2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 文

專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)圓錐曲線中的綜合問(wèn)題(建議用時(shí)：40分鐘)1(2019·西安模擬)已知拋物線E：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，x軸上方的點(diǎn)A(2，m)在拋物線E上，且|AF|，直線l與拋物線E交于M，N兩點(diǎn)(點(diǎn)M，N與A不重合)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2.(1)求拋物線E的方程；(2)當(dāng)k1k22時(shí)，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由拋物線的定義得|AF|2，得p1，所以，拋物線E的方程為y22x.(2)證明：如圖所示，易知直線l的斜率存在且不等于零，設(shè)直線l的方程為ykxb，聯(lián)立直線l與拋物線E的方程得k2x2(2kb2)xb20，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2,2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2，k1k22，化簡(jiǎn)得出(b1)(b2k2)0，b1或b22k.當(dāng)b1時(shí)，ykx1，過(guò)定點(diǎn)(0，1)；當(dāng)b22k時(shí)，ykx22kk(x2)2，過(guò)定點(diǎn)(2,2)，舍去，故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0，1)2(2019·馬鞍山二模)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在橢圓C上且MF垂直于x軸(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線PM與x4交于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)N到直線PF的距離為定值，并求出這個(gè)定值解(1)由題意可得解得a24，b23，故橢圓C的方程為1.(2)證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由M，可得直線PM的方程為y(x1)，將x4，代入可得y，故點(diǎn)N，F(xiàn)(1,0)，直線PF的方程為y(x1)，即y0x(1x0)yy00.點(diǎn)N到直線PF的距離為3，故N到直線PF的距離為定值，定值為3.3(2019·全國(guó)卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1(圖略)由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中，F(xiàn)1PF290°，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的離心率為e1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|·2c16，·1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，從而a2b2c22b232，故a4.當(dāng)b4，a4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b4，a的取值范圍為4，)4已知橢圓M：1(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0)，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C，D兩點(diǎn)(1)求橢圓M的方程；(2)一題多解記ABD與ABC的面積分別為S1和S2，求|S1S2|的最大值解(1)因?yàn)镕(1,0)為橢圓M的焦點(diǎn)，所以c1，又b，所以a2，所以橢圓M的方程為1.(2)法一：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線方程為x1，此時(shí)ABD與ABC的面積相等，即|S1S2|0.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為yk(x1)(k0)，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x2，x1x2.此時(shí)|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(當(dāng)且僅當(dāng)k±時(shí)，取等號(hào))，所以|S1S2|的最大值為.法二：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線l的方程為xmy1，與橢圓M的方程聯(lián)立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y2，故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|，當(dāng)且僅當(dāng)m±時(shí)取等號(hào)，所以|S1S2|的最大值為.- 4 -