2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第十六講 銳角三角函數(shù)

2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第十六講銳角三角函數(shù)古希臘數(shù)學(xué)家和古代中國(guó)數(shù)學(xué)家為了測(cè)量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個(gè)大小不同的直角三角形中，只要有一個(gè)銳角相等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值一定相等正是古人對(duì)天文觀察和測(cè)量的需要才引起人們對(duì)三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉的應(yīng)用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)：1單調(diào)性；2互余三角函數(shù)間的關(guān)系；3同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系：sima+cos2a=1；商數(shù)關(guān)系：tga=，ctga=；倒數(shù)關(guān)系：tgactga=1例題求解】【例1】已知在AABC中，ZA、ZB是銳角，且sinA=,tanB=2,AB=29cm,ABC思路點(diǎn)撥過C作CD丄AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設(shè)CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值.注：設(shè)ABC中，a、b、c為ZA、ZB、ZC的對(duì)邊，R為AABC外接圓的半徑，不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)S二丄besinA=丄acsinB=丄absinC；ABC222（2）.【例2】A.如圖，在ABC中.ZACB=90°,ZABC=15°,BC=1,則AC=()B.C.0.3D.思路點(diǎn)撥由15°構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化.注：（1）求（已知）非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形.（2）求（已知）銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)線段比,有時(shí)需通過等的比來轉(zhuǎn)換【例3】如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,過BC的中點(diǎn)D作DE丄AB于E,連結(jié)CE,求sinZACE的值.思路點(diǎn)撥作垂線把ZACE變成直角三角形的一個(gè)銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比.【例4】如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosZDAC,(1) 求證:AC=BD；(2) 若sinC=,BC=12，求AD的長(zhǎng).思路點(diǎn)撥(1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明(2)sinC=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC=13.【例5】已知：在RtAABC中，ZC=90°,sinA、sinB是方程的兩個(gè)根.(1) 求實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件；(2) 若、滿足(1)的條件，方程的兩個(gè)根是否等于RtAABC中兩銳角A、B的正弦？思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴(yán)密約束條件的不等式，才能準(zhǔn)確求出實(shí)數(shù)、應(yīng)滿足的條件.學(xué)歷訓(xùn)練1. 已知a為銳角，下列結(jié)論sina+cosa=l；如果a>45°，那么sina>cosa；如果cosa>，那么a60°；.正確的有.2. 如圖，在菱形ABCD中，AE丄BC于E，BC=1，cosB，則這個(gè)菱形的面積為3. 如圖，ZC=90°,ZDBC=30°,AB=BD，利用此圖可求得tan75°=.4化簡(jiǎn)(1)=.(2)sin2l°+sin22°+sin288°+sin289°=.5身高相等的三名同學(xué)甲、乙、丙參加風(fēng)箏比賽三人放出風(fēng)箏線長(zhǎng)、線與地面夾角如下表（假設(shè)風(fēng)箏線是拉直的），則三人所放的風(fēng)箏中（）A.甲的最高B.丙的最高C.乙的最低D.丙的最低學(xué)狀甲乙丙放出風(fēng)箏線長(zhǎng)（H1）10010Q90線與地面夾角（°）4045606. 已知sinacosa二，且0°<a45。則coa-sina的值為（）A.B.C.D.7. 如圖，在ABC中，ZC=90°,ZABC=30°,D是AC的中點(diǎn)，則ctgZDBC的值是（）A.B.C.D.8. 如圖，在等腰RtAABC中.ZC=90°,AC=6，D是AC上一點(diǎn)，若tanZDBA=，則AD的長(zhǎng)為（）A.B.2C.1D.9. 已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值.10. 如圖，D是厶ABC的邊AC上的一點(diǎn)，CD=2AD，AE丄BC于E,若BD=8，sinZCBD=，求AE的長(zhǎng).11. 若0°<a<45°，且sinacona二，貝Vsina=.12. 已知關(guān)于的方程3x2-4x-sina+2（1-cosa）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，a為銳角，那么a的取值范圍是13. 已知是AABC的三邊,a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為.14. 設(shè)a為銳角，且滿足sina=3cosa，則sinacosa等于（）ABCD15如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A2BC1D16.如圖，在ABC中，ZA=30°,tanB=,AC=,則AB的長(zhǎng)是(ABC5D17.己在ABC中，a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對(duì)邊，且c=，若關(guān)于的方程（5、；3+b）x2+2ax+（5*3-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，又方程的兩實(shí)根的平方和為6,求厶ABC的面積.18. 如圖，已知AB=CD=1,ZABC=90°,ZCBD°=30。，求AC的長(zhǎng).19. 設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20. 如圖，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿直線滾動(dòng).(1)當(dāng)厶ABC滾動(dòng)一周到A1B1C的位置，此時(shí)A點(diǎn)所運(yùn)動(dòng)的路程為,約為(精確到0.1,n=3.14)(2滾動(dòng)240°,C點(diǎn)的位置為C",ABC滾動(dòng)480°時(shí)，A點(diǎn)的位置在A",請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(a+B)=(tana+tanp)三(1-tanatanp)，求出ZCAC"+ZCAA"的度數(shù).參考答案固銳角三角函數(shù)【例題求解】145BJD=r?=孚加，二AD=a/AC2_CI?=Z(13yn)2(5m)212zw,從而得AB=AD+BD=12m-ym=2Z£魯耐，由29=ym,得耐=2,CD=10,Sg=*ABCD=145.選B作ZBAD=15°,交BC于D,則AD二BD，ZADC=30°.過E作EF±BD于F.設(shè)BE=a.則BD=CD=2Qa,BC=4y?aDF=EF=QsCF=CD十DF=3竝aCE=2應(yīng)，cosZECF=sinZACE.(l)tanB=箸,cosZ»C=第，器=器，.AC=BD；由sinC=|,可設(shè)AD=】2虹則AC=13趴.CDT.又由(1)知BD=AC=13&,.113上+5方=12,得k=&(1)p、g應(yīng)滿足以下條件4心0sinA+sinB=psinAsinB=g1OVsinAVl0<sinB<l、sin2A+cos2A=1,7><0由此推得0<9<y、p22g=(p24q$0(2)先設(shè)方程云+殲+9=0的兩個(gè)根為a,®若P、g滿足(1)的條件，則a"滿足<0<a<l,0<<l,故a/必定是L2十處1RtAABC兩銳角A、E的正弦.【學(xué)力訓(xùn)練】5B6.B7.BOA'1.2.器3.2+V34.cot27-tan27$(2)44豆10.過點(diǎn)D作DH丄BC于H、DH=BDsinZCBD=8X#=6,由DH/AE,得器=y,AAE-yDH=9.r2+y=i11設(shè)=貝卜乜=誓，解得工=耳12.0°<a<60°13.由條件得ZC=9O°jr<y14.Dtana-315.A陰影部分是菱形16C17.由=(2£1)2-4(55/1+6)(5箱一6),得/+伊=/=75.ZC=90°,由韋達(dá)定理得sinA=¥&nA=舍去)，S仙;5=寺必=&18過C作CE/AB交BD于E,設(shè)AC=工,則CB=77r7rT,CE=BCtanZCBE=厶二丄，由DCEsZiDAE,得界=19. 當(dāng)n=l時(shí)，有«4-6>c；當(dāng)兀=2時(shí)，有a2+b2=c2i當(dāng)川孑3時(shí)+證明如下；VsinA=,cosA=,0<sinA<ccl，0VcosAVl,當(dāng)齊23時(shí)，sin”AVsifAcos”AVcos?A.IsinnA+cosnA<sin2A+cos2A=1»即(十)十(*)V】，亦即呂+<1，故/十夕</C”CQ20. 討&4.(2)作C'E±l,A'F丄？,E、F分別為垂足，則C'E=A'F=箱,AE=5.AF=9,:'tanZCAC'=警,tanZCAA'=霽=晉，由公式得：tan(Z(：AC+ZCAA')=<tanCAC'+tanZCAA')4-(1-tanZCAUtanZCAA，)=(晉+晉)+(1一會(huì).嚕)=亨,.*ZCAC/+ZCAA，=30。.