九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版11 (3)

《九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版11 (3)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版11 (3)（24頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2016-2017學年福建省福州市永泰縣九年級（上）期中數學試卷 一、選擇題：選一個正確答案的序號填入括號內，每小題3分，共30分． 1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1）與點B關于原點對稱，則點B的坐標為（　?。? A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 3．下列方程中有兩個相等實數根的是（　　） A．x2﹣1=0 B．（x+2）2=0 C．x2+3=0 D．（x﹣3）（x+5）=0 4．將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數關系式是（　?。? A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x+2）2+3 5．關于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 6．設二次函數y=2（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標可能是（　?。? A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣4） D．（﹣3，0） 7．某種藥品原價為40元/盒，經過連續(xù)兩次降價后售價為28元/盒，設平均每次降價的百分率為x，根據題意所列方程正確的是（　?。? A．40（1﹣x）2=40﹣28 B．40（1﹣2x）=28 C．40（1﹣x）2=28 D．40（1﹣x2）=28 8．已知關于x的方程ax2+bx+c=0，若a﹣b+c=0，則該方程一定有一個根是（　?。? A．﹣1 B．0 C．1 D．2 9．已知二次函數y=x2+x+m，當x取任意實數時，都有y＞0，則m的取值范圍是（　　） A．m B．m C．m D．m 10．如圖，如果正方形ABCD旋轉后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在的平面內可作旋轉中心的點共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二、填空題：每小題4分，共24分． 11．方程2x2=x的根是　?。? 12．若關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣2k=0一個根是﹣1，則另一個根是　?。? 13．如圖所示，在△ABC中，∠B=40，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處，則旋轉角∠BAD=　　度． 14．如圖，在△ABC中，BC=2，∠ABC=90，∠BAC=30，將△ABC繞點A順時針旋轉90，得到△ADE，其中點B與點D是對應點，點C與點E是對應點，連接BD，則BD的長為　　． 15．請寫出一個二次函數，使其滿足以下條件：①圖象開口向下；②圖象的對稱軸為直線x=2；它的解析式可以是　　． 16．如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，給出以下結論： ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a+3b+c＞0；④若B（，y1）、C（2，y2）為函數圖象上的兩點，則y1＞y2， 其中正確的結論是（填寫代表正確結論的序號）　　． 　 三、解答題：共96分． 17．解方程： （1）3x（x+1）=2（x+1）； （2）x2﹣6x+2=0． 18．二次函數中y=ax2+bx+1的x、y的部分對應值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y m 1 ﹣1 ﹣1 1 求該二次函數的解析式及m的值． 19．平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，3），點B在x軸上，將△AOB繞點A逆時針旋轉90得到△ACD，點O、B對應點分別是C、D． （1）若點B的坐標是（﹣4，0），請在圖中畫出△ACD，并寫出點C、D的坐標； （2）當點D落在第一象限時，試寫出一個符合條件的點B的坐標． 20．已知二次函數y=x2+x﹣． （1）用配方法將y=x2+x﹣化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象； （3）根據圖象填空： ①當x　　時，y隨x的增大而增大； ②當﹣2＜x＜2時，則y的取值范圍是　??； ③關于x的方程x2+x﹣=m沒有實數解，則m的取值范圍是　?。? 21．回答下面的例題： 解方程：x2﹣|x|﹣2=0． 解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）． （2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2． 請參照例題解方程x2+|x﹣4|﹣8=0． 22．已知關于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）=0． （1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數根； （2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 23．某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用． （1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？ （2）若賓館某一天獲利10640元，則房價定為多少元？ （3）房價定為多少時，賓館的利潤最大？ 24．如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，點M是BC的中點，作正方形MNPQ，使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ． （1）直接寫出線段AN和BQ的數量關系是　　． （2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉θ（0＜θ≤360） ①判斷（1）的結論是否成立？請利用圖2證明你的結論； ②若BC=MN=6，當θ（0＜θ≤360）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出AQ的值． 25．如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣4經過點A（5，﹣5），若拋物線頂點為P． （1）求點P的坐標； （2）在直線OA上方的拋物線上任取一點M，連接MO、MA，求△MOA的面積取得最大時的點M坐標； （3）如圖1，將原拋物線沿射線OP方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OP交于C、D兩點．試問線段CD的長度是否為定值，若是請求出這個定值；若不是請說明理由．（提示：若點C（x1，y1），D（x2，y2），則CD的長度d=） 　  2016-2017學年福建省福州市永泰縣九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：選一個正確答案的序號填入括號內，每小題3分，共30分． 1．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】結合中心對稱圖形的概念求解即可． 【解答】解：A、不是中心對稱圖形，本選項錯誤； B、是中心對稱圖形，本選項正確； C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤； D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤． 故選B． 【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合． 　 2．在平面直角坐標系中，點A（﹣2，1）與點B關于原點對稱，則點B的坐標為（　?。? A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1） 【考點】關于原點對稱的點的坐標． 【分析】關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成原來相反數，據此求出點B的坐標． 【解答】解：∵點A坐標為（﹣2，1）， ∴點B的坐標為（2，﹣1）． 故選B． 【點評】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關于原點O的對稱點是P′（﹣x，﹣y）． 　 3．下列方程中有兩個相等實數根的是（　?。? A．x2﹣1=0 B．（x+2）2=0 C．x2+3=0 D．（x﹣3）（x+5）=0 【考點】根的判別式． 【分析】分別求出每個方程的根即可判斷． 【解答】解：A、x2﹣1=0中x=1或x=﹣1，錯誤； B、（x+2）2=0中x=﹣2，正確； C、方程x2+3=0無實數根，錯誤； D、（x﹣3）（x+5）=0中x=3或x=﹣5，錯誤； 故選：B． 【點評】本題主要考查解方程的能力，根據方程的特點靈活選擇解方程的方法是解題的關鍵． 　 4．將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數關系式是（　?。? A．y=（x﹣2）2﹣3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x+2）2+3 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】根據函數圖象平移的法則進行解答即可． 【解答】解：根據“左加右減，上加下減”的法則可知，將拋物線y=x2先向右平移2個單位，再向下平移3個單位，那么所得到拋物線的函數關系式是y=（x﹣2）2﹣3． 故選A． 【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知二次函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵． 　 5．關于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【考點】根的判別式． 【分析】方程有兩個不相等的實數根，則△＞0，由此建立關于k的不等式，然后可以求出k的取值范圍． 【解答】解：由題意知k≠0，△=4+4k＞0 解得k＞﹣1且k≠0． 故選D． 【點評】總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數根； （3）△＜0?方程沒有實數根． 2、一元二次方程的二次項系數不為0． 　 6．設二次函數y=2（x﹣3）2﹣4圖象的對稱軸為直線l，若點M在直線l上，則點M的坐標可能是（　?。? A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣4） D．（﹣3，0） 【考點】二次函數的性質． 【分析】由二次函數解析式可求得拋物線的對稱軸，則可求得答案． 【解答】解： ∵y=2（x﹣3）2﹣4， ∴對稱軸為x=3， ∵點M在直線l上， ∴M點的橫坐標為3， 故選B． 【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的頂點式是解題的關鍵，即在y=a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x=h，頂點坐標為（h，k）． 　 7．某種藥品原價為40元/盒，經過連續(xù)兩次降價后售價為28元/盒，設平均每次降價的百分率為x，根據題意所列方程正確的是（　　） A．40（1﹣x）2=40﹣28 B．40（1﹣2x）=28 C．40（1﹣x）2=28 D．40（1﹣x2）=28 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格（1﹣降低的百分率）=28，把相應數值代入即可求解． 【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，則第一次降價后的價格為40（1﹣x）元， 兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格的基礎上降低x，為40（1﹣x）（1﹣x）元， 則列出的方程是40（1﹣x）2=28， 故選C． 【點評】此題考查求平均變化率的方法．若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1x）2=b． 　 8．已知關于x的方程ax2+bx+c=0，若a﹣b+c=0，則該方程一定有一個根是（　?。? A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】根據x=﹣1時方程ax2+bx+c=0中a﹣b+c=0可得答案． 【解答】解：∵方程ax2+bx+c=0中a﹣b+c=0， ∴x=﹣1， 故選：A． 【點評】本題主要考查方程的解，熟練掌握方程的解的定義是解題的關鍵． 　 9．已知二次函數y=x2+x+m，當x取任意實數時，都有y＞0，則m的取值范圍是（　?。? A．m B．m C．m D．m 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】二次函數開口向上，當x取任意實數時，都有y＞0，則b2﹣4ac＜0，據此即可列不等式求解． 【解答】解：b2﹣4ac=1﹣4m＜0， 解得：m＞． 故選D． 【點評】本題考查了拋物線與x軸交點個數，個數由b2﹣4ac的符號確定，當△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 　 10．如圖，如果正方形ABCD旋轉后能與正方形CDEF重合，那么圖形所在的平面內可作旋轉中心的點共有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】旋轉的性質；正方形的性質． 【分析】根據旋轉的性質，分類討論確定旋轉中心． 【解答】解：把正方形ABCD繞點D逆時針旋轉90能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點D； 把正方形ABCD繞點C順時針旋轉90能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為點C； 把正方形ABCD繞CD的中點旋轉180能與正方形CDEF重合，則旋轉中心為CD的中點． 故選C． 【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質． 　 二、填空題：每小題4分，共24分． 11．方程2x2=x的根是　x1=0，x2=?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：2x2=x， 2x2﹣x=0， x（2x﹣1）=0， x=0，2x﹣1=0， x1=0，x2=， 故答案為：x1=0，x2=． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程，難度適中． 　 12．若關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣2k=0一個根是﹣1，則另一個根是　4?。? 【考點】根與系數的關系；一元二次方程的解． 【分析】將x=﹣1代入原方程求出k值，再根據根與系數的關系結合方程的一根為﹣1即可得出結論． 【解答】解：將x=﹣1代入原方程得：1+（k+1）﹣2k=0， 解得：k=2， ∵=﹣2k=﹣4，方程的一個根是﹣1， ∴方程的另一個根是4． 故答案為：4． 【點評】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數的關系，將x=﹣1代入原方程求出k值是解題的關鍵． 　 13．如圖所示，在△ABC中，∠B=40，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處，則旋轉角∠BAD=　100　度． 【考點】旋轉的性質． 【專題】計算題． 【分析】根據旋轉的性質得AB=AD，∠BAD等于旋轉角，再根據等腰三角形的性質得∠B=∠ADB=40，然后根據三角形內角和定理計算∠BAD的度數． 【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處，使點B落在BC延長線上的D點處， ∴AB=AD，∠BAD等于旋轉角， ∴∠B=∠ADB=40， ∴∠BAD=180﹣∠B﹣∠ADB=100． 故答案為100． 【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等． 　 14．如圖，在△ABC中，BC=2，∠ABC=90，∠BAC=30，將△ABC繞點A順時針旋轉90，得到△ADE，其中點B與點D是對應點，點C與點E是對應點，連接BD，則BD的長為　2　． 【考點】旋轉的性質；含30度角的直角三角形． 【分析】先根據直角三角形的性質求出AB的長，再由旋轉的性質得出AB=AD，根據勾股定理即可得出結論． 【解答】解：∵在△ABC中，BC=2，∠ABC=90，∠BAC=30， ∴AB===3． ∵將△ABC繞點A順時針旋轉90，得到△ADE， ∴∠BAD=90，AB=AD=2， ∴BD===2． 故答案為：2． 【點評】本題考查的是旋轉的性質，熟知圖形旋轉不變性的性質是解答此題的關鍵． 　 15．請寫出一個二次函數，使其滿足以下條件：①圖象開口向下；②圖象的對稱軸為直線x=2；它的解析式可以是　y=﹣x2+4x?。? 【考點】二次函數的性質． 【分析】由拋物線開口方向可確定二次項系數，結合對稱軸可確定一次項系數，則可求得答案． 【解答】解： 設拋物線解析式為y=ax2+bx+c， ∵拋物線開口向下， ∴可取a=﹣1， ∵對稱軸為x=2， ∴﹣=2，解得b=4， 可取c=0， ∴滿足條件的函數解析式可以是y=﹣x2+4x， 故答案為：y=﹣x2+4x． 【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的開口方向與a的符號與關、對稱軸公式為x=﹣是解題的關鍵． 　 16．如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，給出以下結論： ①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a+3b+c＞0；④若B（，y1）、C（2，y2）為函數圖象上的兩點，則y1＞y2， 其中正確的結論是（填寫代表正確結論的序號）?、佗冖堋。? 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【分析】根據函數圖象得出拋物線開口向下得到a小于0，且拋物線與y軸正半軸相交，得c大于0，對稱軸在y軸右側，a，b異號即選項①正確；拋物線與x軸交于兩個點，得出根的判別式大于0，即選項②正確；由圖象得出x=3時對應的函數值等于0，故選項③錯誤；拋物線與x軸的另一個交點為A（3，0），根據對稱軸為x=1，利用對稱性得出x=時的y值大于x=2時的y值，即選項④正確，即可得出正確的選項序號． 【解答】解：∵拋物線開口向下， ∴a＜0， ∵拋物線與y軸正半軸相交， ∴c＞0， ∵對稱軸在y軸右側， ∴a，b異號， ∴b＞0，故①正確； ∵拋物線與x軸交于兩個點， ∴△＞0，故②正確； ∵x=3時，y=9a+3b+c=0，故③錯誤； ∵對稱軸為x=1， ∴y1＞y2，故④正確， 故答案為①②④． 【點評】本題考查了拋物線圖象與系數的關系，其中a由拋物線的開口方向決定，a與b同號對稱軸在y軸左邊；a與b異號對稱軸在y軸右邊，c的符合由拋物線與y軸的交點在正半軸或負半軸有關；拋物線與x軸的交點個數決定了根的判別式的正負，此外還要在拋物線圖象上找出特殊點對應函數值的正負來進行判斷． 　 三、解答題：共96分． 17．解方程： （1）3x（x+1）=2（x+1）； （2）x2﹣6x+2=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）因式分解法求解可得； （2）公式法求解可得． 【解答】解：（1）∵3x（x+1）﹣2（x+1）=0， ∴（x+1）（3x﹣2）=0， ∴x+1=0或3x﹣2=0， 解得：x=﹣1或x=； （2）∵a=1，b=﹣6，c=2， ∴△=36﹣412=28＞0， ∴x==3， 即x1=3+，x2=3﹣． 【點評】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據方程的特點靈活選用合適的方法． 　 18．二次函數中y=ax2+bx+1的x、y的部分對應值如下表： x ﹣1 0 1 2 3 y m 1 ﹣1 ﹣1 1 求該二次函數的解析式及m的值． 【考點】待定系數法求二次函數解析式． 【分析】利用待定系數法即可求得函數的解析式，然后把x=﹣1代入函數解析式，即可求得m的值． 【解答】解：根據題意得：， 解得：， 則二次函數的解析式是y=x2﹣3x+1． 當x=﹣1是，m=1+3+1=5． 【點評】此題考查了待定系數法確定二次函數解析式，正確解方程組求得a和b的值是解本題的關鍵． 　 19．平面直角坐標系中，點A的坐標是（0，3），點B在x軸上，將△AOB繞點A逆時針旋轉90得到△ACD，點O、B對應點分別是C、D． （1）若點B的坐標是（﹣4，0），請在圖中畫出△ACD，并寫出點C、D的坐標； （2）當點D落在第一象限時，試寫出一個符合條件的點B的坐標． 【考點】作圖-旋轉變換． 【專題】作圖題． 【分析】（1）根據網格結構找出點C、D的位置，然后與點A順次連接即可，再根據平面直角坐標系寫出點C、D的坐標； （2）根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可知AC⊥CD，然后根據點D在x軸上方部分時的CD的長度，再寫出點B的坐標即可． 【解答】解：（1）△ACD如圖所示，C（3，3），D（3，﹣1）； （2）若點D落在第一象限，則CD可以等于2， 此時OB=2，點B的坐標可為（﹣2，0）（答案不唯一）． 【點評】本題考查了利用旋轉變換作圖，熟練掌握網格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵． 　 20．已知二次函數y=x2+x﹣． （1）用配方法將y=x2+x﹣化成y=a（x﹣h）2+k的形式； （2）在平面直角坐標系中，畫出這個二次函數的圖象； （3）根據圖象填空： ①當x?。京?　時，y隨x的增大而增大； ②當﹣2＜x＜2時，則y的取值范圍是　﹣2≤y＜　； ③關于x的方程x2+x﹣=m沒有實數解，則m的取值范圍是　m＜﹣2?。? 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數的三種形式． 【分析】（1）根據配方法的步驟即可解決． （2）利用描點法畫出函數圖象即可． （3）①根據圖象即可判斷． ②利用圖象法解決即可． ③利用圖象法即可解決． 【解答】解：（1）y=x2+x﹣化成y=（x2+2x+1﹣1）﹣=（x+1）2﹣2． （2）函數圖象如圖所示， （3）①由圖象可知當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大． 故答案為x＞﹣1． ②x=﹣2時，y=﹣，x=2時，y=，x=﹣1時，y=﹣2， ∴當﹣2＜x＜2時，則y的取值范圍是﹣2≤y＜． 故答案為﹣2≤y ③由圖象可知m＜﹣2時，方程x2+x﹣=m沒有實數解． 故答案為m＜﹣2． 【點評】本題考查二次函數與x軸的交點，函數的增減性等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，學會利用圖象解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 21．回答下面的例題： 解方程：x2﹣|x|﹣2=0． 解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）． （2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2． 請參照例題解方程x2+|x﹣4|﹣8=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】分類討論：當x≥4時，原方程式為x2+x﹣12=0；當x＜4時，原方程式為x2﹣x﹣4=0，然后分別利用因式分解法解方程求出滿足條件的x的值，從而得到原方程的解． 【解答】解：當x≥4時，原方程化為x2+x﹣12=0，解得：x1=3，x2=﹣4（不合題意，舍去）． 當x＜4時，原方程化為x2﹣x﹣4=0，解得：x1=，x2=， ∴原方程的根是x=3或x=或x=． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數學轉化思想）． 　 22．已知關于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）=0． （1）求證：無論m取何值，這個方程總有實數根； （2）若等腰△ABC的一邊長a=6，另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長． 【考點】根的判別式；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【分析】（1）根據方程的系數結合根的判別式即可得出△=（m﹣3）2≥0，由此即可證出結論； （2）由等腰三角形的性質可知b=c或b、c中有一個為6，①當b=c時，根據根的判別式△=（m﹣3）2=0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據三角形的三邊關系即可得出該種情況不合適；②當方程的一根為6時，將x=6代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據三角形的三邊關系確定△ABC的三條邊，結合三角形的周長即可得出結論． 【解答】解：（1）證明：∵在方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）=0中，△=[﹣（m+1）]2﹣42（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0， ∴無論m取何值，這個方程總有實數根； （2）∵△ABC為等腰三角形， ∴b=c或b、c中有一個為6． ①當b=c時，△=（m﹣3）2=0， 解得：m=3， ∴原方程為x2﹣4x+4=0， 解得：b=c=2， ∵b+c=2+2=4＜6， ∴2、2、6不能構成三角形． ②當方程的一根為6時，將x=6代入原方程得：36﹣6（m+1）+2（m﹣1）=0， 解得：m=7， ∴原方程為x2﹣8x+12=0， 解得：x1=2，x2=6， ∵6+2=8＞6，6+6=12＞2， ∴△ABC的三邊長為：2、6、6， ∴C△ABC=2+6+6=14． 【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關系以及等腰三角形的性質，根據等腰三角形的性質分b=c或b、c中有一個為6兩種情況考慮是解題的關鍵． 　 23．某賓館有50個房間供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用． （1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為多少元？ （2）若賓館某一天獲利10640元，則房價定為多少元？ （3）房價定為多少時，賓館的利潤最大？ 【考點】二次函數的應用；一元二次方程的應用． 【分析】（1）根據利潤=房價的凈利潤入住的房間數可得； （2）設每個房間的定價為a元，根據以上關系式列出方程求解可得； （3）根據（1）中相等關系列出函數解析式，根據函數的性質可得最值情況． 【解答】解：（1）若每個房間定價增加40元，則這個賓館這一天的利潤為（180+40﹣20）（50﹣）=9200元； （2）設每個房間的定價為a元， 根據題意，得：（a﹣20）（50﹣）=10640， 解得：a=300或a=400， 答：若賓館某一天獲利10640元，則房價定為300元或400元； （3）設房價增加x元時，利潤為w， 則w=（180﹣20+x）（50﹣） =﹣x2+34x+8000 =﹣（x﹣170）2+10890 因而當x=170時，即房價是350元時，利潤最大． 【點評】此題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關系． 　 24．如圖1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，點M是BC的中點，作正方形MNPQ，使點A、C分別在MQ和MN上，連接AN、BQ． （1）直接寫出線段AN和BQ的數量關系是　BQ=AN?。? （2）將正方形MNPQ繞點M逆時針方向旋轉θ（0＜θ≤360） ①判斷（1）的結論是否成立？請利用圖2證明你的結論； ②若BC=MN=6，當θ（0＜θ≤360）為何值時，AN取得最大值，請畫出此時的圖形，并直接寫出AQ的值． 【考點】四邊形綜合題；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質；旋轉的性質． 【專題】綜合題． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性質及正方形的性質，得出△AMN≌△BMQ，即可得出結論； （2）①如圖2，連接AM，由等腰直角三角形的性質及正方形的性質，可以得出△AMN≌△BMQ，即可得出結論；②由①可知BG=AE，當BQ取得最大值時，AN取得最大值，由勾股定理即可得出結論． 【解答】解：（1）BQ=AN． 理由：如圖1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90，點M是BC的中點， ∴AM⊥BC，BM=AM， ∴∠AMB=∠AMC=90． ∵四邊形PQMN是正方形， ∴QM=NM． 在△QMB和△NMA中， ， ∴△QMB≌△NMA（SAS）， ∴BQ=AN． 故答案為：BQ=AN； （2）①BQ=AN成立． 理由：如圖2，連接AM， ∵在Rt△BAC中，M為斜邊BC中點， ∴AM=BM，AM⊥BC， ∴∠AMQ+∠QMB=90． ∵四邊形PQMN為正方形， ∴MQ=NM，且∠QMN=90， ∴∠AMQ+∠NMA=90， ∴∠BMQ=∠AMN． 在△BMQ和△AMN中， ， ∴△BMQ≌△AMN（SAS）， ∴BQ=AN； ②由①得，BQ=AN， ∴當BQ取得最大值時，AN取得最大值． 如圖3，當旋轉角θ=270時，BQ=AN（最大），此時∠AMQ=90． ∵BC=MN=6，M是BC的中點， ∴MQ=6，AM=BC=3， ∴在Rt△AMQ中，由勾股定理得 AQ===3． 【點評】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的判定及性質，正方形的性質的綜合應用，解答時作輔助線構造直角三角形和全等三角形并證明三角形全等是解決問題的關鍵． 　 25．如圖，已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣4經過點A（5，﹣5），若拋物線頂點為P． （1）求點P的坐標； （2）在直線OA上方的拋物線上任取一點M，連接MO、MA，求△MOA的面積取得最大時的點M坐標； （3）如圖1，將原拋物線沿射線OP方向進行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OP交于C、D兩點．試問線段CD的長度是否為定值，若是請求出這個定值；若不是請說明理由．（提示：若點C（x1，y1），D（x2，y2），則CD的長度d=） 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標； （2）先設出點M坐標，得出三角形MOA面積，進而確定出點M的坐標． （3）根據平移規(guī)律，可得新拋物線，根據聯立拋物線與OP，可得C、D點的橫坐標，根據勾股定理，可得答案． 【解答】解：（1）依題意﹣52+5m+m﹣4=﹣5， ∴m=4， ∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4 ∴頂點P（2，4）； （2）如圖1， ∵A（5，﹣5）， ∴OA的解析式為y=﹣x， 設M（m，﹣m2+4m），（0＜m＜5） ∴N（m，﹣m）， ∴MN=﹣m2+4m+m=﹣m2+5m， ∴S△MOA=MN?|xA﹣xO|=?（﹣m2+5m）?5=﹣（m2﹣5m）=﹣（m﹣）2+ ∴當m=時，△MOA的面積取得最大，此時的點M坐標（，）． （3）在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是為定值， ∵直線OP的解析式為y=2x， ∴可設新拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+2a 聯立拋物線與OP， ， ∴﹣（x﹣a）2﹣a=﹣x， ∴x1=a，x2=a﹣2，x1﹣x2=2； y1=2x1=2a，y2=2x2=2（a﹣2），y1﹣y2=4； ∴CD的長度===2 ∴在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是定值，定值為2． 【點評】本題考查了二次函數綜合題，利用待定系數法求函數解析式，確定出三角形MOA的面積是解題關鍵，又利用了解方程組得出P點坐標；利用勾股定理得出CD的．