九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版2

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2015-2016學年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應的括號內(nèi)） 1．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　?。? A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 2．在△ABC中，∠C=90，sinA=，則sinB的值是（　?。? A． B． C． D． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15，則∠BAD的度數(shù)為（　?。? A．15 B．30 C．60 D．75 4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　　） A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 6．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30，下列四個結(jié)論： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形． 其中正確結(jié)論的序號是（　?。? A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得3分） 9．等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為　　． 10．弧長為6π的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是　　． 11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　　． 12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=　?。? 13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知∠BAC=80，那么∠BDC=　　度． 14．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為　?。? 　 三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應寫出必要的證明過程或演算步驟 15．計算：tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45． 16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長． 17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長． 18．如圖，△ABC的三頂點分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請畫出一個以原點O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．（只需畫出一種情況，A1B1：AB=） 19．如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？ 20．如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋铅?43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米） （參考數(shù)據(jù)：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325） 21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60，cosC=，BC=2． （1）求∠A的度數(shù)； （2）求證：BC是⊙O的切線； （3）求MD的長度． 22．釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號） 23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF． （1）求證：△DEC∽△FDC； （2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度． 24．（12分）如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30，D為BC的中點，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點． （1）求證：AE⊥DE； （2）計算：AC?AF的值． 　  2015-2016學年山東省菏澤市單縣九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個選項A、B、C、D中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項選出來并填在該題相應的括號內(nèi)） 1．如果兩個相似三角形的相似比是1：2，那么它們的面積比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1： D．2：1 【考點】相似三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出． 【解答】解：∵兩個相似三角形的相似比是1：2， ∴（1：2）2=1：4．故選B． 【點評】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目，比較簡單． 　 2．在△ABC中，∠C=90，sinA=，則sinB的值是（　?。? A． B． C． D． 【考點】互余兩角三角函數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關系：sin2A+sin2B=1解答． 【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C=90， ∴∠A+∠B=90， ∴sin2A+sin2B=1，sinB＞0， ∵sinA=， ∴sinB==． 故選：C． 【點評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關系，掌握sin2A+sin2B=1是解題的關鍵． 　 3．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ACD=15，則∠BAD的度數(shù)為（　　） A．15 B．30 C．60 D．75 【考點】圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】由AB是圓的直徑，則∠ADB=90，由圓周角定理知，∠ABD=∠ACD=15，即可求∠BAD=90﹣∠B=75． 【解答】解：連接BD， ∵AB是圓的直徑， ∴∠ADB=90， ∴∠ABD=∠ACD=15， ∴∠BAD=90﹣∠ABD=75． 故選：D． 【點評】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半． 　 4．如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD?AB．其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】相似三角形的判定． 【分析】由圖可知△ABC與△ACD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應邊成比例即可解答． 【解答】解：有三個． ①∠B=∠ACD，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定； ②∠ADC=∠ACB，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定； ③中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確 ④可以根據(jù)兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似來判定； 故選：C． 【點評】此題主要考查學生對相似三角形的判定方法的掌握情況． 　 5．在△ABC中，若cosA=，tanB=，則這個三角形一定是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進行判斷． 【解答】解：∵cosA=，tanB=， ∴∠A=45，∠B=60． ∴∠C=180﹣45﹣60=75． ∴△ABC為銳角三角形． 故選A． 【點評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主． 　 6．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中△ABC相似的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】相似三角形的判定． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】本題主要應用兩三角形相似判定定理，三邊對應成比例，分別對各選項進行分析即可得出答案． 【解答】解：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、、 只有選項B的各邊為1、、與它的各邊對應成比例． 故選：B． 【點評】此題考查三角形相似判定定理的應用． 　 7．如圖，BC是⊙O的直徑，P是CB延長線上一點，PA切⊙O于點A，如果PA=4，PB=2，那么線段BC的長等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考點】切線的性質(zhì)． 【分析】如圖，連接OA．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90，所以在直角△AOP中，利用勾股定理來求該圓的半徑，則易求直徑BC的長度． 【解答】解：設該圓的半徑為r（r＞0）， 如圖，連接OA， ∵PA切⊙O于點A， ∴OA⊥AP，即∠OAP=90， 又∵PA=4，PB=2， ∴在直角△AOP中，利用勾股定理得到：PA2+OA2=OP2，即42+r2=（r+2）2， 則r=3， ∴⊙O的直徑BC=2r=6， 故選D． 【點評】本題考查了切線的性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題是解答此題的關鍵． 　 8．如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優(yōu)弧上一點，且∠D=30，下列四個結(jié)論： ①OA⊥BC；②BC=6；③sin∠AOB=；④四邊形ABOC是菱形． 其中正確結(jié)論的序號是（　?。? A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④ 【考點】垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項進行逐一判斷即可． 【解答】解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心， ∴OA⊥BC，故①正確； ∵∠D=30， ∴∠ABC=∠D=30， ∴∠AOB=60， ∵點A是劣弧的中點， ∴BC=2CE， ∵OA=OB， ∴OA=OB=AB=6cm， ∴BE=AB?cos30=6=3cm， ∴BC=2BE=6cm，故②正確； ∵∠AOB=60， ∴sin∠AOB=sin60=， 故③正確； ∵∠AOB=60， ∴AB=OB， ∵點A是劣弧的中點， ∴AC=AB， ∴AB=BO=OC=CA， ∴四邊形ABOC是菱形， 故④正確． 故選：B． 【點評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題． 　 二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得3分） 9．等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm，則一底角的正切值為　　． 【考點】解直角三角形． 【分析】易求腰長．作底邊上的高，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解． 【解答】解：如圖，AB=AC，BC=10，AD為底邊上的高，周長為36， 則AB=AC=（36﹣10）2=13． ∵BD=5， ∴由勾股定理得，AD=12． tan∠ABC=AD：BD=12：5． 【點評】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念． 　 10．弧長為6π的弧所對的圓心角為60，則該弧所在圓的半徑是　18　． 【考點】弧長的計算． 【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得． 【解答】解： =6π， 解得r=18． 【點評】解答本題的關鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個等量關系，然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值． 　 11．將一副三角尺如圖所示疊放在一起，則的值是　　． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由∠BAC=∠ACD=90，可得AB∥CD，即可證得△ABE∽△DCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得：，然后利用三角函數(shù)，用AC表示出AB與CD，即可求得答案． 【解答】解：∵∠BAC=∠ACD=90， ∴AB∥CD， ∴△ABE∽△DCE， ∴， ∵在Rt△ACB中∠B=45， ∴AB=AC， ∵在Rt△ACD中，∠D=30， ∴CD==AC， ∴==． 故答案為：． 【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用． 　 12．如圖，平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點，AE交BD于點F，如果，則=　?。? 【考點】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，易得△BEF∽△DAF，即可得=，然后由，求得答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴=， ∵， ∴=， ∴=． 故答案為：． 【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用． 　 13．如圖，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優(yōu)弧BC上的一點，已知∠BAC=80，那么∠BDC=　50　度． 【考點】切線的性質(zhì)；圓周角定理． 【分析】先用切線的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACD=90，再用四邊形內(nèi)角和定理得出∠BOC，∠BDC可求． 【解答】解：連接OB、OC，則∠ABO=∠ACO=90， ∠BAC+∠BOC=360﹣（∠ABO+∠ACO）=360﹣180=180， ∠BOC=180﹣∠BAC=180﹣80=100， 故∠BDC=∠BOC=100=50． 【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，比較簡單． 　 14．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是邊長為2的正方形，頂點A、C分別在x，y軸的正半軸上．點Q在對角線OB上，且QO=OC，連接CQ并延長CQ交邊AB于點P．則點P的坐標為　（2，4﹣2）?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BP的長，再求出AP，即可得到點P的坐標． 【解答】解：∵四邊形OABC是邊長為2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的邊AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ， ∴=， 即=， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴點P的坐標為（2，4﹣2）． 故答案為：（2，4﹣2）． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì)，以及坐標與圖形的性質(zhì)，比較簡單，利用相似三角形的對應邊成比例求出BP的長是解題的關鍵． 　 三、解答題（本大題共7個小題，共78分）解答應寫出必要的證明過程或演算步驟 15．計算：tan30?sin60+cos230﹣sin245?tan45． 【考點】特殊角的三角函數(shù)值． 【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入，然后化簡求值即可． 【解答】解：原式=+（）2﹣（）21 =+﹣=． 【點評】本題考查實數(shù)的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值． 　 16．如圖，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，求BC的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出BC的長． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE=1，AD=2，DB=3， ∴AB=AD+DB=5， ∴BC==． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形對應邊的比相等是解答此題的關鍵． 　 17．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，求AC的長． 【考點】圓周角定理；解直角三角形． 【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角等于90，得∠ACB=90，再由CD⊥AB．易得∠ACD=∠B，又由cos∠ACD=，得出tanB，即可求得答案． 【解答】解：∵AB為直徑， ∴∠ACB=90， ∴∠ACD+∠BCD=90， ∵CD⊥AB， ∴∠BCD+∠B=90， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=， ∵BC=4， ∴tan∠B=， ∴= ∴AC=． 【點評】本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用． 　 18．如圖，△ABC的三頂點分別為A（4，4），B（﹣2，2），C（3，0）．請畫出一個以原點O為位似中心，且與△ABC相似比為的位似圖形△A1B1C1，并寫出△A1B1C1各頂點的坐標．（只需畫出一種情況，A1B1：AB=） 【考點】作圖-位似變換；坐標確定位置． 【分析】先以原點O為位似中心，作△ABC的位似圖形，使相似比為，再根據(jù)所作三角形三點的位置寫出三點的坐標． 【解答】解：如圖 △A1B1C1就是所求的三角形，A1（﹣2，﹣2），B1（1，﹣1），C1（﹣1.5，0）． 【點評】此題考查位似三角形的作法和點的坐標的寫法，難度中等． 　 19．如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上，其中分針上有一點A，且當鐘面顯示3點30分時，分針垂直與桌面，A點距桌面的高度為10公分．如圖2，若此鐘面顯示3點45分時，A點距離桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分？ 【考點】解直角三角形的應用． 【分析】根據(jù)當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分得出AD=10，進而得出A′C=16，從而得出A′A″=3，得出答案即可． 【解答】解：連接A″A′， ∵當鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分． ∴AD=10， ∵鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為16公分， ∴A′C=16， ∴AO=A″O=6， 則鐘面顯示3點50分時， ∠A″OA′=30， ∴A′A″=3， ∴A點距桌面的高度為：16+3=19公分． 【點評】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角，得出∠A′OA=30，進而得出A′A″=3，是解決問題的關鍵． 　 20．如圖，小明為測量某鐵塔AB的高度，他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋铅?43，已知小明的測角儀高CD=1.5米，求鐵塔AB的高．（精確到0.1米） （參考數(shù)據(jù)：sin43=0.6820，cos43=0.7314，tan43=0.9325） 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【專題】應用題． 【分析】本題是一個直角梯形的問題，可以過點D作DE⊥AB于點E，把求AB的問題轉(zhuǎn)化求AE的長，從而可以在△ADE中利用三角函數(shù)求解． 【解答】解：如圖，可知四邊形DCBE是矩形． ∴EB=DC=1.5米，DE=CB=10米． 在Rt△AED中，∠ADE=α=43． ∴tanα=． ∴AE=DE?tan43=100.9325=9.325米； ∴AB=AE+EB=9.325+1.5=10.825≈10.8（米）． 【點評】解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題． 　 21．如圖，以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E，點M是的中點，OM交AC于點D，∠BOE=60，cosC=，BC=2． （1）求∠A的度數(shù)； （2）求證：BC是⊙O的切線； （3）求MD的長度． 【考點】圓周角定理；切線的判定與性質(zhì)；弧長的計算；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】計算題；證明題；壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù)． （2）要證BC是⊙O的切線，只要證明AB⊥BC即可． （3）根據(jù)切線的性質(zhì)，運用三角函數(shù)的知識求出MD的長度． 【解答】（1）解：∵∠BOE=60， ∴∠A=∠BOE=30． （2）證明：在△ABC中，∵cosC=， ∴∠C=60． 又∵∠A=30， ∴∠ABC=90， ∴AB⊥BC． ∴BC是⊙O的切線． （3）解：∵點M是的中點， ∴OM⊥AE． 在Rt△ABC中，∵BC=2， ∴AB=BC?tan60=2=6． ∴OA==3， ∴OD=OA=， ∴MD=． 【點評】本題綜合考查了三角函數(shù)的知識、切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可． 　 22．釣魚島自古以來就是我國的神圣領土，為維護國家主權和海洋權利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號） 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題． 【專題】壓軸題． 【分析】首先過點B作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC=45，∠ABC=90+15=105，則可求得∠ACB的度數(shù)，然后利用三角函數(shù)的知識求解即可求得答案． 【解答】解：過點B作BD⊥AC于D． 由題意可知，∠BAC=45，∠ABC=90+15=105， ∴∠ACB=180﹣∠BAC﹣∠ABC=30， 在Rt△ABD中，BD=AB?sin∠BAD=20=10（海里）， 在Rt△BCD中，BC===20（海里）． 答：此時船C與船B的距離是20海里． 【點評】此題考查了方向角問題．此題難度適中，注意能借助于方向角構造直角三角形，并利用解直角三角形的知識求解是解此題的關鍵． 　 23．在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分別交BD、AD于點E、F，連接BF． （1）求證：△DEC∽△FDC； （2）當F為AD的中點時，求sin∠FBD的值及BC的長度． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據(jù)題意可得∠DEC=∠FDC，利用兩角法即可進行相似的判定； （2）根據(jù)F為AD的中點，可得FB=FC，根據(jù)AD∥BC，可得FE：EC=FD：BC=1：2，再由sin∠FBD=EF：BF=EF：FC，即可得出答案，設EF=x，則EC=2x，利用（1）的結(jié)論求出x，在Rt△CFD中求出FD，繼而得出BC． 【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90，∠DCE=∠FCD， ∴△DEC∽△FDC． （2）∵F為AD的中點，AD∥BC， ∴FE：EC=FD：BC=1：2，F(xiàn)B=FC， ∴FE：FC=1：3， ∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=； 設EF=x，則FC=3x， ∵△DEC∽△FDC， ∴=，即可得：6x2=12， 解得：x=， 則CF=3， 在Rt△CFD中，DF==， ∴BC=2DF=2． 【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì)：對應邊成比例． 　 24．（12分）（2009?蕪湖）如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC=12，∠C=30，D為BC的中點，△ABD的外接圓⊙O與AC交于F點，過A作⊙O的切線AE交DF的延長線于E點． （1）求證：AE⊥DE； （2）計算：AC?AF的值． 【考點】切線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題；壓軸題． 【分析】（1）連接OA、OB，證明△ABD為等邊三角形后根據(jù)三心合一的定理求出∠OAC=60，求出四邊形ABDF內(nèi)接于圓O，利用切線的性質(zhì)求出AE⊥DE； （2）由1可得△ABD為等邊三角形，易證△ADF∽△ACD，可得AD2=AC?AF． 【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90，∠C=30，D為BC的中點， ∴∠ABD=60，AD=BD=DC． ∴△ABD為等邊三角形． ∴O點為△ABD的中心（內(nèi)心，外心，垂心三心合一）． 連接OA，OB，∠BAO=∠OAD=30， ∴∠OAC=60． 又∵AE為⊙O的切線， ∴OA⊥AE，∠OAE=90． ∴∠EAF=30． ∴AE∥BC． 又∵四邊形ABDF內(nèi)接于圓O， ∴∠FDC=∠BAC=90． ∴∠AEF=∠FDC=90，即AE⊥DE． （2）解：由（1）知，△ABD為等邊三角形， ∴∠ADB=60． ∴∠ADF=∠C=30，∠FAD=∠DAC． ∴△ADF∽△ACD，則． ∴AD2=AC?AF， 又∵AD=BC=6． ∴AC?AF=36． 【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．