中考數(shù)學(xué)命題研究 第一編 教材知識(shí)梳理篇 第五章 圖形的相似與解直角三角形 第二節(jié) 銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應(yīng)用（精講）試題

第二節(jié) 銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應(yīng)用,貴陽(yáng)五年中考命題規(guī)律) 年份題型題號(hào)考查點(diǎn)考查內(nèi)容分值總分2016填空14銳角三角函數(shù)以圓為背景求銳角正切值4解答21解直角三角形的應(yīng)用以“蘑菇石”為背景求斜坡的長(zhǎng)度8122015解答20解直角三角形的應(yīng)用以測(cè)量樓房高度為背景：(1)求斜坡的垂直距離；(2)通過測(cè)量樓房仰角，求樓房的高度10102014選擇6銳角三角函數(shù)求直角三角形中一銳角的正弦3解答20解直角三角形的應(yīng)用通過一氣球的仰角，求氣球離地面的高度10132013選擇7銳角三角函數(shù)以平面直角坐標(biāo)中一角一邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)為背景，求銳角的正切值3解答18解直角三角形的應(yīng)用以測(cè)量一古塔為背景，利用測(cè)量它的仰角，求距離10132012解答19解直角三角形的應(yīng)用以黃果樹瀑布為背景，通過測(cè)量仰角，求落差1010命題規(guī)律縱觀貴陽(yáng)市5年中考，銳角三角函數(shù)與解直角三角形的應(yīng)用為必考內(nèi)容，并且分別以選擇題和解答題的形式出現(xiàn)，分值為1013分，難度中等，其中解直角三角形的應(yīng)用考查了5次命題預(yù)測(cè)預(yù)計(jì)2017年貴陽(yáng)市中考，銳角三角函數(shù)及解直角三角形的應(yīng)用仍是重點(diǎn)考查內(nèi)容，特別是解直角三角形的應(yīng)用，應(yīng)強(qiáng)化訓(xùn)練.,貴陽(yáng)五年中考真題及模擬) 銳角三角函數(shù)(2次)1(2016貴陽(yáng)模擬一第8題)如圖，在RtABC中，C90，AB13，BC12，則下列三角函數(shù)表示正確的是( A )AsinA BcosACtanA DtanB,(第1題圖) ,(第3題圖)2(2014貴陽(yáng)6題3分)在RtABC中，C90，AC12，BC5，則sinA的值為( D ) A. B. C. D.3(2013貴陽(yáng)7題3分)如圖，P是的邊OA上一點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，5)，則tan等于( C )A. B. C. D. 解直角三角形的應(yīng)用(5次)4(2016貴陽(yáng)21題8分)“蘑菇石”是我省著名自然保護(hù)區(qū)梵凈山的標(biāo)志，小明從山腳B點(diǎn)先乘坐纜車到達(dá)觀景平臺(tái)DE觀景，然后再沿著坡腳為29的斜坡由E點(diǎn)步行到達(dá)“蘑菇石”A點(diǎn)，“蘑菇石”A點(diǎn)到水平面BC的垂直距離為1 790 m如圖，DEBC，BD1 700 m，DBC80，求斜坡AE的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1 m) 解：過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)M，由題意可得：EMAC，DFMC，AEM29，在RtDFB中，sin80，DFBDsin80，AMACCM1 7901 700sin80，在RtAME中，sin29，AE238.9(m)答：斜坡AE的長(zhǎng)度約為238.9 m. 5(2015貴陽(yáng)20題10分)小華為了測(cè)量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20 m，到達(dá)坡頂D處已知斜坡的坡角為15.(計(jì)算結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin150.26，cos150.97，tan150.27)(1)求小華此時(shí)與地面的垂直距離CD的值；(2)小華的身高ED是1.6 m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45，求樓房AB的高度 解：(1)CD5.2 m；(2)AB26.2 m. 6(2014貴陽(yáng)20題10分)如圖，為了知道空中一靜止的廣告氣球A的高度，小宇在B處測(cè)得氣球A的仰角為18，他向前走了20 m到達(dá)C處后，再次測(cè)得氣球A的仰角為45，已知小宇的眼睛距地面1.6 m，求此時(shí)氣球A距地面的高度(結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：tan180.32) 解：如圖，作ADBC于點(diǎn)D，交FG的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，AGE45，AEGE.在RtAFE中，設(shè)AE長(zhǎng)為x m，則tanAFE，即tan18，解得x9.6，根據(jù)題意得EDFB1.6 m，AD9.61.611.2 (m) 7(2013貴陽(yáng)18題10分)在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明要測(cè)某地一座古塔AE的高度，如圖，已知塔基AB的高為4 m，他在C處測(cè)得塔基頂端B的仰角為30，然后沿AC方向走5 m到達(dá)D點(diǎn)，又測(cè)得塔頂E的仰角為50.(人的身高忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：tan501.912，tan400.839) (1)求AC的距離；(結(jié)果保留根號(hào))(2)求塔高AE.(結(jié)果保留整數(shù))解：(1)AC4 m；(2)AE14 m. 8(2012貴陽(yáng)19題10分)小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹瀑布夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差如圖，他利用測(cè)角儀站在C處測(cè)得ACB68，再沿BC方向走80 m到達(dá)D處，測(cè)得ADC34，求落差A(yù)B.(測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：tan682.475 0，tan340.674 5) 解：AB74 m. 9(2015貴陽(yáng)考試說(shuō)明)如圖，在ABC中，C90，點(diǎn)D，E分別在AC，AB上，BD平分ABC，DEAB，AE6，cosA. 求：(1)DE，CD的長(zhǎng)；(2)tanDBC的值解：(1)DEAB，DEA90.在RtAED中，cosA，即.AD10.根據(jù)勾股定理得DE8.又DEAB，DCBC，BD平分ABC，DCDE8；(2)ACADDC10818，在RtABC中，cosA，即，AB30.根據(jù)勾股定理得BC24.在RtBCD中，tanDBC. ,中考考點(diǎn)清單) 銳角三角函數(shù)的概念1.在RtABC中，C90，ABc，BCa，ACb，則A的正弦sinA_余弦cosA_正切tanA_ 特殊角的三角函數(shù)值2.三角函數(shù)304560sin_cos_tan_1 解直角三角形3.解直角三角形常用的關(guān)系：在RtABC中，C90，則三邊關(guān)系_a2b2c2_兩銳角關(guān)系_AB90邊角關(guān)系sinAcosBcosAsinBtanA 解直角三角形的應(yīng)用(高頻考點(diǎn))4.仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中，視線在水平線上方的角叫_仰角_，視線在水平線下方的角叫_俯角_如圖坡度(坡比)、坡角坡面的鉛直高度h和_水平寬度_l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面與水平線的夾角叫坡角itan_如圖方位角指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，叫做_方位角_，如圖，A點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏東30方向，B點(diǎn)位于O點(diǎn)的南偏東60方向，C點(diǎn)位于O點(diǎn)的北偏西45方向(或西北方向)【規(guī)律總結(jié)】解直角三角形的方法：(1)解直角三角形，當(dāng)所求元素不在直角三角形中時(shí)，應(yīng)作輔助線構(gòu)造直角三角形，或?qū)ふ乙阎苯侨切沃械倪吔翘娲蟮脑兀?2)解實(shí)際問題的關(guān)鍵是構(gòu)造幾何模型，大多數(shù)問題都需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角計(jì)算問題 ,中考重難點(diǎn)突破) 銳角三角函數(shù)及特殊角三角函數(shù)值【例1】(2015樂山中考)如圖，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則cosA的值為( ) A. B.C. D.【學(xué)生解答】D1(2015蘭州中考)如圖，ABC中，B90，BC2AB，則cosA( D ) A. B. C. D.2(2016包頭中考)如圖，點(diǎn)O在ABC內(nèi)，且到三邊的距離相等，若BOC120，則tanA的值為( A )A. B. C. D.,(第2題圖) ,(第4題圖)3(2016懷化中考)在RtABC中，C90，sinA，AC6 cm，則BC的長(zhǎng)度為( C )A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm4(2016岳陽(yáng)中考)如圖，一山坡的坡度為i1，小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上走了200 m到達(dá)點(diǎn)B，則小辰上升了_100_m. 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 【例2】(2016哈爾濱中考)如圖，一艘輪船位于燈塔P的北偏東60方向，與燈塔P的距離為30海里的A處，輪船沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30方向上的B處，則此時(shí)輪船所在位置B處與燈塔P之間的距離為( )A60海里 B45海里C20海里 D30海里【解析】由題意可知：B30，APB180603090，故ABP是直角三角形根據(jù)正切的定義得：tanB，則BP30(海里)【學(xué)生解答】D5(2016蘇州中考)如圖，長(zhǎng)4 m的樓梯AB的傾斜角ABD為60，為了改善樓梯的安全性能，準(zhǔn)備重新建造樓梯，使其傾斜角ACD為45，則調(diào)整后的樓梯AC的長(zhǎng)為( B )A2 m B2 mC(22)m D(22)m,(第5題圖) ,(第6題圖)6(2016金華中考)一座樓梯的示意圖如圖所示，BC是鉛垂線，CA是水平線，BA與CA的夾角為.現(xiàn)要在樓梯上鋪一條地毯，已知CA4 m，樓梯寬度1 m，則地毯的面積至少需要( D )A. m2 B. m2C(4)m2 D(44tan)m2 7(2016上海中考)如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為30，測(cè)得底部C的俯角為60，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90 m，那么該建筑物的高度BC約為_208_m(精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：1.73)8(2016丹東中考)某中學(xué)九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量建筑物AB的高度他們?cè)贑處仰望建筑物頂端，測(cè)得仰角為48，再往建筑物的方向前進(jìn)6 m到達(dá)D處，測(cè)得仰角為64，求建筑物的高度(測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1 m，參考數(shù)據(jù)：sin48，tan48，sin64，tan642) 解：如圖，根據(jù)題意，得ADB64，ACB48.在RtADB中，tan64，則BDAB，在RtACB中，tan48，則CBAB，CDBCBD，6ABAB，AB14.7(m)，建筑物的高度約為14.7 m.9(2016內(nèi)江中考)如圖，禁漁期間，我國(guó)漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一艘可疑船只，測(cè)得A，B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45方向航行我國(guó)漁政船迅速沿北偏東30方向前去攔截，經(jīng)歷4小時(shí)剛好在C處將可疑船只攔截求該可疑船只航行的平均速度(結(jié)果保留根號(hào)) 解：過點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H，則BCH是等腰直角三角形設(shè)CHx，則BHx，AHCHtan30x.AB200，xx200.x100(1)，BCx100()兩船行駛4小時(shí)相遇，可疑船只航行的平均速度100()425()答：可疑船只航行的平均速度是每小時(shí)25()海里