2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題四 2 第2講 空間點、線、面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練
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2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點 分層教學(xué) 專項二 專題四 2 第2講 空間點、線、面的位置關(guān)系專題強(qiáng)化訓(xùn)練
第2講 空間點、線、面的位置關(guān)系一、選擇題1設(shè)為平面,a、b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是()A若a,b,則abB若a,ab,則bC若a,ab,則bD若a,ab,則b解析:選B.若a,b,則a與b相交、平行或異面,故A錯誤;易知B正確;若a,ab,則b或b,故C錯誤;若a,ab,則b或b或b與相交,故D錯誤故選B.2設(shè)l是直線,是兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A若l,l,則B若l,l,則C若,l,則lD若,l,則l解析:選B.對于A,若l,l,則或與相交,故A錯;易知B正確;對于C,若,l,則l或l,故C錯;對于D,若,l,則l與的位置關(guān)系不確定,故D錯故選B.3.如圖,在三棱錐DABC中,若ABCB,ADCD,E是AC的中點,則下列命題中正確的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE解析:選C.因為ABCB,且E是AC的中點,所以BEAC,同理,DEAC,由于DEBEE,于是AC平面BDE.因為AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.故選C.4已知m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,給出四個命題:若m,n,nm,則;若m,m,則;若m,n,mn,則;若m,n,mn,則.其中正確的命題是()ABCD解析:選B.兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個平面的交線的情況,不正確;垂直于同一條直線的兩個平面平行,正確;當(dāng)兩個平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時,它們所成的二面角為直二面角,故正確;當(dāng)兩個平面相交時,分別與兩個平面平行的直線也平行,故不正確5(2018·高考全國卷)在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析:選C.如圖,連接BD1,交DB1于O,取AB的中點M,連接DM,OM,易知O為BD1的中點,所以AD1OM,則MOD為異面直線AD1與DB1所成角因為在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,AD12,DM,DB1,所以O(shè)MAD11,ODDB1,于是在DMO中,由余弦定理,得cosMOD,即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為,故選C.6.如圖,在矩形ABCD中,AB,BC1,將ACD沿AC折起,使得D折起后的位置為D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面體D1ABC的四個面中,有n對平面相互垂直,則n等于()A2B3C4D5解析:選B.如圖,設(shè)D1在平面ABC上的射影為E,連接D1E,則D1E平面ABC,因為D1E平面ABD1,所以平面ABD1平面ABC.因為D1E平面ABC,BC平面ABC,所以D1EBC,又ABBC,D1EABE,所以BC平面ABD1,又BC平面BCD1,所以平面BCD1平面ABD1,因為BC平面ABD1,AD1平面ABD1,所以BCAD1,又CD1AD1,BCCD1C,所以AD1平面BCD1,又AD1平面ACD1,所以平面ACD1平面BCD1.所以共有3對平面互相垂直故選B.二、填空題7(2018·廣州調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,點M為CC1的中點,點N為線段DD1上靠近D1的三等分點,平面BMN交AA1于點Q,則線段AQ的長為_解析:如圖所示,在線段DD1上靠近點D處取一點T,使得DT,因為N是線段DD1上靠近D1的三等分點,故D1N,故NT21,因為M為CC1的中點,故CM1,連接TC,由NTCM,且CMNT1,知四邊形CMNT為平行四邊形,故CTMN,同理在AA1上靠近A處取一點Q,使得AQ,連接BQ,TQ,則有BQCTMN,故BQ與MN共面,即Q與Q重合,故AQ.答案:8.如圖,ACB90°,DA平面ABC,AEDB交DB于點E,AFDC交DC于點F,且ADAB2,則三棱錐DAEF體積的最大值為_解析:因為DA平面ABC,所以DABC,又BCAC,DAACA,所以BC平面ADC,所以BCAF.又AFCD,BCCDC,所以AF平面DCB,所以AFEF,AFDB.又DBAE,AEAFA,所以DB平面AEF,所以DE為三棱錐DAEF的高因為AE為等腰直角三角形ABD斜邊上的高,所以AE,設(shè)AFa,F(xiàn)Eb,則AEF的面積Sab·×,所以三棱錐DAEF的體積V××(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時等號成立)答案:9(2018·昆明調(diào)研)在長方體ABCDA1B1C1D1中,ABAD4,AA12.過點A1作平面與AB,AD分別交于M,N兩點,若AA1與平面所成的角為45°,則截面A1MN面積的最小值是_解析:如圖,過點A作AEMN,連接A1E,因為A1A平面ABCD,所以A1AMN,所以MN平面A1AE,所以A1EMN,平面A1AE平面A1MN,所以AA1E為AA1與平面A1MN所成的角,所以AA1E45°,在RtA1AE中,因為AA12,所以AE2,A1E2,在RtMAN中,由射影定理得ME·ENAE24,由基本不等式得MNMEEN24,當(dāng)且僅當(dāng)MEEN,即E為MN的中點時等號成立,所以截面A1MN面積的最小值為×4×24.答案:4三、解答題10.如圖,在三棱錐ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,點E、F(E與A、D不重合)分別在棱AD、BD上,且EFAD.求證:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.證明:(1)在平面ABD內(nèi),因為ABAD,EFAD,所以EFAB.又因為EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因為平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,BC平面BCD且BCBD,所以BC平面ABD.因為AD平面ABD,所以BCAD.又因為ABAD,BCABB,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因為AC平面ABC,所以ADAC.11.如圖所示,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,ADDE2AB,F(xiàn)為CD的中點求證:(1)AF平面BCE;(2)平面BCE平面CDE.證明:(1)如圖,取CE的中點G,連接FG,BG.因為F為CD的中點,所以GFDE且GFDE.因為AB平面ACD,DE平面ACD,所以ABDE,所以GFAB.又因為ABDE,所以GFAB.所以四邊形GFAB為平行四邊形,則AFBG.因為AF平面BCE,BG平面BCE,所以AF平面BCE.(2)因為ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點,所以AFCD.因為DE平面ACD,AF平面ACD,所以DEAF.又CDDED,所以AF平面CDE.因為BGAF,所以BG平面CDE.又因為BG平面BCE,所以平面BCE平面CDE.12如圖1,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BDDC,點E是BC邊的中點,將ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖2所示的幾何體(1)求證:AB平面ADC;(2)若AD1,AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為,求點B到平面ADE的距離解:(1)證明:因為平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,又DCBD,DC平面BCD,所以DC平面ABD.因為AB平面ABD,所以DCAB.又因為折疊前后均有ADAB,且DCADD,所以AB平面ADC.(2)由(1)知DC平面ABD,所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD,即CAD為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成的角依題意知tan CAD,因為AD1,所以DC.設(shè)ABx(x0),則BD,易知ABDDCB,所以,即,解得x,故AB,BD,BC3.由于AB平面ADC,所以ABAC,又E為BC的中點,所以由平面幾何知識得AE,同理DE,所以SADE×1× .因為DC平面ABD,所以VABCDCD·SABD.設(shè)點B到平面ADE的距離為d,則d·SADEVBADEVABDEVABCD,所以d,即點B到平面ADE的距離為.6