數(shù)學(xué)第4章 圖形的認(rèn)識(shí)與三角形 第15講 等腰三角形與直角三角形

第四章第四章 圖形的認(rèn)識(shí)與三角形圖形的認(rèn)識(shí)與三角形 第第 15講講 等腰三角形與直角三角形等腰三角形與直角三角形 考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理性質(zhì)等腰三角形的兩腰相等(定義賦予)提示 (1)在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的平分線與該角對(duì)邊上的中線重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形；(2)在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的平分線與該角對(duì)邊上的高重合，那么這個(gè)三角形是等腰三角形 等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，即“三線合一”等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，有一條對(duì)稱軸判定有兩邊相等的三角形是等腰三角形(定義賦予) 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對(duì)等邊”線段的垂直平分線角平分線性質(zhì)性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等判定判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上互逆命題與互逆定理互逆命題與互逆定理互逆命題如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)_，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所以每個(gè)命題都有逆命題互逆定理一般地，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理一個(gè)定理不一定存在其逆定理 典型例題運(yùn)用典型例題運(yùn)用 類型類型1 線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用 【例1】 2017徐州一模如圖，四邊形ABCD，A110，若點(diǎn)D在AB，AC的垂直平分線上，則BDC為(D)A90 B110 C120 D140D D連接AD，點(diǎn)D在AB，AC的垂直平分線上，BDAD，DCAD，BBAD，CCAD，BAC110BADCAD，BC110，BDC360(BC)BAC360110110140.變式運(yùn)用 如圖，在RtACB中，C90，BE平分ABC，ED垂直平分AB于D.若AC9，求AE的值解：設(shè)AEx，則CE9x.BE平分ABC，又CECB，EDAB，DECE9x.DE垂直平分AB，AEBE.AABECBE.在RtACB中，AABC90，AABECBE30，DE AE，即9x x，x6.AE長(zhǎng)為6.2121類型類型2 2 角平分線性質(zhì)的應(yīng)用角平分線性質(zhì)的應(yīng)用 【例2 2】 2018預(yù)測(cè)如圖，ABCD，O為BAC，ACD的平分線的交點(diǎn)，OEAC于E，且OE1，則AB與CD之間的距離等于_2_2過O作OFAB，OGCD，AO為ACD的平分線，且OEAC，OFAB，OEOF1，CO為ACD的平分線，且OEAC，OGCD，OGOE1，F(xiàn)GOFOG2，ABCD，AB與CD之間的距離等于2.變式運(yùn)用 已知：如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，ABACAD，DACABC.(1)求證：BD平分ABC；(2)若DAC45，OA1，求OC的長(zhǎng)解：(1)證明：ABAC，ABCACB.DACABC，DACACB.ADBC.ADBCBD.又ABAD，ADBABD.ABDCBD.BD平分ABC.(2)如圖，過點(diǎn)O作OEBC于點(diǎn)E，DAC45，DACABC，ABCACB45.BAC90.BD平分ABC，OEOA1.在RtOEC中，ACB45，OE1，OC .2類型類型3 3 等腰三角形的性質(zhì)和判定等腰三角形的性質(zhì)和判定 【例3 3】 如圖，ABC是等邊三角形，BD平分ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CECD.求證：BDDE.【自主解答】 ABC是等邊三角形，BD是ABC的平分線，ABCACB60，DBC30.又CECD，CDECED.又BCDCDECED，CDECED BCD30.DBCDEC.DBDE(等角對(duì)等邊)21變式運(yùn)用 2017蓬江區(qū)質(zhì)檢如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，且BECF，BDCE.(1)求證：DEF是等腰三角形；(2)當(dāng)A40時(shí)，求DEF的度數(shù)解：(1)證明：ABAC，ABCACB.在DBE和ECF中，DBEECF.DEEF.DEF是等腰三角形(2)DBEECF，13，24.ABC180，B (18040)70.12110.32110.DEF70 21六年真題全練六年真題全練命題點(diǎn)命題點(diǎn)1 1 線段垂直平分線與角平分線的性質(zhì)及判定1 12016德州如圖，ABC中，B55，C30.分別以點(diǎn)A和C為圓心，大于 AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則BAD的度數(shù)為(A)21A65 B60 C55 D45A A由作圖知，MN是AC的垂直平分線，DACC30.又BAC180BC180553095，BADBACDAC953065.2 22015德州鏈接第14講六年真題全練第2題猜押預(yù)測(cè) 如圖，已知點(diǎn)P是AOB平分線上的一點(diǎn)，AOB60，PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM4cm，如果點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC的最小值為(C)A2 B2 C4 D4C CP是AOB角平分線上的一點(diǎn)，AOB60，AOP AOB30.PDOA，M是OP的中點(diǎn)，DM4cm，OP2OM8，PD OP4.點(diǎn)C是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC的最小值為P到OB距離，PC的最小值PD4.2121命題點(diǎn)命題點(diǎn)2 2 等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)及判定等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)及判定 3 32013德州如圖，ABCD，點(diǎn)E在BC上，且CDCE，D74，則B的度數(shù)為(B) A68 B32 C22 D16B BCDCE，D74，DEC74，C18074232.ABCD，BC32.4 42012德州如圖，在一單位為1的方格紙上，A1A2A3，A3A4A5，A5A6A7，都是斜邊在x軸上、斜邊長(zhǎng)分別為2，4，6，的等腰直角三角形若A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1(2，0)，A2(1，1)，A3(0，0)，則依圖中所示規(guī)律，A2012的坐標(biāo)為(2，1006)(2，1006)2012是4的倍數(shù)，A1A4；A5A8；每4個(gè)為一組，20124503，A2012在x軸上方，橫坐標(biāo)為2，A4，A8，A12的縱坐標(biāo)分別為2，4，6，A2012的縱坐標(biāo)為2012 1006.21