2019年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題04 不等式專項(xiàng)講解與訓(xùn)練

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1、第4講　不等式 函數(shù)與不等式 考向1　不等式的解法 1．一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． 2．簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 2．利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則 (1)如果x＞0，y＞0，xy＝p(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)． (2)如果x＞0，y＞0，x

2、＋y＝s(定值)，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)． (1)若直線＋＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，則2a＋b的最小值為________． (2)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________． 【答案】　(1)8　(2)4 【解析】　(1)因?yàn)橹本€＋＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，所以＋＝1，因?yàn)閍>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝2，b＝4時(shí)等號(hào)成立，所以2a＋b的最小值為8. (2)＝＋＋，由基本不等式得，＋＋≥2＋＝4ab＋≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，4ab＝同時(shí)成立時(shí)等號(hào)成立． 利用基本

3、不等式求最值應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)利用基本不等式必須注意“一正二定三相等”的原則． (2)基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式．常見的轉(zhuǎn)化方法有： ①x＋＝x－a＋＋a(x＞a)． ②若＋＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)·1 ＝(mx＋ny)·≥ma＋nb＋2(字母均為正數(shù))． (3)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則會(huì)出錯(cuò)．　 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1．設(shè)x>0，則函數(shù)y＝x＋－的最小值為(　　) A．0　　　　　　　　 B． C．1 D. 【答案】A 【

4、解析】：選A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0. 當(dāng)且僅當(dāng)x＋＝，即x＝時(shí)等號(hào)成立． 所以函數(shù)的最小值為0.故選A. 2．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A．4 B．16 C．9 D．3 【答案】B 【解析】：選B.因?yàn)閍>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因?yàn)椋?＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，故10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值為16.故選B. 線性規(guī)劃 　 1．解決線性規(guī)劃問題的一般步驟 (1)作圖——畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l.

5、(2)平移——將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置．有時(shí)需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)l和可行域邊界的斜率的大小進(jìn)行比較． (3)求值——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，再代入目標(biāo)函數(shù)，求出目標(biāo)函數(shù)的最值． 2．目標(biāo)函數(shù)的三種類型 (1)直線型：z＝ax＋by＋c. (2)斜率型：z＝. (3)距離型：z＝(x－x0)2＋(y－y0)2. (1)(2017·高考全國卷Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)(2018·成都第一次檢測(cè))若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為________． (3)(2019·太

6、原模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則z＝x2＋y2的取值范圍為________． 【答案】　(1)D　(2)－　(3)[，13] 【解析】　(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，平移直線y＝－x，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)時(shí)，z＝x＋y取得最大值，此時(shí)zmax＝3＋0＝3.故選D. (2) 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，因?yàn)楸硎酒矫鎱^(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)P(0，1)連線的斜率．由圖知，點(diǎn)P與點(diǎn)A(1，－)連線的斜率最小， 所以()min＝kPA＝＝－. (3)不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2x－y

7、＋2＝0的距離的平方，zmin＝，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(－2，3)的距離的平方，zmax＝|OA|2＝13. 解決線性規(guī)劃問題應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn) (1)首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決． (2)畫可行域時(shí)應(yīng)注意區(qū)域是否包含邊界． (3)對(duì)目標(biāo)函數(shù)z＝Ax＋By中B的符號(hào)，一定要注意B的正負(fù)與z的最值的對(duì)應(yīng)，要結(jié)合圖形分析．　 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】 1．設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3，0] B．[－3，2] C．[0，2] D．[0，3

8、] 【答案】B. 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)A(2，0)時(shí)，z取得最大值2，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)B(0，3)時(shí)，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3，2]，故選B. 2．(2018·惠州第三次調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，若z＝x＋2y的最小值為－4，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B. 【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過點(diǎn)C(－a，)時(shí)，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2，選B. 3．某

9、高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為__________元． 【答案】：216 000 課時(shí)作業(yè) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．已知關(guān)于x的不等式(ax－1)(x＋1)＜0的解集是(－∞，－1)∪，則a＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．－2 C．－

10、 D. 【答案】B. 【解析】根據(jù)不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的兩個(gè)根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故選B. 2．對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，有以下四個(gè)命題： ①若ac2＞bc2，且c≠0，則a＞b； ②若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d； ③若a＞b，c＞d，則ac＞bd； ④若a＞b，則＞. 其中正確的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】B 【解析】：選B.①ac2＞bc2，且c≠0，則a＞b，①正確；②由不等式的同向可加性可知②正確；③需滿足a，b，c，d均為正數(shù)才成立；④錯(cuò)誤，比如：令a

11、＝－1，b＝－2，滿足－1＞－2，但＜.故選B. 3．設(shè)x、y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 【答案】A 【解析】法一：作出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)B(－6，－3)時(shí)，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，選擇A. 6．(2017·高考天津卷)電視臺(tái)播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時(shí)，需要播放廣告．已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時(shí)，連續(xù)劇播放時(shí)長、廣告播放時(shí)長、收視人次如下表所示： 連續(xù)劇播放 時(shí)長

12、(分鐘) 廣告播放 時(shí)長(分鐘) 收視 人次(萬) 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知電視臺(tái)每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時(shí)間不多于600分鐘，廣告的總播放時(shí)間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍．分別用x，y表示每周計(jì)劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數(shù)． (1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域； (2)問電視臺(tái)每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？ 【解析】：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為 即 該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分． 解方程組得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，3)． 所以，電視臺(tái)每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3次時(shí)才能使總收視人次最多． 9