中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版.doc

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1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版一. 教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計算、解答有關(guān)綜合題。（3）培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二. 教學(xué)重點、難點：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。三. 知識要點：知識點1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊；三角形任何兩邊之差小于第三邊；三角形三個內(nèi)角的和等于180；三角形三個外角的和等于360；三角形一個外角等于和它不相鄰

2、的兩個內(nèi)角的和；三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高；三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等；連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3 等腰三角形等腰三角形的識別：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；有兩角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）；三邊相等的三角形是等邊三角形；三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60的等腰三角形是等邊

3、三角形。等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；等腰三角形是軸對稱圖形，底邊的中垂線是它的對稱軸；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60。知識點4 直角三角形直角三角形的識別：有一個角等于90的三角形是直角三角形；有兩個角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點6 相似三角形知識點7 銳角三角函數(shù)與解直角三

4、角形例1. （1）已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知：等腰三角形中一內(nèi)角為80，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解：（1）分兩種情況：若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5。但此時兩邊之和小于第三邊，故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：若頂角為80，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50、50。若底角為80，則另兩個內(nèi)角分別是80、20。因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50、50或80、20。說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性

5、質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. 已知：如圖，ABC和ECD都是等腰三角形，ACBDCE90，D為AB邊上的一點，求證：（1）ACEBCD，（2）ADAEDE。分析：要證ACEBCD，已具備ACBC，CECD兩個條件，還需AEBD或ACEBCD，而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE，需條件DAE90，因為BAC45，所以只需證CAEB45，由ACEBCD能得證。證明：（1）DCEACB90，DCEACDACBACD，即ACEBCD，ACBC，CECD，ACEBCD。（2）ACEBCD，CAEB45，BACB45，DAE90，ADAEDE。例3. 已知：點P是等邊ABC內(nèi)的一點，BPC150，P

6、B2，PC3，求PA的長。分析：將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60至BCD，即可證得BPD為等邊三角形，PCD為直角三角形。解：BCBA，將BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60，使BA與BC重合，得BCD，連結(jié)PD。BDBP2，PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC?！咀兪健咳粢阎cP是等邊ABC內(nèi)的一點，PA，PB2，PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎？請試一試。例4. 如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ60，且BQBP，連結(jié)CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論（2）若PA：PB：PC3：4

7、：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由解：（1）把ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ，得到APCQ（2）連接PQ，則PBQ是等邊三角形PQPB，APCQ故CQ：PQ：PCPA：PB：PC3：4：5，PQC是直角三角形 點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明例5. 如圖，有兩個長度相同的滑梯（即BCEF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則ABCDFE_ 分析：ABC與DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解解答：在RtABC和RtDEF中，BCEF，

8、ACDF，ABCDEF，ABCDEF，ABCDFE90，因此填90 點評：此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題例6. 中華人民共和國道路交通管理條例規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛（如圖所示），在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60的A點行駛到北偏西30的B點，所用時間為1.5秒（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速解析：（1）要求該車從A點到B點的速度只需求出AB的距離，在OAC中，OC25米OAC906030，OA2CO5

9、0米 由勾股定理得CA25（米） 在OBC中，BOC30 BCOB。 （2BC）2BC2252 BC（米） ABACBC25（米）從A到B的速度為1.5（米/秒） （2）米/秒69.3千米/時 69.3千米/時0）。ACB90，CDAB。CD2ADBD，622k3k，k。AB。又AC2ADAB，AC。例11. 已知ABC中，ACB90，CHAB，HEBC，HFAC。求證：（1）HEF EHC；（2）HEFHBC。分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形，要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH，HFEC。要證明三角形相似，從條件中得FHECHB90，由全

10、等三角形可知，HEFHCB，這樣就可以證明兩個三角形相似。證明：HEBC，HFAC，CEHCFH90。又ACB90，四邊形CEHF是矩形。EFCH，HFEC，F(xiàn)HE90。又HEEH，HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90，HEFHBC。說明：在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12. 兩個全等的含30，60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC。試判斷EMC是什么樣的三角形，并說明理

11、由。分析：判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明EMMC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：MDMBMA。連結(jié)M A后，可以證明MDEMAC。答：EMC是等腰直角三角形。證明：連接AM，由題意得，DEAC，ADAB，DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB，MAMDMB，AMDB，MADM AB45。MDEMA

12、C105，DMA90。MDEMAC。DMEAMC，MEMC。又DMEEMA90，AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢？對條件的充分認(rèn)識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點。1. 如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：EBODCO；BEOCDO；BECD（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2

13、）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形2. （1）已知如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD60。求證：ACBD，APB60。（2）如圖，在AOB和COD中，OAOB，OCOD，AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。（3）如圖，在AOB和COD中，OAkOB，OCkOD（k1），AOBCOD，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_；APB的大小為_。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形，請兩位同學(xué)設(shè)計加工方案，甲設(shè)計方案如圖（1），乙設(shè)計的方案如圖（2）。你認(rèn)為哪

14、位同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略，計算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù)）4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3.5cm3.5cm，放映的熒屏的規(guī)格為2m2m，若放映機(jī)的光源距膠片20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方，放映的圖象剛好布滿整個熒屏？5. 如圖，已知MON90，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在MON內(nèi)部。（1）當(dāng)頂點B在射線ON上移動到B1時，連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）； （2）設(shè)AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D。求證：；（3）連結(jié)CC1，試猜想ACC1為多少

15、度？并證明你的猜想。6. 如圖所示，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60的BF方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域 （1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？（2）若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時間？7. （1）如圖，在RtABC中，C90，AD是BAC的角平分線，CAB60，CD，BD2，求AC，AB的長（2）“實驗中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測出A30，AC40米，BC25米，你能求出這塊花園的面積嗎？（3）某片綠地形狀如圖所示，其中ABBC，CDAD，A60，AB200m

16、，CD100m，求AD、BC的長8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示 （1）某一時刻測得大樹AB，教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC2.5米，DF7.5米，求大樹AB的高度； （2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求： 在圖中，畫出你設(shè)計的圖形（長度用字母m，n表示，角度用希臘字母，表示）； 根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示9. 如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32時（

17、1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32，cos32）1. 解：（1）或 （2）已知求證ABC是等腰三角形證：先證EBODCO得OBOC，得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明：AOB和COD為正三角形，OAOB，ODOC，AOB60，COD60。AOBBOCCODBOC，AOCBOD。AOCBOD ，ACBD。OACOBD，APBAOB60。（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACBD；APB的大小為。（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為ACkBD；APB的大小為180。3. 解：方案（

18、1）：有題意可知，DEBA，得CDECBA。；方案（2）：作BHAC于H。DEAC，得BDEBAC。圖（1）加工出的正方形面積大。綜上所得，甲同學(xué)設(shè)計的方案較好。4. 解：膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的，鏡頭就相當(dāng)于位似中心，因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答：m5. 解：（1）如圖所示；證明：（2）AOC與AB1C1是等邊三角形，ACBAB1D60。又CAQB1AD，ACQAB1D；（3）猜想ACC190。證明：AOC和AB1C1為正三角形，AOAC，AB1AC1，OACC1AB1，OACCAQC1AB1CAQ，OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. （1）作AMBF可計算AM300km500km，故A城受影響 （2）受影響時間為小時7. 解：（1）AC3，AB6 （2）能，分兩種情況，SABC200150和SABC200150 （3）延長BC，AD交于E，AD400100，BC2002008. 解：連結(jié)AC，EF，（1）太陽光線是平行的，ACEF，ACBEFD，ABCEDF90，ABCEDF，AB4米 （2）如圖所示：AB（mtanh）米9. 解：（1）超市以上居民住房采光受影響，由計算知新樓在居民樓上的投影高約11米，故受影響 （2）若要使超市采光不受影響，兩樓至少相距：2032（米） 10 / 10