2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù)

《2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十六講 銳角三角函數(shù)（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第十六講銳角三角函數(shù)古希臘數(shù)學家和古代中國數(shù)學家為了測量的需要，他們發(fā)現(xiàn)并經(jīng)常利用下列幾何結(jié)論：在兩個大小不同的直角三角形中，只要有一個銳角相等，那么這兩個三角形的對應邊的比值一定相等正是古人對天文觀察和測量的需要才引起人們對三角函數(shù)的研究，1748年經(jīng)過瑞士的著名數(shù)學家歐拉的應用，才逐漸形成現(xiàn)在的sin、cos、tg、ctg的通用形式三角函數(shù)揭示了直角三角形中邊與銳角之間的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的橋梁之一，有以下豐富的性質(zhì)：1單調(diào)性；2互余三角函數(shù)間的關(guān)系；3同角三角函數(shù)間的關(guān)系平方關(guān)系：sima+cos2a=1；商數(shù)關(guān)系：tga=，ctga=；倒數(shù)關(guān)系：

2、tgactga=1例題求解】【例1】已知在AABC中，ZA、ZB是銳角，且sinA=,tanB=2,AB=29cm,ABC思路點撥過C作CD丄AB于D,這樣由三角函數(shù)定義得到線段的比,sinA=,tanB=,設(shè)CD=5m,AC=13m,CD=2n,BD=n,解題的關(guān)鍵是求出m、n的值.注：設(shè)ABC中，a、b、c為ZA、ZB、ZC的對邊，R為AABC外接圓的半徑，不難證明:與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論：(1)S二丄besinA=丄acsinB=丄absinC；ABC222（2）.【例2】A.如圖，在ABC中.ZACB=90,ZABC=15,BC=1,則AC=()B.C.0.3D.思路點撥由1

3、5構(gòu)造特殊角,用特殊角的三角函數(shù)促使邊角轉(zhuǎn)化.注：（1）求（已知）非特角三角函數(shù)值的關(guān)是構(gòu)造出含特殊角直角三角形.（2）求（已知）銳角角函數(shù)值常根據(jù)定轉(zhuǎn)化為求對應線段比,有時需通過等的比來轉(zhuǎn)換【例3】如圖，已知ABC是等腰直角三角形，ZACB=90,過BC的中點D作DE丄AB于E,連結(jié)CE,求sinZACE的值.思路點撥作垂線把ZACE變成直角三角形的一個銳角，將問題轉(zhuǎn)化成求線段的比.【例4】如圖，在ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cosZDAC,(1) 求證:AC=BD；(2) 若sinC=,BC=12，求AD的長.思路點撥(1)把三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為線段的比，利用比例線段證明(2)sin

4、C=，引入?yún)?shù)可設(shè)AD=12，AC=13.【例5】已知：在RtAABC中，ZC=90,sinA、sinB是方程的兩個根.(1) 求實數(shù)、應滿足的條件；(2) 若、滿足(1)的條件，方程的兩個根是否等于RtAABC中兩銳角A、B的正弦？思路點撥由韋達定理、三角函數(shù)關(guān)系建立、等式，注意判別式、三角函數(shù)值的有界性，建立嚴密約束條件的不等式，才能準確求出實數(shù)、應滿足的條件.學歷訓練1. 已知a為銳角，下列結(jié)論sina+cosa=l；如果a45，那么sinacosa；如果cosa，那么a60；.正確的有.2. 如圖，在菱形ABCD中，AE丄BC于E，BC=1，cosB，則這個菱形的面積為3. 如圖，ZC

5、=90,ZDBC=30,AB=BD，利用此圖可求得tan75=.4化簡(1)=.(2)sin2l+sin22+sin288+sin289=.5身高相等的三名同學甲、乙、丙參加風箏比賽三人放出風箏線長、線與地面夾角如下表（假設(shè)風箏線是拉直的），則三人所放的風箏中（）A.甲的最高B.丙的最高C.乙的最低D.丙的最低學狀甲乙丙放出風箏線長（H1）10010Q90線與地面夾角（）4045606. 已知sinacosa二，且0a45。則coa-sina的值為（）A.B.C.D.7. 如圖，在ABC中，ZC=90,ZABC=30,D是AC的中點，則ctgZDBC的值是（）A.B.C.D.8. 如圖，在等腰

6、RtAABC中.ZC=90,AC=6，D是AC上一點，若tanZDBA=，則AD的長為（）A.B.2C.1D.9. 已知關(guān)于的方程的兩根恰是某直角三角形兩銳角的正弦，求m的值.10. 如圖，D是厶ABC的邊AC上的一點，CD=2AD，AE丄BC于E,若BD=8，sinZCBD=，求AE的長.11. 若0a45，且sinacona二，貝Vsina=.12. 已知關(guān)于的方程3x2-4x-sina+2（1-cosa）=0有兩個不相等的實數(shù)根，a為銳角，那么a的取值范圍是13. 已知是AABC的三邊,a、b、c滿足等式，且有，則sinA+sinB+sinC的值為.14. 設(shè)a為銳角，且滿足sina=3

7、cosa，則sinacosa等于（）ABCD15如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（）A2BC1D16.如圖，在ABC中，ZA=30,tanB=,AC=,則AB的長是(ABC5D17.己在ABC中，a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊，且c=，若關(guān)于的方程（5、；3+b）x2+2ax+（5*3-b）=0有兩個相等的實根，又方程的兩實根的平方和為6,求厶ABC的面積.18. 如圖，已知AB=CD=1,ZABC=90,ZCBD=30。，求AC的長.19. 設(shè)a、b、c是直角三角形的三邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，試判斷與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20. 如圖，

8、已知邊長為2的正三角形ABC沿直線滾動.(1)當厶ABC滾動一周到A1B1C的位置，此時A點所運動的路程為,約為(精確到0.1,n=3.14)(2滾動240,C點的位置為C,ABC滾動480時，A點的位置在A,請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(a+B)=(tana+tanp)三(1-tanatanp)，求出ZCAC+ZCAA的度數(shù).參考答案固銳角三角函數(shù)【例題求解】145BJD=r?=孚加，二AD=a/AC2_CI?=Z(13yn)2(5m)212zw,從而得AB=AD+BD=12m-ym=2Z魯耐，由29=ym,得耐=2,CD=10,Sg=*ABCD=145.選B作ZBAD=15,交

9、BC于D,則AD二BD，ZADC=30.過E作EFBD于F.設(shè)BE=a.則BD=CD=2Qa,BC=4y?aDF=EF=QsCF=CD十DF=3竝aCE=2應，cosZECF=sinZACE.(l)tanB=箸,cosZC=第，器=器，.AC=BD；由sinC=|,可設(shè)AD=】2虹則AC=13趴.CDT.又由(1)知BD=AC=13&,.113上+5方=12,得k=&(1)p、g應滿足以下條件4心0sinA+sinB=psinAsinB=g1OVsinAVl0sinB0由此推得09y、p22g=(p24q$0(2)先設(shè)方程云+殲+9=0的兩個根為a,若P、g滿足(1)的條件，則a滿足0al,0

10、l,故a/必定是L2十處1RtAABC兩銳角A、E的正弦.【學力訓練】5B6.B7.BOA1.2.器3.2+V34.cot27-tan27$(2)44豆10.過點D作DH丄BC于H、DH=BDsinZCBD=8X#=6,由DH/AE,得器=y,AAE-yDH=9.r2+y=i11設(shè)=貝卜乜=誓，解得工=耳12.0a6013.由條件得ZC=9Ojrc；當兀=2時，有a2+b2=c2i當川孑3時+證明如下；VsinA=,cosA=,0sinAccl，0VcosAVl,當齊23時，sin”AVsifAcos”AVcos?A.IsinnA+cosnAsin2A+cos2A=1即(十)十(*)V】，亦即呂+1，故/十夕/C”CQ20. 討&4.(2)作CEl,AF丄？,E、F分別為垂足，則CE=AF=箱,AE=5.AF=9,:tanZCAC=警,tanZCAA=霽=晉，由公式得：tan(Z(：AC+ZCAA)=tanCAC+tanZCAA)4-(1-tanZCAUtanZCAA，)=(晉+晉)+(1一會.嚕)=亨,.*ZCAC/+ZCAA，=30。.