2018-2019學年高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 一 數(shù)學歸納法練習 新人教A版選修4-5

一 數(shù)學歸納法,學生用書P56)A基礎達標1數(shù)學歸納法證明中，在驗證了n1時命題正確，假定nk時命題正確，此時k的取值范圍是()AkNBk>1，kNCk1，kN Dk>2，kN解析：選C.數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法，所以k是正整數(shù)，又第一步是遞推的基礎，所以k大于等于1.2設f(n)1(nN)，則f(n1)f(n)等于()A BC D解析：選D.因為f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).3用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”，第二步歸納假設應該寫成()A假設當nk(kN)時，xnyn能被xy整除B假設當n2k(kN)時，xnyn能被xy整除C假設當n2k1(kN)時，xnyn能被xy整除D假設當n2k1(kN)時，xnyn能被xy整除答案：D4用數(shù)學歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n×1×3×5××(2n1)(nN)”時，從nk到nk1，等式左邊需要增乘的代數(shù)式是()A2k1 BC2(2k1) D解析：選C.當nk時，等式左邊為(k1)(k2)(kk)；當nk1時，等式左邊為(k2)(k3)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)·，即增乘了2(2k1)5在用數(shù)學歸納法證明等式1232n2n2n(nN*)的第(ii)步中，假設nk時原等式成立，那么在nk1時需要證明的等式為()A1232k2(k1)2k2k2(k1)2(k1)B1232k2(k1)2(k1)2(k1)C1232k2k12(k1)2k2k2(k1)2(k1)D1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)解析：選D.因為用數(shù)學歸納法證明等式1232n2n2n時，當n1時左邊所得的項是12；假設nk時，命題成立，1232k2k2k，則當nk1時，左端為1232k2k12(k1)，所以1232k2k12(k1)2(k1)2(k1)故選D.6用數(shù)學歸納法證明時，設f(k)1×42×7k(3k1)k(k1)2，則f(k1)_解析：f(k1)1×42×7k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2.答案：(k1)(k2)27用數(shù)學歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過程中，第二步假設nk時等式成立，則當nk1時應得到_解析：因為nk時，命題為“12222k12k1”，所以nk1時，為使用歸納假設，應寫成12222k12k2k11.答案：12222k12k2k118已知平面上有n(nN，n3)個點，其中任何三點都不共線，過這些點中任意兩點作直線，設這樣的直線共有f(n)條，則f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_解析：當nk時，有f(k)條直線當nk1時，增加的第k1個點與原k個點共連成k條直線，即增加k條直線，所以f(k1)f(k)k.又f(2)1，所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.答案：3610n9用數(shù)學歸納法證明：1×2×32×3×4n(n1)(n2)(nN)證明：(1)當n1時，左邊1×2×36，右邊6，等式成立(2)假設當nk(k1，kN)時等式成立，即1×2×32×3×4k(k1)(k2)，那么當nk1時，1×2×32×3×4k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k1)(k2)(k3)(k4)即當nk1時等式成立綜合上述(1)(2)得，對一切正整數(shù)n，等式都成立10證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)n(n3)(n4，nN)證明：(1)當n4時，四邊形有兩條對角線，f(4)×4×(43)2，命題成立(2)假設當nk(k4，nN)時命題成立，即f(k)k(k3)，那么，當nk1時，增加一個頂點，凸多邊形的對角線增加k1條，則f(k1)k(k3)k1(k2k2)(k1)(k2)(k1)(k1)3，即當nk1時命題也成立根據(jù)(1)(2)，可知命題對任意的n4，nN都成立B能力提升1已知f(n)(2n7)·3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析：選C.因為f(1)36，f(2)1083×36，f(3)36010×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除證明如下：n1，2時，由上得證，設nk(k2，kN)時，f(k)(2k7)·3k9能被36整除，則f(k1)f(k)(2k9)·3k1(2k7)·3k(6k27)·3k(2k7)·3k(4k20)·3k36(k5)·3k2，故f(k1)能被36整除因為f(1)不能被大于36的數(shù)整除，所以所求最大的m值等于36.2用數(shù)學歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk的假設到證明nk1時，等式左邊應添加的式子是_解析：nk時等式為1222(k1)2k2(k1)22212，nk1時等式為1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.所以nk1時等式左邊比nk時等式左邊增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)3已知數(shù)列an滿足a10，a21，當nN時，an2an1an，求證：數(shù)列an的第4m1項(mN)能被3整除證明：(1)當m1時，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即當m1時，第4m1項能被3整除(2)假設當mk(k1，kN)時，a4k1能被3整除，則當mk1時，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.顯然，3a4k2能被3整除，又由假設知a4k1能被3整除所以3a4k22a4k1能被3整除即當mk1時，a4(k1)1也能被3整除由(1)和(2)知，對于nN，數(shù)列an中的第4m1項能被3整除4求證：tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(n1)·tan nn(n2，nN)證明：(1)當n2時，左邊tan ·tan 2，右邊2·22tan ·tan 2，等式成立(2)假設當nk(k2，kN)時等式成立，即有：tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan kk.當nk1時，tan ·tan 2tan 2·tan 3tan(k1)·tan ktan k·tan(k1)ktan k·tan(k1)k1tan(k1)·tan ktan(k1)tan k(k1)所以當nk1時，等式也成立6