2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視

2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座第二十七講動態(tài)幾何問題透視春去秋來，花開花落，物轉(zhuǎn)星移，世間萬物每時每刻都處于運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中，事物的本質(zhì)特征只有在運動中方能凸現(xiàn)出來動態(tài)幾何問題，是指以幾何知識和圖形為背景，滲入運動變化觀點的一類問題，常見的形式是：點在線段或弧線上運動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等，解這類問題的基本策略是：1動中覓靜這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系，動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性2動靜互化“靜”只是“動”的瞬間，是運動的一種特殊形式，動靜互化就是抓住“靜”的瞬間，使一般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動”與“靜”的關(guān)系3以動制動以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系，通過研究運動函數(shù)，用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系注：幾何動態(tài)既是一類問題，也是一種觀點與思維方法，運用幾何動態(tài)的觀點，可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來，可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法；更一般情況是，對于一個數(shù)學問題，努力去發(fā)掘更多結(jié)論，不同解法，通過弱化或強化條件來探討結(jié)論的狀況等，這就是常說的“動態(tài)思維”【例題求解】【例1】如圖，把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上，按順時針方向在上轉(zhuǎn)動兩次，使它轉(zhuǎn)到ABC的位置，設(shè)BC=1,AC=,則頂點A運動到點A的位置時，點A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是思路點撥解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準確分割.RtAABC的兩次轉(zhuǎn)動，頂點A所經(jīng)過的路線是兩段圓弧，其中圓心角分別為120°和90°，半徑分別為2和，但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和.【例2】如圖，在00中，P是直徑AB上一動點，在AB同側(cè)作AA'丄AB,BB丄AB，且AA'=AP,BB'=BP,連結(jié)A'B'，當點P從點A移到點B時，A'B的中點的位置（）A.在平分AB的某直線上移動B.在垂直AB的某直線上移動C.在AmB上移動D.保持固定不移動思路點撥畫圖、操作、實驗，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例3】如圖，菱形OABC的長為4厘米，ZA0C=60。，動點P從0出發(fā)，以每秒1厘米的速度沿O-A-B路線運動，點P出發(fā)2秒后，動點Q從0出發(fā)，在0A上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路線運動，過P、Q兩點分別作對角線AC的平行線.設(shè)P點運動的時間為秒，這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米，請你回答下列問題：(1) 當=3時，的值是多少?(2) 就下列各種情形：0WW2:2WW4；4WW6；6WW8.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.(3) 在給出的直角坐標系中，用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系思路點撥本例是一個動態(tài)幾何問題，又是一個“分段函數(shù)”問題，需運用動態(tài)的觀點，將各段分別討論、畫圖、計算注：動與靜是對立的，又是統(tǒng)：一的，無論圖形運動變化的哪一類問題，都真實地反映了現(xiàn)實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面，從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題，是一種重要的解題策略建立運動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題，許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值【例4】如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC=2cm，現(xiàn)有兩點E、F,分別從點B、點A同時出發(fā)，點E沿線段BA以1m/秒的速度向點A運動，點F沿折線ADC以2cm/秒的速度向點C運動，設(shè)點E離開點B的時間為2(秒).(1) 當為何值時，線段EF與BC平行？(2) 設(shè)1<<2，當為何值時，EF與半圓相切？(3) 當1W2時，設(shè)EF與AC相交于點P,問點E、F運動時，點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請給予證明，并求AP：PC的值.思路點撥動中取靜，根據(jù)題意畫出不同位置的圖形，然后分別求解，這是解本例的基本策略，對于(1)、(2)，運用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方程；對于(3)，點P的位置是否發(fā)生變化，只需看是否為一定值.注：動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律，而把特定的運動狀態(tài)，通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想.【例5】OO與00相交于A、B兩點；如圖(1),連結(jié)00并延長交00于P點，連結(jié)PA、12211PB并分別延長交O0于C、D兩點，連結(jié)C0并延長交O0于E點.已知O0的半徑為R，2222設(shè)ZCAD=.(1) 求：CD的長(用含R、的式子表示)；(2) 試判斷CD與P0的位置關(guān)系，并說明理由；(3) 設(shè)點P'為O0上(O0外)的動點，連結(jié)P'A、P'B并分別延長交O0于C'、D，,122請你探究ZC'AD'是否等于？C'D'與P'O的位置關(guān)系如何?并說明理由.思路點撥對于、(2)，作出圓中常見輔助線；對于(3)，P點雖為001上的一個動點，但lO0、O02些量(如半徑、AB)都是定值或定弧，運用圓的性質(zhì)，把角與孤聯(lián)系起來.(1)學力訓練1. 如圖，ABC中，ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,將AABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處，則AC邊掃過的圖形的面積cm(n=3.14159,最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字).2. 如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=cm,將AABC繞點B旋轉(zhuǎn)至AA'BC'的位置，且使A、B、C'三點在同一條直線上，則點A經(jīng)過的最短路線的長度是cm.3. 塊等邊三角形的木板，邊長為1,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾，那么B點從開始至結(jié)束走過的路徑長度為()ABC4D4. 把AABC沿AB邊平移到AA'B'C'的位置，它們的重疊部分的面積是AABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動的距離人人'是()ABC1D5. 如圖，正三角形ABC的邊長為6厘米，00的半徑為r厘米，當圓心0從點A出發(fā)，沿著線路ABBCCA運動，回到點A時，0O隨著點O的運動而移動.(1) 若r=厘米，求。0首次與BC邊相切時AO的長；(2) 在0移動過程中，從切點的個數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下，r的取值范圍及相應的切點個數(shù)；(3) 設(shè)O在整個移動過程中，在AABC內(nèi)部，0O未經(jīng)過的部分的面積為S,在S>0時，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍.6. 已知：如圖，0O韻直徑為10,弦AC=8，點B在圓周上運動(與A、C兩點不重合)，連結(jié)BC、BA,過點C作CD丄AB于D.設(shè)CB的長為，CD的長為.(1) 求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當以BC為直徑的圓與AC相切時，求的值；(2) 在點B運動的過程中，以CD為直徑的圓與0O有幾種位置關(guān)系，并求出不同位置時的取值范圍；(3) 在點B運動的過程中，如果過B作BE丄AC于E,那么以BE為直徑的圓與0O能內(nèi)切嗎?若不能，說明理由；若能，求出BE的長.7. 如圖，已知A為ZPOQ的邊OQ上一點，以A為頂點的ZMAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點，且ZMAN=ZPOQ=(為銳角).當ZMAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心，AM邊從與AO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(ZMAN保持不變)時，M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平移移動.設(shè)OM=，ON=(三0),AAOM的面積為S,若cos、OA是方程的兩個根.當ZMAN旋轉(zhuǎn)30°(即ZOAM=30°)時，求點N移動的距離；(2) 求證：AN2=ONMN；(3) 求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(4) 試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式，并確定S的取值范圍.8. 已知：如圖，梯形ABCD中，ADBC,AB=CD=3cm,ZC=60°,BD丄CD.求BC、AD的長度；(2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運動，點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm/s的速度運動，當P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.9. 已知：如圖，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系，分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運動.設(shè)AE=，四邊形EFGH的面積為S.當n=l、2時，如圖、，觀察運動情況，寫出四邊形3FGH各頂點運動到何位置,使?(2) 當n=3時，如圖，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍)，探索S隨增大而變化的規(guī)律；猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使；(3) 當n=k(k三1)時，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由.10. 如圖1,在直角坐標系中，點E從0點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿軸正方向運動，點F從0點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿軸正方向運動，B(4,2)，以BE為直徑作001.(1) 若點E、F同時出發(fā)，設(shè)線段EF與線段0B交于點G，試判斷點G與00勺位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2) 在(1)的條件下，連結(jié)FB,幾秒時FB與001相切？(3) 如圖2,若E點提前2秒出發(fā)，點F再出發(fā),，當點F出發(fā)后，E點在A點左側(cè)時，設(shè)BA丄軸于A點，連結(jié)AF交001于點P,試問PAFA的值是否會發(fā)生變化?若不變，請說明理由，并求其值；若變化，請求其值的變化范圍參考答案AE_2-tCF42t勿動態(tài)幾何問廳透視【例題求解】例2選D例3(1)當x=3時,y=3X3-l=8；(2)當時,y=3OP，即$=3小當2Cx<4時,5'=3OP-CX?=3j(j-2)=2x+2?當時，y=2(OA+AP)OQ+PB=Zz52+(8±)=10；當6x<8時，AQ=2(z-2)4=2工一12,y=3(AB一AQ)PB=34-(2h-12)-(8-z)=-5h+4O；(3)略.例4設(shè)E.F出發(fā)后運動了r秒時,EF/BC,如圖(G,則BE=t.CF=42"由t=42t,得/=即當秒時，43EF/RC.(2設(shè)E、F出發(fā)后運動了秒時,EF與半®相切,Vl<«2f/.E、F分別在BA、CD上，如圖(b),過點F作FG丄于G,則FG=BC=2,BE=t.CF=4-2r,EG=t-(4-2f)=3f-4,EF=BE+CF=4-r,又EF2=EG2+FGl,即(4一"=(3/4嚴+22,解得=沢尹,故當<=葦吃秒時，EF與半圓相切.設(shè)E、F出發(fā)后運動了r秒時，因1£<2,所以EF的位置如圖(c),則AE=2-t,CF=42t,由ABDC,有需=，即點P的位置與Z的取值無關(guān)，即P點的位置不會發(fā)生變化.(1連結(jié)DE,CDCEsin«=2Rsin；MPA=ABP=ZACD,MN#CD,丈:MN丄PO，CD(2) 連結(jié)AB,HP作©Oi的切線MN,7丄PO;(3) 在圖(2)中.ZCDJZAP'D'+ZP'D'A,在圖(1)中，CAD=APD+ZPDA,而ZAP'D'與ZAPD所對的都是©Oi中的筋,ZP'D'A與ZPDA所對的都是O?中的Ah,QOQO2中的爲都是定弧，幾ZC'AD'=ZCAD=a.連結(jié)AB.HP'作OO：的切線“N',同理可證M,P,A=P'BA=AC'Dr.MN'/UD',又TMN'丄P'O,:.CD1丄P'O-【學力訓縑】K1.1132.y733.B4*AC5. (1)AO-(6V3-2)4(2)由正三角形的邊長為6V3cm,可得它一邊上的高為9cm. 當©O的半徑r=9cm時，©O在移動中與厶人月。的邊共相切三次，即切點個數(shù)為3； 當0VY9時，©O在移動中與AABC的邊共相切六次，即切點個數(shù)為6； 當r>9時，00在移動中與AABC的邊不相切，即切點個數(shù)為0.(3)如圖，$>0時20在移動中，在ABC內(nèi)部未經(jīng)過的部分為正三角形A'B'C'的內(nèi)部，Sgc=y-B'C'-A,E=3V3(3-r)2./.所求解析式為S=3歯(3"(0Vr<3).6, =當以CB為直徑的圓與AC相切時，點B與點M重合，此時z=6,y=4.8:(2)以DC為直徑的圓廳與©O的位置關(guān)系是相交或內(nèi)切.4當CB=CA=8時，兩圓內(nèi)切»>=XS=6.4)當CBH8時，兩圓相交,0<y<8,且yH6.4.(3)以BE為直徑的圓與©O可以內(nèi)切BE=2或BE=&ANCN7. (1)點N移動的距離為2,(2)由厶OANsAMN,得ANJ=ON*MN.3)y=-i_(0<x<2>»(4)0CS<73.8. (l)AD-AB=3cmf(2)Ssa»AflRM>='(2?-6/+27)(O<t<3)!9. 當n=l或2時,S=寺5町心"當n=3Bt,S=6(x-y)2+ya2(0<x<a)V6>0,二次函數(shù)圖象的拋物線開口向上，規(guī)律t在對稱軸x=y左側(cè)，S隨工增大而減?。辉趯ΨQ軸工=號右側(cè)，5隨乂增大而增大.1猜想t四邊形EFGH各頂點仍燃運動到矩形ABCD各對應邊中點，使S=ySefl(of當n-=k時，上述規(guī)律和猜想是成立的.同理可求得8=2用一2肋卄好=2心一號卩+號込510. (1)點G在0O1上1(2當1=-秒時，必有BF與©0】相切；(3)APAF的值不會發(fā)生變化，連結(jié)PB,在y軸上截取FM=OA=4.設(shè)OE=r(2<z<4)則OF=2(t-2),AE4-t,則OM=42(L2)=82t,故舗=芒直=+，又器=+ARt/AOMRtABAE,：.BEA=FMA，又BEABPA,：./BPA=ZFMA4Par7FM#AB,AZBAP=ZAFM.AAFMAAAPB,AAPAF=ABFM=2X4=8為一定值.