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1、導數(shù)的基本公式與運算法則,基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外還有反三角函數(shù)的導數(shù)公式:,定理2. 1設函數(shù) u(x)、v(x) 在 x 處可導,,在 x 處也可導,,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x
2、);,導數(shù)的四則運算,且,則它們的和、差、積與商,推論 1(cu(x) = cu(x) (c 為常數(shù)).,推論 2,乘法法則的推廣:,補充例題: 求下列函數(shù)的導數(shù):,解根據(jù)推論 1 可得 (3x4) = 3(x4),,(5cos x) = 5(cos x),,(cos x) = - sin x,,(ex) = ex,,(1) = 0,,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1,又(
3、x4) = 4x3,,例 1設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1,求 f (x) 及 f (0).,例 2設 y = xlnx ,,求 y .,解根據(jù)乘法公式,有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解根據(jù)除法公式,有,教材P32 例2 求下列函數(shù)的導數(shù):,解:,高階導數(shù),如果可以對函數(shù) f(x) 的導函數(shù) f (x) 再求導,,所得到的一個新函數(shù),,稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導數(shù),,記作 f (x) 或 y 或,如對二階導數(shù)再求導,則稱三階導數(shù),,記作 f (x) 或,四階或四階以上導數(shù)記為 y(4),y(5), ,y(n),或 ,,而把
4、 f (x) 稱為 f (x) 的一階導數(shù).,例3 求下列函數(shù)的二階導數(shù),解:,二階以上的導數(shù)可利用后面的數(shù)學軟件來計算,推論設 y = f (u) , u = (v), v = (x) 均可導,則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導,,以上法則說明:復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合 函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù).,先將要求導的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.,任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導公式和上述復合函數(shù)的求導法則求出.,復合函數(shù)求導的關鍵: 正確分解初等函數(shù)的復合結構.,求導方法小結:,例5:求下列函數(shù)的導數(shù),(1)
5、(2) (3) (4),二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法,求 對自變量 (或 )的偏導數(shù)時,只須將另一自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導公式和四則運算法則進行計算.,例1 設函數(shù),求,解:,例2 設函數(shù),解:,類似可得,二元函數(shù)的二階偏導數(shù),函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導數(shù),一般說來仍然是 x , y 的函數(shù),,如果這兩個函數(shù)關于 x , y 的偏導數(shù)也存在,,則稱它們的偏導數(shù)是 f (x , y)的二階偏導數(shù).,依照對變量的不同求導次序,,二階偏導數(shù)有四個:(用符號表示如下),其中 及 稱為二階混合偏導數(shù).,類似的,可以定義三階、四階、 、n 階偏導數(shù),,二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù),,稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導數(shù).,注:當兩個二階導數(shù)連續(xù)時,它們是相等的 即,例 3,試求函數(shù)的四個二階偏導函數(shù),思考題一,求曲線 上與 軸平行的切線方程.,思考題一解答,令,切點為,所求切線方程為,和,