數(shù)學(xué)選考部分 不等式選講 新人教B版選修4-5

選修選修4545不等式選講不等式選講-2-知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341自測(cè)點(diǎn)評(píng)51.絕對(duì)值三角不等式(1)定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立;(2)性質(zhì):|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),則|a-c|,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.|a|+|b| ab0 |a-b|+|b-c| (a-b)(b-c)0 -3-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234152.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解法(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.-cax+bc ax+bc或ax+b-c x|-axa,或x0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法法一:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想;法三:通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-5-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23415-6-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23415-7-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)234155.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.2-8-知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415自測(cè)點(diǎn)評(píng)1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)對(duì)于|a-b|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí)假設(shè)為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.() 答案 答案關(guān)閉(1)(2)(3)(4)(5)-9-知識(shí)梳理雙基自測(cè)自測(cè)點(diǎn)評(píng)23415A.2a3B.1a2C.1a3D.1a0)的不等式一般利用零點(diǎn)分段法求解.3.求函數(shù)y=|x-a|+|x-b|的最值問(wèn)題,一般利用絕對(duì)值三角不等式,但要找出等號(hào)成立的條件,只有等號(hào)成立,才存在最值.-14-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5例1(2017全國(guó),文23)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.思考絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有哪些?-15-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-16-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有:(1)解絕對(duì)值不等式主要是通過(guò)同解變形去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)進(jìn)行求解.(2)含有多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式,一般可用零點(diǎn)分段法分類(lèi)討論求解.(3)對(duì)于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|a的解集,可以作出函數(shù)f(x)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合法求解.-17-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2017全國(guó),文23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.-18-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解: (1)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)g(x)等價(jià)于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當(dāng)x-1時(shí),式化為x2-3x-40,無(wú)解;當(dāng)-1x1時(shí),式化為x2-x-20,從而-1x1;(2)當(dāng)x-1,1時(shí),g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等價(jià)于當(dāng)x-1,1時(shí)f(x)2恒成立.又f(x)在-1,1的最小值必為f(-1)與f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范圍為-1,1.-19-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)0.(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.思考求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題的常用基本方法是什么?-25-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-26-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解題心得求解含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問(wèn)題,常用的基本方法是根據(jù)絕對(duì)值的定義,分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào),轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),再數(shù)形結(jié)合解決.-27-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-28-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-29-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(1)求M;(2)證明:當(dāng)a,bM時(shí),|a+b|1+ab|.思考證明不等式常用的方法有哪些?-30-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-31-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(2)由(1)知,當(dāng)a,bM時(shí),-1a1,-1b1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.-34-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解: (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因?yàn)?a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào),所以(a+b)38,因此a+b2.-35-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5例5已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值;思考如何用柯西不等式證明不等式或求最值?解 (1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當(dāng)且僅當(dāng)-axb時(shí),等號(hào)成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+c.又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c=4.-36-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-37-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5 解題心得1.用柯西不等式證明時(shí),一般需要對(duì)不等式變形,使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu),然后根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,用柯西不等式進(jìn)行證明.-38-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知關(guān)于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;-39-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5-40-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)51.含絕對(duì)值不等式的恒成立問(wèn)題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運(yùn)用“f(x)a恒成立f(x)maxa,f(x)a恒成立f(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問(wèn)題.(2)數(shù)形結(jié)合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問(wèn)題時(shí),若能作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,通過(guò)圖象的位置關(guān)系可直觀解決問(wèn)題.2.含絕對(duì)值不等式的證明,可用“零點(diǎn)分段法”討論去掉絕對(duì)值符號(hào),也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.利用柯西不等式求最值,實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮,放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立,因此,要切記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.-41-考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)51.在解決有關(guān)絕對(duì)值不等式的問(wèn)題時(shí),充分利用絕對(duì)值不等式的幾何意義解決問(wèn)題能有效避免分類(lèi)討論不全面的問(wèn)題.若用零點(diǎn)分段法求解,要掌握分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.2.在利用算術(shù)-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時(shí),要注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,特別是多次使用不等式時(shí),必須使等號(hào)同時(shí)成立.-42-思想方法利用算術(shù)-幾何平均不等式求最值利用算術(shù)-幾何平均不等式求最值是一種較為簡(jiǎn)便的數(shù)學(xué)方法,也是不等式問(wèn)題中的一個(gè)重要類(lèi)型,它解決了利用均值不等式求最值范圍受限的問(wèn)題,用此方法求最值關(guān)鍵要抓住算術(shù)-幾何平均不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和使用條件.-43-44-