2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)12 排序不等式 北師大版選修4-5

6、小值為1. 11．設(shè)a，b都是正數(shù)，若P＝()2＋()2，Q＝＋，則二者的關(guān)系是________． 答案　P≥Q 解析　由題意不妨設(shè)a≥b≥0. 由不等式的性質(zhì)，知a2≥b2，≥.所以≥. 根據(jù)排序原理，知 ×＋×≥×＋×，即()2＋()2≥＋. 12．若a，b，c>0，a2＋b2＋c2＝3，則ab＋bc＋ca的最大值是________． 答案　3 13．設(shè)a1，a2，…，an為正數(shù)，且a1＋a2＋…＋an＝5，則＋＋…＋＋的最小值為_(kāi)_______． 答案　5 解析　由所求代數(shù)式的對(duì)稱性，不妨設(shè)0

7、，…，，為，，，…，的一個(gè)排列，由亂序和≥反序和，得a12·＋a22·＋…＋an－12·＋an2·≥a12·＋a22·＋…＋an2·，即＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an＝5， 故所求最小值為5. 14．設(shè)a1，a2，a3為正數(shù)，求證：＋＋≥a1＋a2＋a3. 證明　設(shè)a1≥a2≥a3>0， ∴≤≤，a2a3≤a3a1≤a1a2. 根據(jù)排序不等式：順序和≥亂序和， ∴＋＋≥·a2·a3＋·a3a1＋·a1a2＝a3＋a2＋a1. 即＋＋≥a1＋a2＋a3. 15．設(shè)a，b，c為任意正數(shù)，求＋＋的最小值． 思路　　題目中沒(méi)有給出a，b，c的大小順序，且a，b，c在不等式中的地位是

8、均等的，不妨設(shè)a≥b≥c>0，再利用排序不等式等號(hào)成立求得． 解析　不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a＋b≥a＋c≥b＋c，故≥≥. 由排序不等式，得 ＋＋≥＋＋， ＋＋≥＋＋. 兩式相加，得2(＋＋)≥3， 即＋＋≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，＋＋取最小值. 點(diǎn)評(píng)　解決本題的關(guān)鍵是由排序不等式得出不同不等式，相加構(gòu)造出要求的式子，從而求得其最小值． 1．已知a2＋2b2＋3c2＝6，若存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． 答案　(－7，5) 解析　由柯西不等式知 [12＋()2＋()2][a2＋(b)2＋(c)

9、2] ≥(1·a＋×b＋×c)2， 即6×(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2， 又因?yàn)閍2＋2b2＋3c2＝6， 所以6×6≥(a＋2b＋3c)2，所以－6≤a＋2b＋3c≤6， 因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)a，b，c，使得不等式a＋2b＋3c>|x＋1|成立． 所以|x＋1|<6，所以－7 解析　因?yàn)?0<11<12<13，且lg1013lg10＋12l

10、g11＋11lg12＋10lg13， 所以lg(1010×1111×1212×1313)>lg(1013×1112×1211×1310)， 即1010×1111×1212×1313>1013×1112×1211×1310. 3．已知a，b，c∈R＋，求證：＋＋≤. 證明　不妨設(shè)a≥b≥c>0，則a2≥b2. ∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2·b＋b2·a＝ab(a＋b)． 同理，b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)． 所以＋＋ ≤＋＋ ＝·(＋＋)＝. 4．設(shè)a，b，c為某一三角形的三邊，a≥b≥c. 求證：(1)c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)

11、≥a(b＋c－a)； (2)a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc. 證明　(1)用比較法． c(a＋b－c)－b(c＋a－b) ＝ac＋bc－c2－bc－ab＋b2 ＝b2－c2＋ac－ab ＝(b＋c)(b－c)－a(b－c) ＝(b＋c－a)(b－c)， ∵b≥c，b＋c－a>0， ∴c(a＋b－c)－b(c＋a－b)≥0， 即c(a＋b－c)≥b(c＋a－b)． ① 同理可證：b(c＋a－b)≥a(b＋c－a)． ② 綜合①②證畢． (2)由題設(shè)及①知 a≥b≥c，a(b＋c－a)≤b(c＋a－b)≤c(

12、a＋b－c)． 由反序和≤亂序和，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c) ≤ab(b＋c－a)＋bc(c＋a－b)＋ca(a＋b－c) ＝3abc＋ab(b－a)＋bc(c－b)＋ca(a－c) ③ 再一次由反序和≤亂序和，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c) ≤ac(b＋c－a)＋ba(c＋a－b)＋cb(a＋b－c) ＝3abc＋ac(c－a)＋ab(a－b)＋bc(b－c)． ④ 將③和④相加再除以2，得 a2(b＋c－a)＋b2(c＋a－b)＋c2(a＋b－c)≤3abc. 6