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1、選修4—5 不等式選講
隨堂演練鞏固
1.對于R,不等式|x+10|-|x-2|的解集為 .
【答案】
【解析】 令y=|x+10|-|x-2|=
則可畫出其函數(shù)圖象如圖所示:
由圖象可以觀察出使的x的范圍為.
∴|x+10|-|x-2|的解集為.
2.（2020江西高考，理15）對于實數(shù)x,y,若|x-1||y-2|1,則|x-2y+1|的最大值為 .
【答案】 5
【解析】 |x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2||x-1|+2|y-2|+1+2+2=5.
3.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-4|
2、+1.
(1)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象;
(2)若不等式的解集非空,求a的取值范圍.
【解】 (1)由于f(x)= 則函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.
(2)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)或a<-2時,函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點,故不等式的解集非空時,a的取值范圍為.
4.設(shè)a,b是非負實數(shù),求證: .
【證明】 由a,b是非負實數(shù),作差得
.
當(dāng)時從而
得;
當(dāng)ab>c,且a+b+c=0,證明:.
【證明】
c)>
3、0.
∵a>b>c,a+b+c=0,
∴a-c>0,2a+c=a+(a+c)=a-b>0,
即知(a-c)(2a+c)>0.
故.
6.已知求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.
【證法一】 假設(shè)三式同時大于
即有
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b.
又.
同理.
∴(1-a)a(1-b與假設(shè)矛盾,
∴結(jié)論正確.
【證法二】 假設(shè)三式同時大于
∵00,
.
同理都大于.
三式相加,得矛盾.
∴原命題成立.
課后作業(yè)夯基
基礎(chǔ)鞏固
1.若不等式|x+1|+|x-2
4、|對任意R恒成立,則a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】 方法一:∵|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3,
∴使原不等式恒成立的a的取值范圍是.
方法二:|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上一點A(x)到B(-1)與C(2)的距離之和,而|BC|=3,
∴|AB|+|AC|.∴.
方法三:設(shè)f(x)=|x+1|+|x-2|=
∴f(x)的圖象如圖所示,
∴.∴.
2.不等式||的解集是 .
【答案】
【解析】 ∵||=||,
而恒成立,
∴原不等式等價于
即2x>-6,x>-3.
5、
∴原不等式的解集為.
3.（2020天津高考，理13）已知集合A={R||x+3|+|x-4|9},B={R|
},則集合 .
【答案】 {x|}
【解析】 解不等式|x+3|+|x-4|.
(1)當(dāng)x<-3時,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-9,
∴即;
(2)當(dāng)時,|x+3|+|x-4|=x+3+4-9恒成立,
∴;
(3)當(dāng)x>4時,|x+3|+|x-4|
∴即.
綜上所述,A={R|}.
∵∴當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
∴B={R|}.
∴{R|}{R|}={R|}.
4.如果關(guān)于x的不
6、等式|x-3|-|x-4|-1
【解析】 a>(|x-3|-|x-4|令y=|x-3|-|x-4|,
由幾何意義得故a>-1.
5.若不等式||>|a-2|+1對于一切非零實數(shù)x均成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】 (1,3)
【解析】 ∵||∴|a-2|+1<2,
即|a-2|<1,解得14.
【解法一】 由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4,
即或x>2.
所以原不等式的解集為{x|或x>2}.
【
7、解法二】 (數(shù)形結(jié)合法):
畫出函數(shù)y=|3x-2|= 的圖象,如下圖所示:
|3x-2|=4,解得x=2或
∴|3x-2|>4時或x>2.
∴原不等式的解集為{x|或x>2}.
7.解不等式:|x|+|2x+7|<5.
【解】 當(dāng)時,-x-(2x+7)<5,x>-4,∴-4<;
當(dāng)時,-x+2x+7<5,x<-2,
∴0時,x+2x+7舍去.
∴原不等式的解集為(-4,-2).
8.若關(guān)于x的不等式x+|x-1|有解,求實數(shù)a的取值范圍.
【解】 設(shè)f(x)=x+|x-1|,則f(x)=
所以f(x)的最小值為1.
所以當(dāng)
8、時有解,
即實數(shù)a的取值范圍是.
9.解不等式x+|2x-1|<3.
【解】 原不等式可化為
或
解得或.
所以原不等式的解集是{x|}.
10.求證:.
【證明】 設(shè)
定義域為{x|R且},f(x)分別在上是增函數(shù).
又|a+b||a|+|b|,
∴f(|a+b||a|+|b|),
即
.
∴原不等式成立.
11.設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集為{x|},求a的值.
【解】 (1)當(dāng)a=1時可化為|x-1|.
由此可得或.
故不等式的
9、解集為{x|或-1}.
(2)由得|x-a|.
此不等式化為不等式組
或
即 或
因為a>0,所以不等式組的解集為{x|}.
由題設(shè)可得故a=2.
12.已知且求證:若a,b,c成等差數(shù)列,則不可能成等差數(shù)列.
【證明】 假設(shè)成等差數(shù)列,則化簡得b(a+c)=2ac. ①
因為a,b,c成等差數(shù)列,所以a+c=2b. ②
把②代入①,得由此得.
這與相矛盾,因此假設(shè)不成立,故原命題正確.
13.(2020安徽高考,理19)(1)設(shè)證明x+y+;
(2)設(shè)證明loglogloglogloglog.
【證明】 (1)由于所以.
將上式
10、中的右式減左式,得[y[xy(x+y)+1]
y)-(x+y)]
=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)
=(xy-1)(xy-x-y+1)
=(xy-1)(x-1)(y-1).
既然所以(xy-1)(x-1.
從而所要證明的不等式成立.
(2)設(shè)loglog
由對數(shù)的換底公式得loglogloglog.
于是,所要證明的不等式即為
其中x=loglog.
故由(1)可知所要證明的不等式成立.
拓展延伸
14.已知函數(shù)f(x)=|x-a|,
(1)若不等式的解集為{x|},求實數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若對一切實數(shù)x
11、恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【解法一】 (1)由得|x-a|解得a+3.
又已知不等式的解集為{x|},
所以
解得a=2.
(2)當(dāng)a=2時,f(x)=|x-2|.
設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),于是
g(x)=|x-2|+|x+3|=
所以當(dāng)x<-3時,g(x)>5;
當(dāng)時,g(x)=5;
當(dāng)x>2時,g(x)>5.
綜上可得,g(x)的最小值為5.
從而,若
即對一切實數(shù)x恒成立,
則m的取值范圍為.
【解法二】 (1)同解法一.
(2)當(dāng)a=2時,f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5).
由|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)得,g(x)的最小值為5.
從而,若
即對一切實數(shù)x恒成立,則m的取值范圍為.
高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講
