高中數(shù)學(xué)《空間中的垂直關(guān)系》學(xué)案5 新人教B版必修2

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1、空間中的垂直關(guān)系新課標(biāo)要求通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直。通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定不光是確立垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也以后計(jì)算角和距離重要環(huán)節(jié)。因此，垂直關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化是整個(gè)立體幾何部分的重點(diǎn)和關(guān)鍵。高考分析及預(yù)策 近年來，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于

2、棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考查重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)放在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。題組設(shè)計(jì)再現(xiàn)型題組 （2020上海，13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ ）條件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線

3、BD1的關(guān)系為（ ）AlBD1 BlBD1 Cl與BD1 相交 D不確定3如圖，在四面體ABCD中，（1）四面體ABCD的各面中有幾個(gè)直角三角形？為什么？（2）四面體ABCD的各面中有幾組平面互相垂直？為什么？（3）你能找出A在面BCD上的射影嗎？為什么？鞏固型題組 如圖所示，為正方形，平面，過且垂直于的平面分別交于求證：，5如圖，在三棱錐中，作，為垂足，作于求證： 6如圖，是圓的直徑，是圓周上一點(diǎn)，平面若 ，為垂足，是上任意一點(diǎn)，求證：平面平面提高型題組 7.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1 中，AC BC 1，ACB 90，AA1 ，D 是A1B1 中點(diǎn)（1）求證C1D 平面A1B ；（2

4、）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。反饋型題組 8（2020江西理,7）如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，過點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ）A點(diǎn)H是A1BD的垂心 BAH垂直平面CB1D1CAH的延長(zhǎng)線經(jīng)過點(diǎn)C1 D直線AH和BB1所成角為459.（1999全國(guó)，18）、是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：mn n m以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。10. 如圖，ABC 為正三角形，EC 平面ABC ，BD CE ，CE CA 2 BD ，M 是

5、EA 的中點(diǎn)，求證：（1）DE DA ；（2）平面BDM 平面ECA ；（3）平面DEA 平面ECA。11. 求證：如果兩個(gè)相交平面都與另一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的交線l垂直于另一個(gè)平面空間中的垂直關(guān)系（解答部分）再現(xiàn)型題組 【提示或答案】C【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】線面垂直定義：如果一條直線l和一個(gè)平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l?！咎崾净虼鸢浮緽【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。直

6、線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。【提示或答案】四個(gè)；三組；（3）BD的中點(diǎn)E【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】?jī)蓚€(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。鞏固型題組【證明】平面，平面又平面，平面，平面同理可證【點(diǎn)評(píng)】本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平

7、面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化判定空間兩直線垂直的方法有：由定義：若兩條直線所成的角是直角，則它們互相垂直平面幾何中證明線線垂直的方法；三垂線定理及其逆定理線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面互相垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直(5)向量方法。5. 【證明】取的中點(diǎn)，連結(jié)， ， ， 又，平面 平面， 又， 平面， ， 平面【點(diǎn)評(píng)】本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直如此反復(fù)，直到證得結(jié)論判定直線與平面垂直的方法有：由定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面互

8、相垂直線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面向量方法6.【證明】是圓的直徑，平面，平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面【點(diǎn)評(píng)】證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系判定平面與平面垂直的方法有：由定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直向量方法提高型題組【解法】（1）

9、證明：如圖， ABCA1B1C1 是直三棱柱， A1C1 B1C1 1，且A1C1B1 90。又 D 是A1B1 的中點(diǎn)， C1D A1B1 。 AA1 平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， AA1 C1D ， C1D 平面AA1B1B。（2）解：作DE AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。事實(shí)上， C1D 平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， C1D AB1 又AB1 DF ，DF C1D D ， AB1 平面C1DF ?！军c(diǎn)評(píng)】本題（1）的證明中，證得C1D A1B1 后，由ABCA1B1C1

10、是直三棱柱知平面C1A1B1 平面AA1B1B ，立得C1D 平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。課堂小結(jié)1證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。2. 要有升降維”思想，熟練掌握各類垂直的相互轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直 每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達(dá)到目的。例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平

11、面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。運(yùn)用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進(jìn)行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決。運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過程。反饋型題組8.D9.m，n，mn或mn，m，n【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識(shí)為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝

12、成具有一定邏輯關(guān)系的整體?？疾橹R(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向10. （1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 EC 平面ABC ，BD CE ，得DB 平面ABC 。 DB AB ，EC BC。 BD CE ，BD CE FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF EC。又BA BC DF ， RtDEF RtABD ，所以DE DA。（2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， M 是EA 的中點(diǎn)， MN EC。由BD EC ，且BD 平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM MN。 DE DA ，M 是EA 的中點(diǎn)， DM EA 又EA MN M ， DM 平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA 平面BDM。（3） DM 平面ECA ，DM 平面DEA ， 平面DEA 平面ECA。11. 已知：平面、，且.求證：.【方法一】設(shè)，,在內(nèi)作，.由平面與平面垂直的性質(zhì)可得：,因?yàn)?,所以 .同理 ,故 .【方法二】設(shè)，,在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線由平面與平面垂直的性質(zhì)得：，,故 .又因?yàn)?,得，因?yàn)?，,故 ,所以 .