2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第1講 概率、隨機(jī)變量及其分布列限時(shí)訓(xùn)練 理

第1講概率、隨機(jī)變量及其分布列 (限時(shí):45分鐘)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)抽樣方法1,5古典概型2,3,6,11,12幾何概型4,7,9離散型隨機(jī)變量的分布列8,11,12正態(tài)分布10一、選擇題1.(2018·福州市質(zhì)檢)為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動(dòng)情況,擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個(gè)年齡段人員的“微信健步走”活動(dòng)情況有較大差異,而男女“微信健步走”活動(dòng)情況差異不大.在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是(C)(A)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 (B)按性別分層抽樣(C)按年齡段分層抽樣(D)系統(tǒng)抽樣解析:根據(jù)題意及分層抽樣的特點(diǎn),最合理的抽樣方法是按年齡段分層抽樣.故選C.2.(2018·武漢市四月調(diào)研)一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共由6位數(shù)字組成,每位數(shù)字都可以是09中的任意一個(gè).某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí),忘記了密碼的最后一位數(shù)字,如果任意按最后一位數(shù)字,不超過2次就按對(duì)的概率為(C)(A)(B)(C)(D)解析:按1次按對(duì)的概率為,按2次按對(duì)的概率為=,由互斥事件的概率公式得所求的概率為P=+=.故選C.3.4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為(D)(A)(B)(C)(D)解析:法一4位同學(xué),每位同學(xué)都可以選周六、周日參加活動(dòng),每位同學(xué)有2種選法,根據(jù)乘法原理,共有24=16種方法.其中周六、周日都有同學(xué)參加活動(dòng)的方法有+=14種.則所求概率為P=.故選D.法二4位同學(xué)任選周六、周日的基本事件數(shù)為24,都選擇同一天活動(dòng)為2種,則所求事件的概率為1-=.故選D.4.勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,其證明方法有幾百種之多.著名的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖,在這幅“勾股圓方圖”中,以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形CFGH組成的.若RtABC的三邊長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列,則在正方形ABDE內(nèi)任取一點(diǎn),此點(diǎn)取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為(C)(A)(B)(C)(D)解析:法一由于RtABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,所以2b=a+c,又a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故=,=.大正方形ABDE的面積為c2,小正方形CFGH的面積為(b-a)2,在正方形ABDE內(nèi)任取一點(diǎn),此點(diǎn)取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為=(-)2=.故選C.法二由于RtABC的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,不妨設(shè)a=3,b=4,c=5,于是大正方形ABDE的面積為c2=25,小正方形CFGH的面積為(b-a)2=1,所以在正方形ABDE內(nèi)任取一點(diǎn),此點(diǎn)取自小正方形CFGH內(nèi)的概率為.故選C.5.某學(xué)校采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做視力檢查.現(xiàn)將800名學(xué)生從1到800進(jìn)行編號(hào).已知從3348這16個(gè)數(shù)中抽到的數(shù)是39,則在116中隨機(jī)抽到的數(shù)是(B)(A)5(B)7(C)11(D)13解析:把800名學(xué)生平均分成50組,每組16人,各小組抽到的數(shù)構(gòu)成一個(gè)公差為16的等差數(shù)列,39在第3組,所以第1組抽到的數(shù)為39- 32=7.故選B.6.(2018·湖北武漢高三調(diào)研)將一枚質(zhì)地均勻的骰子投兩次,得到的點(diǎn)數(shù)依次記為a和b,則方程ax2+bx+1=0有實(shí)數(shù)解的概率是(C)(A)(B)(C)(D)解析:若方程ax2+bx+1=0有實(shí)根,則必有=b2-4a0,若a=1,則b=2,3,4,5,6;若a=2,則b=3,4,5,6;若a=3,則b=4,5,6;若a=4,則b=4,5,6;若a=5,則b=5,6;若a=6,則b=5,6,所以事件“方程ax2+bx+1=0有實(shí)根.”包含基本事件共5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率為.故選C.7.(2018·河北省“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二次考試)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn),則落在陰影部分(曲線C的方程為x2-y=0)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)約為(B)(A)3 333(B)6 667(C)7 500(D)7 854解析:題圖中陰影部分的面積為(1-x2)dx=(x-)|=,正方形的面積為1,設(shè)落在陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n,由幾何概型的概率計(jì)算公式可知,=,n6 667.故選B.二、填空題8.(2018·浙江杭州模擬)隨機(jī)變量的分布列為-1012Pxy若E()=,則x+y=,D()=. 解析:因?yàn)镋()=,所以由隨機(jī)變量的分布列,知所以x+y=,x=,y=,D()=(-1-)2×+(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×=.答案:9.甲、乙兩人約定上午7:00至8:00之間到某站乘公共汽車,在這段時(shí)間內(nèi)有3班公共汽車,它們開車時(shí)刻分別為7:20,7:40,8:00,如果他們約定,見車就乘,則甲、乙同乘一車的概率為. 解析:設(shè)甲到達(dá)該站的時(shí)刻為x,乙到達(dá)該站的時(shí)刻為y,則7x8, 7y8,即甲、乙兩人到達(dá)該站的時(shí)刻(x,y)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中畫出(如圖所示)是大(單位)正方形.將三班車到站的時(shí)刻在圖形中畫出,則甲、乙兩人要想乘同一班車,必須滿足或或即(x,y)必須落在圖形中的三個(gè)帶陰影的小正方形內(nèi),所以由幾何概型的計(jì)算公式得P=,即甲、乙同乘一車的概率為.答案:10.(2017·四川資陽(yáng)4月模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2, 2),且P(0X2)=0.3,則P(X>4)=. 解析:由題意結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)可知P(2X4)=0.3,則P(X>4)=0.2.答案:0.2三、解答題11.(2018·山西省六校第四次聯(lián)考)某食品廠為了檢查一條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的20件產(chǎn)品作為樣本.稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為(490,495,(495,500, (510,515,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)在上述抽取的20件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為取到重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù),求X=2的概率;(2)從上述20件產(chǎn)品中任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為取到重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù).求Y的分布列與期望.解:(1)由頻率分布直方圖可知,重量超過505克的產(chǎn)品件數(shù)是20×(0.05×5+0.01×5)=6,所以P(X=2)=.(2)Y的所有可能取值為0,1,2,由(1)知重量超過505克的產(chǎn)品有6件.P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以Y的分布列為Y012PE(Y)=0×+1×+2×=.12.(2018·洛陽(yáng)市統(tǒng)考)甲、乙兩家外賣公司,其送餐員的日工資方案如下:甲公司,底薪80元,每單送餐員抽成4元;乙公司,無(wú)底薪,40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元,超出40單的部分送餐員每單抽成7元.假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員,并分別記錄其50天的送餐單數(shù),得到如下頻數(shù)表:甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù),求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率.(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問題:記乙公司送餐員日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期 望E(X);小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇,并說明理由.解:(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M,則P(M)=.(2)設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a,當(dāng)a=38時(shí),X=38×6=228,當(dāng)a=39時(shí),X=39×6=234,當(dāng)a=40時(shí),X=40×6=240,當(dāng)a=41時(shí),X=40×6+1×7=247,當(dāng)a=42時(shí),X=40×6+2×7=254.所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254.故X的分布列為X228234240247254P所以E(X)=228×+234×+240×+247×+254×=241.8.依題意,甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4×39.7=238.8元.由得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元.因?yàn)?38.8<241.8,所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.6