2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 文
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2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)11 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 文
專題限時(shí)集訓(xùn)(十一)圓錐曲線中的綜合問(wèn)題(建議用時(shí):40分鐘)1(2019·西安模擬)已知拋物線E:y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,x軸上方的點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|,直線l與拋物線E交于M,N兩點(diǎn)(點(diǎn)M,N與A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2.(1)求拋物線E的方程;(2)當(dāng)k1k22時(shí),求證:直線l恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)解(1)由拋物線的定義得|AF|2,得p1,所以,拋物線E的方程為y22x.(2)證明:如圖所示,易知直線l的斜率存在且不等于零,設(shè)直線l的方程為ykxb,聯(lián)立直線l與拋物線E的方程得k2x2(2kb2)xb20,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),A(2,2),由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2,x1x2,k1k22,化簡(jiǎn)得出(b1)(b2k2)0,b1或b22k.當(dāng)b1時(shí),ykx1,過(guò)定點(diǎn)(0,1);當(dāng)b22k時(shí),ykx22kk(x2)2,過(guò)定點(diǎn)(2,2),舍去,故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)2(2019·馬鞍山二模)已知橢圓C:1(ab0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在橢圓C上且MF垂直于x軸(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),直線PM與x4交于點(diǎn)N,求證:點(diǎn)N到直線PF的距離為定值,并求出這個(gè)定值解(1)由題意可得解得a24,b23,故橢圓C的方程為1.(2)證明:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由M,可得直線PM的方程為y(x1),將x4,代入可得y,故點(diǎn)N,F(xiàn)(1,0),直線PF的方程為y(x1),即y0x(1x0)yy00.點(diǎn)N到直線PF的距離為3,故N到直線PF的距離為定值,定值為3.3(2019·全國(guó)卷)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1PF2,且F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1(圖略)由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中,F(xiàn)1PF290°,|PF2|c,|PF1|c,于是2a|PF1|PF2|(1)c,故C的離心率為e1.(2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|·2c16,·1,1,即c|y|16,x2y2c2,1.由及a2b2c2得y2.又由知y2,故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2),所以c2b2,從而a2b2c22b232,故a4.當(dāng)b4,a4時(shí),存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b4,a的取值范圍為4,)4已知橢圓M:1(a0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),左、右頂點(diǎn)分別為A,B,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于C,D兩點(diǎn)(1)求橢圓M的方程;(2)一題多解記ABD與ABC的面積分別為S1和S2,求|S1S2|的最大值解(1)因?yàn)镕(1,0)為橢圓M的焦點(diǎn),所以c1,又b,所以a2,所以橢圓M的方程為1.(2)法一:當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線方程為x1,此時(shí)ABD與ABC的面積相等,即|S1S2|0.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線l的方程為yk(x1)(k0),與橢圓M的方程聯(lián)立,消去y,得(34k2)x28k2x4k2120,0恒成立,且x1x2,x1x2.此時(shí)|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|(當(dāng)且僅當(dāng)k±時(shí),取等號(hào)),所以|S1S2|的最大值為.法二:設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),直線l的方程為xmy1,與橢圓M的方程聯(lián)立,消去x,得(3m24)y26my90,0恒成立,且y1y2,故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|,當(dāng)且僅當(dāng)m±時(shí)取等號(hào),所以|S1S2|的最大值為.- 4 -