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1、2019-2020年高二數(shù)學(xué)下12.7《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案（1）滬教版
一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)研究的是拋物線，是解析幾何基本思想方法的又一次應(yīng)用.我們從研究已經(jīng)熟悉的拋物線的性質(zhì)入手，概括出了拋物線的定義；運(yùn)用坐標(biāo)的觀點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求得了拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式.其重點(diǎn)和難點(diǎn)是拋物線定義的得出和求解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
從二次函數(shù)圖像——拋物線上任意一點(diǎn)到已知點(diǎn)和已知定直線的距離相等著手，再去研究滿足到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線的距離相等的點(diǎn)一定在拋物線上，得出拋物線的定義。這種從必要條件中尋找充要條件的想法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它可以使尋找范圍大大縮小.從研究拋物線性質(zhì)入手
2、概括拋物線定義的過程中，對坐標(biāo)軸的選取作了提示，不僅可以免除硬性規(guī)定坐標(biāo)系的選法，而且還可以發(fā)展學(xué)生的聯(lián)想對比能力.
在求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程這一過程中，可以使學(xué)生體會(huì)解析幾何將幾何問題代數(shù)化的基本思想，培養(yǎng)用已知解釋未知以及分析、解決問題的能力.
二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)
1、掌握拋物線的定義，掌握拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程.
2、通過對拋物線概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)解析法，形成分析和概括的能力.
3、通過對拋物線問題的分析和解決，形成良好的學(xué)習(xí)和思維習(xí)慣，初步形成勇于探索、嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的科學(xué)態(tài)度.
三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)拋物線的概念、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.數(shù)形結(jié)合思想方法在概念理解與解題中的運(yùn)用.
四、教
3、學(xué)流程設(shè)計(jì)
五、教學(xué)過程
(一) 拋物線的定義
1．引入課題
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓、橢圓、雙曲線三種曲線，今天學(xué)習(xí)第四種曲線——拋物線.同學(xué)們對拋物線已有了哪些認(rèn)識？在物理中，拋物線被認(rèn)為是拋射物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，在函數(shù)中，二次函數(shù)的圖像也被稱之為拋物線.
問題1：拋物線是滿足什么條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡？
我們知道圓、橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)都是由距離刻畫的，那么拋物線上的點(diǎn)的性質(zhì)能否用距離來刻畫呢？
我們可以從考察最簡單的二次函數(shù)的圖像入手來探索這個(gè)問題.
問題1．1二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)具有怎樣的幾何性質(zhì)？
11x2+(y-4)2=1y+4I
1111
x2=yOx2+y2一y+
4、=y2+y+。
216216
發(fā)現(xiàn)，圖像上的點(diǎn)到定點(diǎn)F()的距離等于到直線丫=的距離.
那么，到定點(diǎn)F()的距離與直線y=的距離相等的點(diǎn)是否都在二次函數(shù)的圖像上？因?yàn)橐陨细鞑娇赡嫠源鸢甘强隙ǖ?
問題1．2是否所有的二次函數(shù)的圖像都具有類似的幾何性質(zhì)？
我們只要看，能否作類似的變形即可.
11111
y=ax2oy=x2ox2+y2一y+=y2+y+—
a2a4a22a4a2
=1y+I，可以看到，拋物線丫=上所有點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線相等.4a
問題1．3函數(shù)圖像上的點(diǎn)呢？
/b、4ac-b2
y=a（x+）2+由的圖像平移而得?其幾何特性不變.
2a4a
所以拋物線
5、上任意一點(diǎn)到已知定點(diǎn)和定直線的距離相等.
由此，我們能不能說拋物線是到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡呢？目前尚不能.軌跡必須既滿足純粹性，又滿足完備性，這里知證明了拋物線上的點(diǎn)所具有的幾何性質(zhì)，還未證明其完備性.（證略）
我們還可以作一個(gè)直觀的演示：把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線的位置上；把一塊三角板的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣；把一條繩子一端固定在三角板的另一條直角邊上的一點(diǎn)A,截取繩子的長等點(diǎn)A到直線的距離AC,并且把繩子的另一端固定在畫圖板的一■點(diǎn)F；用一支粉筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然使三角板緊靠著直尺左右滑動(dòng)，這樣粉筆就描出一條曲線.問題1.4能否從幾
6、何的角度來概括拋物線定義？定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線（定點(diǎn)F不在定直線上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線?點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
思考：如果定點(diǎn)F在定直線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？
（二）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
問題2如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？
設(shè)定點(diǎn)F到定直線的距離為（定點(diǎn)不在定直線上），下面，我們來求拋物線的方程.
問題2.1首先要建立直角坐標(biāo)系，如何建立直角坐標(biāo)系？
以對稱軸為x軸，原點(diǎn)定在何處？由學(xué)生思考：可能出現(xiàn)的結(jié)果：
(1)
(2)
(3)
可供選擇的原點(diǎn)的位置：一、準(zhǔn)線與對稱軸交點(diǎn)，二、焦點(diǎn)，三、前述兩點(diǎn)的中點(diǎn).
問題2.2如何
7、分別求出不同坐標(biāo)系下拋物線方程?(注意求軌跡方程的五個(gè)步驟)
(1)以準(zhǔn)線為y軸：J(x-p)2+y2=|Xoy2=2px-p2
(2)以焦點(diǎn)為原點(diǎn)：Jx2+y2=|x+p|oy2=2px+p2
3)以頂點(diǎn)為原點(diǎn)：
(1)和(2)中的方程都含有常數(shù)項(xiàng)，而(3)的形式更簡單.
我們按上述第三種方法(如圖3),取經(jīng)過且垂直于準(zhǔn)線的直線為軸，軸與相交于，以線
段的中垂線為軸，且使位于軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，所得到的方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方
程.其中是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
問題2.3頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸，焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸?你能寫
出這三種情
8、況下拋物線的方程嗎？除了按定義推導(dǎo)外，有沒有簡單的方法？
選擇焦點(diǎn)在y正半軸，定點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，求它的方程.
1)
2=1y+I
2
2)坐標(biāo)變換.對于，若是將它的坐標(biāo)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的拋物線的方程：.
同理也可以求出其它情況，完成下列表格：
圖形
頂點(diǎn)
對稱軸
焦占
八\、八、、
(0,0)
x軸
(,0)
>
(0,0)
x軸
(-,0)
*
(0,0)
y軸
(0,)
(0,0)
y軸
(0,-)
我們把上述四種位置的拋物線方程都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
由列表知，若給出拋物線標(biāo)
9、準(zhǔn)方程，就可以找到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，反之，若拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程（取其一）就可以寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
問題2.4回到最初的問題，y=x2的圖像是怎樣的拋物線呢？
y=x2的圖像是頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸正半軸上的拋物線。請學(xué)生寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.
鞏固練習(xí)：如果將方程改為y=-2x2呢？寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.如果該曲線上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是4，試問，它到y(tǒng)軸的距離是多少？你能求出它的坐標(biāo)嗎？
（三）小結(jié)與作業(yè)
1）小結(jié)
回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，請學(xué)生作一小結(jié).
我們從一個(gè)熟悉的二次函數(shù)出發(fā)，通過探究二次函數(shù)的圖像的幾何特性，學(xué)習(xí)了拋物線
的定義，為拋物線建立了四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.為什么把這種性質(zhì)的曲線稱為拋物線呢？因?yàn)閽伾湮矬w的軌跡也具有這種性質(zhì).
2）習(xí)題冊1，2，3，4
3）
2019-2020年高二數(shù)學(xué)下 12.7《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案(1) 滬教版
