足課本，對空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強能力考查的方向10. （1）如圖，取EC 中點F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。11. 已知：平面、，且.求證：.【方法一】設(shè)，,在內(nèi)作，.由平面與平面垂直的性質(zhì)可得：,因為 ,所以 .同理 ,故 .【方法二】設(shè)，,在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線由平面與平面垂直的性質(zhì)得：，,故 .又因為 ,得，因為 ，,故 ,所以 .