2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題06 函數(shù)的奇偶性與周期性（含解析）

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1、專題06函數(shù)的奇偶性與周期性 最新考綱 1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義． 2.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性． 3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性. 基礎(chǔ)知識融會貫通 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關(guān)于y軸對稱 奇函數(shù) 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關(guān)于原點對稱 2.周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(

2、x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 【知識拓展】 1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論 (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函數(shù)周期性常用結(jié)論 對f(x)定義域

3、內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)． 重點難點突破 【題型一】判斷函數(shù)的奇偶性 【典型例題】 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)是（　　） A．f（x）＝x|x| B．f（x）＝﹣x3 C．f（x） D．f（x） 【解答】解：由f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），知函數(shù)f（x）＝x|x|為奇函數(shù)，又f（x）＝x|x|當(dāng)x＞0時，f（x）＝x2在（0，+∞）上為增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱， 所以當(dāng)x＜0時

4、，f（x）＝﹣x2在（﹣∞，0）上也為增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）＝x|x|在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)，又是增函數(shù)，故A正確． ∵2＞1，而﹣23＜﹣13，所以函數(shù)f（x）＝x3在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B不正確． ∵不關(guān)于原點對稱，∴f（x）＝sinx在給定的定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故C不正確． ∵f（x）的定義域為{x|x＞0}，不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，故D不正確． 故選：A． 【再練一題】 下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　　） A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1| C． D． 【解答】解：f（x）＝sinx

5、是奇函數(shù)，但其在區(qū)間[﹣1，1]上單調(diào)遞增，故A錯； ∵f（x）＝﹣|x+1|，∴f（﹣x）＝﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x+1|不是奇函數(shù)，∴故B錯； ∵a＞1時，y＝ax在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，y＝a﹣x[﹣1，1]上單調(diào)遞減，∴f（x）在[﹣1，1]上單調(diào)遞增，故C錯； 故選：D． 思維升華 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件： (1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系． 在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或

6、f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立． 【題型二】函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 【典型例題】 已知函數(shù)f（x）滿足f（0）＝2，且對任意x∈R都滿足f（x+3）＝﹣f（x），則f（2019）的值為（　　） A．2019 B．2 C．0 D．﹣2 【解答】解：∵f（x+3）＝﹣f（x）， ∴f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x）， ∴f（x）的周期為6， ∴f（2019）＝f（3）， 又f（3）＝﹣f（0）＝﹣2， ∴f（2019）＝﹣2． 故選：D． 【再練一題】 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+6）＝f（x），當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）＝﹣（x+2）2；當(dāng)﹣

7、1≤x＜3時，f（x）＝x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（　?。? A．336 B．337 C．338 D．339 【解答】解：∵f（x+6）＝f（x）， 當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）＝﹣（x+2）2 當(dāng)﹣1≤x＜3時，f（x）＝x， ∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1， f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1， ∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期為6， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019） ＝336+f

8、（1）+f（2）+f（3） ＝338． 故選：C． 思維升華 函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)．對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值． 【題型三】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 命題點1　求函數(shù)值或函數(shù)解析式 【典型例題】 已知奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+4）＝f（x﹣2），且當(dāng)x∈[﹣3，0）時，，則f（2018）＝（　?。? A． B． C． D． 【解答】解：∵奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+4）＝f（x﹣2）， ∴f（x+6）＝f（x）， ∵當(dāng)x∈[﹣3，0）時，， ∴f（2018）＝f（336×6+2）＝f（2）＝﹣f（﹣

9、2） ＝﹣{} ． 故選：D． 【再練一題】 設(shè)偶函數(shù)f（x）對任意x∈R，都有f（x+3），且當(dāng)x∈[﹣3，﹣2]時，f（x）＝4x，則f（107.5）＝（　　） A．10 B． C．﹣10 D． 【解答】解：因為f（x+3），故有f（x+6）f（x）．函數(shù)f（x）是以6為周期的函數(shù)． f（107.5）＝f（6×17+5.5）＝f（5.5）． 故選：B． 命題點2　求參數(shù)問題 【典型例題】 已知函數(shù)f（x）＝lnx，且f（a）+f（a+1）＞0，則a的取值范圍為（　?。? A．（﹣1，） B．（） C．（） D．（） 【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝lnx，

10、 有0，解可得﹣1＜x＜1，即函數(shù)f（x）的定義域為（﹣1，1）， 有f（﹣x）＝ln（﹣x）＝﹣（x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)， 分析易得，f（x）＝lnx在（﹣1，1）上為增函數(shù)， f（a）+f（a+1）＞0?f（a）＞﹣f（a+1）?f（a）＞f（﹣a﹣1）， 則有，解可得a＜0， 即a的取值范圍為（，0）； 故選：B． 【再練一題】 已知，若f（x）＝xa為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值是（　?。? A．﹣1，3 B．，3 C．﹣1，，3 D．，，3 【解答】解：若f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則α＞0，排除A，C， 當(dāng)α＝2

11、時，f（x）＝x2為偶函數(shù)，不滿足條件． 當(dāng)α?xí)r，f（x）為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件． 當(dāng)α＝3時，f（x）＝x3為奇函數(shù)，滿足條件． 當(dāng)α?xí)r，f（x）為奇函數(shù)，滿足條件． 故選：B． 命題點3　利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式 【典型例題】 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0]上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f（），則a的取值范圍是（　　） A．（） B．（1，） C．（0，） D．（） 【解答】解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0]上單調(diào)遞增， ∴f（x）在R上都是增函數(shù)， 則不等式f（），等價為f（）＞f（）， 即， 則log3，

12、即a 即實數(shù)a的取值范圍是（）， 故選：A． 【再練一題】 定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，又f（﹣3）＝0，則f（x）＜0的解集是（　?。? A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（0，3） 【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)， ∴f（x）在（﹣∞，0）內(nèi)是增函數(shù)， ∵f（﹣3）＝﹣f（3）＝0， ∴f（3）＝0． 則對應(yīng)的函數(shù)圖象如圖（草圖） 則當(dāng)﹣3＜x＜0或x＞3時，f（x）＞0， 當(dāng)0＜x＜3或x＜﹣3時，f（x）＜0， 即

13、f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）， 故選：B． 思維升華 (1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題． (2)掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便： ①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．②若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0. 基礎(chǔ)知識訓(xùn)練 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根據(jù)題意，依次分析選項： 對于A，是偶函數(shù)，函數(shù)圖像開口向下在上單調(diào)遞減，不符合題意； 對于B，的圖像不關(guān)于y軸對稱，故不是偶函數(shù)，不符合題意； 對

14、于C，是偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，符合題意； 對于D，是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意； 故選：C． 2．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 為奇函數(shù) 當(dāng)時，，可知上單調(diào)遞增 上也單調(diào)遞增，即上的增函數(shù) ，解得： 本題正確選項： 3．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 依題意，由于為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)的最大值與最小值的和為，所以的最大值與最小值的和為，故選A. 4．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是

15、　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 對于為偶函數(shù)， 對于是奇函數(shù)； 對于奇函數(shù)； 對于時，時，， 該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B． 5．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則等于　　 A． B．8 C． D．． 【答案】A 【解析】 是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，； ． 故選：A． 6．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且（ ） A． B．9 C． D．0 【答案】A 【解析】 根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，則f（﹣x）＝﹣f（x）， 又由f（1+x）＝f（1﹣x），則f（﹣x）＝f（2+x）， 則有f（x+2

16、）＝﹣f（x），變形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)， 則f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9； 故選：A． 7．已知是定義在上且以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)時，為自然對數(shù)的底），則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（ ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】D 【解析】 ∵f（x）是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù)， ∴f（0）=0，f（-2）=f（-2+4）= f（2），又f（-2）=-f（2），∴f（2）=0， 且當(dāng)x∈（0，2）時，，則=0,則x=1，且在x∈（0，1）時，單調(diào)遞減，在x∈（

17、1，2）時，單調(diào)遞增， =f(2)>0, 故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示： 由圖可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間上共有7個零點， 故這些零點關(guān)于x＝2對稱， 故函數(shù)f（x）在區(qū)間區(qū)間上的所有零點的和為3×4+2＝14， 故選：D． 8．設(shè)函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，，則=( 　) A．－2 B．2 C．4 D．6 【答案】A 【解析】 因為的周期為2，所以， 由為奇函數(shù)，則，但， 故，故，選A． 9．已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因為的定義域是， ， 故是奇函數(shù)， 又， 故遞增，

18、 若， 等價于， 故，解得，故選D． 10．已知是偶函數(shù)，且對任意，設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵對任意， ∴函數(shù)上為增函數(shù)． 又函數(shù)為偶函數(shù)， ∴上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 又， ∴，即． 故選B． 11．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的x取值范圍是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則上為增函數(shù)， 則， 解可得：， 即x的取值范圍是； 故選：D． 12．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 當(dāng)時

19、，，所以上單調(diào)遞增，因為，所以當(dāng)時，等價于，即， 因為是定義在上的奇函數(shù)，所以 時，上單調(diào)遞增，且，所以等價于，即，所以不等式的解集為 13．若，則滿足不等式的取值范圍為___． 【答案】 【解析】 由題意得， ，所以是R上的奇函數(shù)，所以=0， 又在R上單調(diào)遞減， 所以，即，所以， 解得，即的取值范圍為. 答案為. 14．已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且圖象的交點為，…，，則______． 【答案】18 【解析】 函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)關(guān)于點對稱，函數(shù)關(guān)于點對稱，所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點（1，2）對稱，圖像的交點為，…，,兩兩關(guān)于點對稱，. 故答案為：18 15．已知定

20、義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則____________． 【答案】 【解析】 由可得， 所以，故函數(shù)的周期為， 所以， 又當(dāng)時，，所以， 故． 16．已知定義在上的函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則＝_____. 【答案】0 【解析】 根據(jù)題意,為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱, 則有， 若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱， 則有,則有, 設(shè)，則 變形可得， 則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)， 又由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱， 則， 則有， 可得， ，故答案為0. 17．已知定義在上的奇函數(shù)有最小正周期2，且當(dāng)時，. (1)求的值； (2

21、)求上的解析式. 【答案】（1）0,0；（2） 【解析】 (1)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由題意知，f(0)＝0.當(dāng)x∈(－1，0)時，－x∈(0，1). 由f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－， 綜上，在[－1，1]上，. 18．函數(shù)的定義域為，且對任意，有，且當(dāng)時，， (Ⅰ)證明是奇函數(shù)； (Ⅱ)證明上是減函數(shù)； (III)若，求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析(III) 【解析】 (Ⅰ)證明：由， 令y=-x,得f[x+(?x)

22、]=f(x)+f(?x)， ∴f(x)+f(?x)=f(0). 又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0. 從而有f(x)+f(?x)=0.∴f(?x)=?f(x). ∴f(x)是奇函數(shù). (Ⅱ)任取，且， 則 由，∴<0. ∴>0，即， 從而f(x)在R上是減函數(shù). (III)若，函數(shù)為奇函數(shù)得f(-3)=1, 又5=5f(-3)=f(-15), 所以=f(-15), 由得f(4x-13)-15,解得x>-, 故的取值范圍為 19．已知函數(shù)，且 的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性； 對于恒成立，求實數(shù)m的取

23、值范圍． 【答案】（1）定義域為；奇函數(shù);（2）時，時，. 【解析】 （1）由題意，函數(shù)，由， 可得，即定義域為； 由， 即有，可得為奇函數(shù)； 對于恒成立， 可得當(dāng)時，，由可得的最小值， 由，可得時，y取得最小值8，則， 當(dāng)時，，由可得的最大值， 由，可得時，y取得最大值，則， 綜上可得，時，時，． 20．已知指數(shù)函數(shù)滿足，定義域為的函數(shù)是奇函數(shù). （1）求函數(shù)的解析式； （2）若函數(shù)上有零點，求的取值范圍； （3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)指數(shù)函

24、數(shù)利用待定系數(shù)法求，利用奇函數(shù)用特值法求m,n，可得到解析式；（2）根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理求k的取值范圍；（3）分析函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為關(guān)于t恒成立問題，利用分離參數(shù)法求k的取值范圍． 試題解析： （Ⅰ）設(shè),則， a=3, ，　 ， 因為是奇函數(shù)，所以，即, ∴，又， ； ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零點， 從而，即， ∴，　∴， ∴k的取值范圍為． （Ⅲ）由（Ⅰ）知， ∴在R上為減函數(shù)（不證明不扣分）． 又因是奇函數(shù)， 所以， 因為減函數(shù)，由上式得：, 即對一切，有恒成立， 令m(x)=,易知m(x)在上遞增，所以， ∴，

25、即實數(shù)的取值范圍為． 點睛：本題綜合考查了指數(shù)函數(shù)的定義及其性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．解決已知函數(shù)奇偶性求解析式中參數(shù)問題時，注意特殊值的使用，可以使問題簡單迅速求解，但要注意檢驗，在處理恒成立問題時，注意利用分離參數(shù)求參數(shù)的取值范圍，注意分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題． 能力提升訓(xùn)練 1．設(shè)函數(shù)的定義域為R，且，若對于任意實數(shù)x，y，恒有則下列說法中不正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由題意，令，可得， ，故A正確， 令，可得， ，故B正確 令，

26、可得， ， ； ， ，故C正確， 令，可得， ，故D錯誤， 故選：D． 2．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則　　 A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【解析】 因為是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)， 所以，且， 則 ， 即是周期為4的周期函數(shù)， 所以， 故選D. 3．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ,所以為奇函數(shù), ,所以單調(diào)遞增 ,轉(zhuǎn)化成 得到,解得x滿足，故選B。 4．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，

27、且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有2個不同的實數(shù)根，至多有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 對都有，所以是定義在上的周期為4的函數(shù)； 作函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可知，解得， 故選D. 5．設(shè)函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點的和為 A．10 B．8 C．16 D．20 【答案】B 【解析】 因為函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)， 所以， 又因為， 所以，可得， 即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且 圖像關(guān)于直線對稱。 故在區(qū)間上的零點，即方程的根， 分別畫出的

28、函數(shù)圖像， 因為兩個函數(shù)圖像都關(guān)于直線對稱，因此方程的零點關(guān)于直線對稱， 由圖像可知交點個數(shù)為8個，分別設(shè)交點的橫坐標(biāo)從左至右依次為， 則， 所以所有零點和為8,故選B。 6．已知定義域為R的偶函數(shù)滿足對任意的，有，且當(dāng)時，.若函數(shù)上恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由于函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，即，故，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且為偶函數(shù).令，得到，也即函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像有三個交點，畫出兩個函數(shù)圖像如下圖所示.由圖可知，要使兩個函數(shù)圖像有三個交點，則需直線的斜率在兩條切線的斜率之間.當(dāng)時，，將代

29、入并化簡得，其判別式，解得.同理，當(dāng)時，，將代入化簡后，同樣令判別式為零，求得.所以實數(shù)的范圍是.故選B. 7．已知函數(shù)． 判斷并證明函數(shù)的奇偶性； 判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明； 對一切恒成立，求實數(shù)a的取值范圍 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 【解析】 （1）由題意，要使函數(shù)有意義，得，即函數(shù)的定義域為， 為奇函數(shù)； 上單調(diào)遞減， 證明如下：設(shè)， 則， 因為 ， ，即， 上單調(diào)遞減． 對一切恒成立， ， ，當(dāng)時，取最大值，即， ，解得， 故a的取值范圍為． 8．已知函數(shù)定義在上且滿足下列兩個條件： ①對任意都有；②

30、當(dāng)時，有． （1）證明函數(shù)上是奇函數(shù)； （2）判斷并證明的單調(diào)性. （3）若，試求函數(shù)的零點． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 【解析】 （1）令,則，則；又令，則， 即，所以函數(shù)上是奇函數(shù). （2）設(shè)，則，因為則由條件知，所以函數(shù)上單調(diào)遞增. （3），等價于 則， 因為函數(shù)上單調(diào)遞增，所以，則， 由，得，故的零點為. 9．已知函數(shù)是偶函數(shù). （1）求實數(shù)的值； （2）當(dāng)時，函數(shù)存在零點

31、，求實數(shù)的取值范圍； （3）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 （1）因為上的偶函數(shù)， 所以，即 解得，經(jīng)檢驗：當(dāng)時，滿足題意. （2）因為，所以 因為時，存在零點， 即關(guān)于的方程有解， 令，則 因為，所以，所以， 所以，實數(shù)的取值范圍是. （3）因為函數(shù)的圖像只有一個公共點， 所以關(guān)于的方程有且只有一個解， 所以 令，得（*），記， ①當(dāng)時，方程（*）的解為，不滿足題意，舍去； ②當(dāng)時，函數(shù)圖像開口向上，又因為圖像恒過點，方程（*）有一正一負(fù)兩實根，所以符合題意； ③當(dāng)時，時，解得， 方程（*）有兩個相等的正實根，所以滿足題意. 綜上，的取值范圍是. 10．已知函數(shù)為常數(shù)）. （1）若函數(shù)是偶函數(shù)，求的值； （2）在（1）條件下，滿足的任意實數(shù)，都有，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）函數(shù)是偶函數(shù). 恒成立 即恒成立，也就是 解得：. （3）由（1）知,由得：，又n=2-m， ∴ 整理得： 實數(shù)m的取值范圍是 25