九年級數學上學期期中試卷（含解析） 新人教版五四制 (2)

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2016-2017學年黑龍江省哈爾濱六十九中九年級（上）期中數學試卷 一．選擇題 1．﹣的相反數是（　?。? A． B．﹣ C．﹣2 D．2 2．下列計算正確的是（　?。? A．a2?a3=a5 B．a+a=a2 C．（a2）3=a5 D．a2（a+1）=a3+1 3．在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 4．反比例函數y=的圖象經過點（﹣2，5），則k的值為（　　） A．10 B．﹣10 C．4 D．﹣4 5．某藥品原價每盒25元，兩次降價后，每盒降為16元，則平均每次降價的百分率是（　?。? A．10% B．20% C．25% D．40% 6．已知拋物線的解析式為為y=（x﹣2）2+1，則當x≥2時，y隨x增大的變化規(guī)律是（　?。? A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大 7．如圖，為了測量河兩岸A、B兩點的距離，在與AB垂直的方向點C處測得AC=a，∠ACB=α，那么AB等于（　　） A．a?sinα B．a?tanα C．a?cosα D． 8．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN等于（　?。? A． B． C． D． 9．如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式正確的是（　　） A． B． C． D． 10．如圖，在四邊形ABCD中，動點P從點A開始沿ABCD的路徑勻速前進到D為止．在這個過程中，△APD的面積S隨時間t的變化關系用圖象表示正確的是（　　） A． B． C． D． 　 二．填空題 11．將38000用科學記數法表示為　?。? 12．函數y=中自變量x的取值范圍是　　． 13．計算：﹣=　?。? 14．把多項式xy2﹣4x分解因式的結果為　?。? 15．不等式組的整數解是　?。? 16．方程=的解為　?。? 17．如圖，在?ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，則=　?。? 18．如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為4，則弦AB的長為　　． 19．在△ABC中，AC=6，點D為直線AB上一點，且AB=3BD，直線CD與直線BC所夾銳角的正切值為，并且CD⊥AC，則BC的長為　　． 20．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，點G是線段DE上一點，且∠EGF=45，若AB=10，則DG=　?。? 　 三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共60分） 21．先化簡，再求代數式的值，其中m=tan60﹣2sin30． 22．圖a、圖b是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長為1，點A、B、D在小正方形的頂點上． （1）在圖a中畫出△ABC（點C在小正方形頂點上），使△ABC是等腰三角形，且∠ABC=45； （2）在圖b中畫出△DEF（E、F在小正方形頂點上），使△DEF∽ABC且相似比為1：． 23．南崗區(qū)某中學的王老師統(tǒng)計了本校九年一班學生參加體育達標測試的報名情況，并把統(tǒng)計的數據繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據圖中提供的數據回答下列問題： （1）該學校九年一班參加體育達標測試的學生有多少人？ （2）補全條形統(tǒng)計圖的空缺部分； （3）若該年級有1200名學生，估計該年級參加仰臥起坐達標測試的有多少人？ 24．在△ABC中，點D在AB邊上，AD=CD，DE⊥AC于點E，CF∥AB，交DE的延長線于點F． （1）如圖1，求證：四邊形ADCF是菱形； （2）如圖2，當∠ACB=90，∠B=30時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中與線段AC相等的線段（線段AC除外）． 25．榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒，已知購買一個臺燈比購買一個手電筒多用20元，若用400元購買臺燈和用160元購買手電筒，則購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半． （1）求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元？ （2）經商談，商店給予榮慶公司購買一個該品牌臺燈贈送一個該品牌手電筒的優(yōu)惠，如果榮慶公司需要手電筒的個數是臺燈個數的2倍還多8個，且該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元，那么榮慶公司最多可購買多少個該品牌臺燈？ 26．已知，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點M、N分別在線段OC、CD上，AM的延長線與射線ON相交于點E，與弦CD相交于點F． （1）如圖1，若DN=OM，求證：AM=ON； （2）如圖2，點P是弦CD上一點，若AP=OP，∠APO=90，求∠COP的度數； （3）在（1）的條件下，若AB=20，cos∠AOC=，當點E在ON的延長線上，且NE=NF時，求線段EF的長． 27．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=mx2﹣6mx+5m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C， =． （1）求m的值； （2）如圖2，連接BC，點P為點B右側的拋物線上一點，連接PA并延長交y軸于點D，過點P作PF⊥x軸于F，交線段CB的延長線于點E，連接DE，求證：DE∥AB； （3）在（2）的條件下，點G在線段PE上，連接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE時，求點P的坐標． 　  2016-2017學年黑龍江省哈爾濱六十九中九年級（上）期中數學試卷（五四學制） 參考答案與試題解析 　 一．選擇題 1．﹣的相反數是（　?。? A． B．﹣ C．﹣2 D．2 【考點】相反數． 【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得一個數的相反數． 【解答】解：﹣的相反數是， 故選：A． 【點評】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數． 　 2．下列計算正確的是（　　） A．a2?a3=a5 B．a+a=a2 C．（a2）3=a5 D．a2（a+1）=a3+1 【考點】單項式乘多項式；合并同類項；同底數冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據同底數冪的乘法法則：底數不變，指數相加，以及合并同類項：只把系數相加，字母及其指數完全不變，冪的乘方法則：底數不變，指數相乘，單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加分別求出即可． 【解答】解：A．a2?a3=a5，故此選項正確； B．a+a=2a，故此選項錯誤； C．（a2）3=a6，故此選項錯誤； D．a2（a+1）=a3+a2，故此選項錯誤； 故選：A． 【點評】此題主要考查了整式的混合運算，根據題意正確的掌握運算法則是解決問題的關鍵． 　 3．在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念分別分析求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤； B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤； C、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確； D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤． 故選：C． 【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合． 　 4．反比例函數y=的圖象經過點（﹣2，5），則k的值為（　　） A．10 B．﹣10 C．4 D．﹣4 【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征． 【分析】將點（﹣2，5）代入解析式可求出k的值． 【解答】解：∵反比例函數y=的圖象經過點（﹣2，5）， ∴2﹣3k=﹣25=﹣10， ∴﹣3k=﹣12， ∴k=4， 故選C． 【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k． 　 5．某藥品原價每盒25元，兩次降價后，每盒降為16元，則平均每次降價的百分率是（　　） A．10% B．20% C．25% D．40% 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據降價后的價格=降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是25（1﹣x），第二次后的價格是25（1﹣x）2，據此即可列方程求解． 【解答】解：設該藥品平均每次降價的百分率為x， 由題意可知經過連續(xù)兩次降價，現在售價每盒16元， 故25（1﹣x）2=16， 解得x=0.2或1.8（不合題意，舍去）， 故該藥品平均每次降價的百分率為20%． 故選：B． 【點評】本題考查數量平均變化率問題．原來的數量（價格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經過第一次調整，就調整到a（1x），再經過第二次調整就是a（1x）（1x）=a（1x）2．增長用“+”，下降用“﹣”． 　 6．已知拋物線的解析式為為y=（x﹣2）2+1，則當x≥2時，y隨x增大的變化規(guī)律是（　?。? A．增大 B．減小 C．先增大再減小 D．先減小再增大 【考點】二次函數的性質． 【分析】首先確定其對稱軸，然后根據其開口方向和對稱軸確定其增減性． 【解答】解：∵拋物線y=（x﹣2）2+1的對稱軸為x=2，且開口向上， ∴當x≥2時，y隨x增大而增大， 故選A． 【點評】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是首先確定拋物線的對稱軸，然后確定其增減性． 　 7．如圖，為了測量河兩岸A、B兩點的距離，在與AB垂直的方向點C處測得AC=a，∠ACB=α，那么AB等于（　　） A．a?sinα B．a?tanα C．a?cosα D． 【考點】解直角三角形的應用-方向角問題． 【分析】根據題意，可得Rt△ABC，同時可知AC與∠ACB．根據三角函數的定義解答． 【解答】解：根據題意，在Rt△ABC，有AC=a，∠ACB=α，且tanα=， 則AB=ACtanα=a?tanα， 故選B． 【點評】本題考查了解直角三角形的應用，要熟練掌握三角函數的定義． 　 8．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點M為BC的中點，MN⊥AC于點N，則MN等于（　?。? A． B． C． D． 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質． 【分析】連接AM，根據等腰三角形三線合一的性質得到AM⊥BC，根據勾股定理求得AM的長，再根據在直角三角形的面積公式即可求得MN的長． 【解答】解：連接AM， ∵AB=AC，點M為BC中點， ∴AM⊥CM（三線合一），BM=CM， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=CM=3， 在Rt△ABM中，AB=5，BM=3， ∴根據勾股定理得：AM===4， 又S△AMC=MN?AC=AM?MC， ∴MN==． 故選：C． 【點評】綜合運用等腰三角形的三線合一，勾股定理．特別注意結論：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊． 　 9．如圖所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，則下列比例式正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】用平行線分線段成比例定理以及比例的性質進行變形即可得到答案． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四邊形DEFB是平行四邊形， ∴DE=BF，BD=EF； ∵DE∥BC， ∴==， ==， ∵EF∥AB， ∴=， =， ∴， 故選C． 【點評】此題主要考查平行線分線段成比例定理的理解及運用．找準對應關系，避免錯選其他答案． 　 10．如圖，在四邊形ABCD中，動點P從點A開始沿ABCD的路徑勻速前進到D為止．在這個過程中，△APD的面積S隨時間t的變化關系用圖象表示正確的是（　　） A． B． C． D． 【考點】動點問題的函數圖象． 【專題】壓軸題；動點型． 【分析】根據實際情況來判斷函數圖象． 【解答】解：當點p由點A運動到點B時，△APD的面積是由小到大； 然后點P由點B運動到點C時，△APD的面積是不變的； 再由點C運動到點D時，△APD的面積又由大到??； 再觀察圖形的BC＜AB＜CD，故△APD的面積是由小到大的時間應小于△APD的面積又由大到小的時間． 故選B． 【點評】應理解函數圖象的橫軸和縱軸表示的量． 　 二．填空題 11．將38000用科學記數法表示為　3.8104　． 【考點】科學記數法—表示較大的數． 【分析】科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數． 【解答】解：38000=3.8104， 故答案為：3.8104． 【點評】此題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值． 　 12．函數y=中自變量x的取值范圍是　x≠﹣　． 【考點】函數自變量的取值范圍． 【分析】根據分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由題意得，3x+1≠0， 解得x≠﹣． 故答案為：x≠﹣． 【點評】本題考查了函數自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數表達式是整式時，自變量可取全體實數；（2）當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數表達式是二次根式時，被開方數非負． 　 13．計算：﹣=　?。? 【考點】二次根式的加減法． 【專題】計算題． 【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式=3﹣=2． 故答案為：2． 【點評】此題考查了二次根式的加減運算，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并，難度一般． 　 14．把多項式xy2﹣4x分解因式的結果為　x（y+2）（y﹣2）?。? 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【專題】計算題；因式分解． 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2）， 故答案為：x（y+2）（y﹣2） 【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵． 　 15．不等式組的整數解是　2　． 【考點】一元一次不等式組的整數解． 【分析】解一元一次不等式組得出x的取值范圍，再去其內的整數，即可得出結論． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞1； 解不等式②得：x＜3． ∴不等式組的解為1＜x＜3， ∴不等式組的整數解是2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了一元一次不等式組的整數解，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關鍵． 　 16．方程=的解為　x=5?。? 【考點】解分式方程． 【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得3（x﹣1）=2（x+1）， 去括號得：3x﹣3=2x+2， 解得：x=5， 檢驗：當x=5時，（x+1）（x﹣1）≠0， 則原方程的解為x=5． 故答案為x=5． 【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 　 17．如圖，在?ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，則=　?。? 【考點】相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質． 【分析】由DE、EC的比例關系式，可求出EC、DC的比例關系；由于平行四邊形的對邊相等，即可得出EC、AB的比例關系，易證得△EFC∽△BFA，可根據相似三角形的對應邊成比例求出BF、EF的比例關系． 【解答】解：∵DE：EC=1：2， ∴EC：DC=2：3，； ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴△ABF∽△CEF， ∴BF：EF=AB：EC， ∵AB：EC=CD：EC=3：2， ∴BF：FE=3：2， 故答案為：． 【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵． 　 18．如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為4，則弦AB的長為　4?。? 【考點】垂徑定理；線段垂直平分線的性質；勾股定理． 【分析】連接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的長，再利用垂徑定理得到D為AB的中點，在直角三角形AOD中，利用垂徑定理求出AD的長，即可確定出AB的長． 【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2， ∵OC⊥AB， ∴D為AB的中點， 則AB=2AD=2=2=4． 故答案為：4． 【點評】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解本題的關鍵． 　 19．在△ABC中，AC=6，點D為直線AB上一點，且AB=3BD，直線CD與直線BC所夾銳角的正切值為，并且CD⊥AC，則BC的長為　或15　． 【考點】解直角三角形． 【分析】如圖1中，當點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E，先求出BE，EC，在RT△BCE中利用勾股定理即可解決，如圖2中，當點D在線段AB上時，作BE⊥CD于E，方法類似第一種情形． 【解答】解：如圖1中，當點D在AB的延長線上時，作BE⊥CD垂足為E， ∵AC⊥CD， ∴AC∥BE， ∴==， ∵AC=6， ∴BE=， ∵tan∠BCE=， ∴EC=2BE=3， ∴BC===． 如圖2中，當點D在線段AB上時， 作BE⊥CD于E， ∵AC∥BE，AC=6， ∴==， ∴BE=3， ∵tan∠BCE=， ∴EC=2BE=6， ∴BC==15． 故答案為：或15． 【點評】本題考查解直角三角形、平行線的性質、銳角三角函數、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線，利用平行線的性質解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 20．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，點G是線段DE上一點，且∠EGF=45，若AB=10，則DG=　?。? 【考點】正方形的性質． 【分析】如圖，連接EF、DF，作FM⊥DE于M．先求出△DEF的面積，再求出高FM，利用勾股定理求出EM、DM，利用等腰三角形的性質求出DG即可解決問題． 【解答】解：如圖，連接EF、DF，作FM⊥DE于M． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=10， ∵AE=EB=BF=FC=5， ∴ED==5，EF==5， ∴S△DEF=100﹣105﹣105﹣55=DE?FM， ∴FM=3， 在Rt△EFM中，EM==， ∴DM=DE﹣EM=4， ∵∠MGF=45， ∴∠MGF=∠MFG=45， ∴MG=FM=3， ∴DG=DM﹣MG=． 故答案為． 【點評】本題考查正方形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用分割法求三角形面積，學會添加常用輔助線，構造直角三角形，屬于中考?？碱}型． 　 三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分，25～27題各10分，共60分） 21．先化簡，再求代數式的值，其中m=tan60﹣2sin30． 【考點】分式的化簡求值；特殊角的三角函數值． 【分析】根據特殊角的三角函數值求出m的值，再把要求的代數式進行化簡，然后代值計算即可． 【解答】解：∵m=tan60﹣2sin30=﹣2=﹣1， ∴====． 【點評】此題考查了分式的化簡求值，用到的知識點是特殊角的三角函數值、完全平方公式和平方差公式，關鍵是把要求的代數式化到最簡，再代值計算． 　 22．圖a、圖b是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中每個小正方形的邊長為1，點A、B、D在小正方形的頂點上． （1）在圖a中畫出△ABC（點C在小正方形頂點上），使△ABC是等腰三角形，且∠ABC=45； （2）在圖b中畫出△DEF（E、F在小正方形頂點上），使△DEF∽ABC且相似比為1：． 【考點】作圖—相似變換；等腰三角形的判定；勾股定理． 【分析】（1）根據題意畫出等腰三角形；（2）根據圖a，按比例畫出圖b． 【解答】（1）解：如圖a （2）如圖b． 【點評】本題考查了等腰三角形的判定、勾股定理、作圖相似變換，要充分利用網格． 　 23．南崗區(qū)某中學的王老師統(tǒng)計了本校九年一班學生參加體育達標測試的報名情況，并把統(tǒng)計的數據繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據圖中提供的數據回答下列問題： （1）該學校九年一班參加體育達標測試的學生有多少人？ （2）補全條形統(tǒng)計圖的空缺部分； （3）若該年級有1200名學生，估計該年級參加仰臥起坐達標測試的有多少人？ 【考點】扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖． 【專題】圖表型． 【分析】（1）用參加坐位體前擺的人數與仰臥起坐的人數的人數除以其所占的百分比即可得到測試人數； （2）用總人數減去其他各項人數即可得到參加立定跳遠的人數，補全統(tǒng)計圖即可； （3）用總人數乘以其所占的比即可得到參加仰臥起坐的人數． 【解答】解：（1）由圖可知，坐位體前擺的人數與仰臥起坐的人數是25+20=45人， 這些人占班級參加測試總人數的百分數為（1﹣10%）=90%， 所以這個班參加測試的學生有 4590%=50人， 答：該學校九年級一班參加體育達標測試的學生有50人． （2）立定跳遠的人數為50﹣25﹣20=5人， （3）用樣本估計總體，全校參加仰臥起坐達標測試的人數有1200（2050）=480人， 答：估計參加仰臥起坐測試的有480人． 【點評】本題考查了扇形及條形統(tǒng)計圖的知識，解題的關鍵是認真的讀圖并從中整理出進一步解題的信息． 　 24．在△ABC中，點D在AB邊上，AD=CD，DE⊥AC于點E，CF∥AB，交DE的延長線于點F． （1）如圖1，求證：四邊形ADCF是菱形； （2）如圖2，當∠ACB=90，∠B=30時，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中與線段AC相等的線段（線段AC除外）． 【考點】菱形的判定與性質． 【專題】證明題． 【分析】（1）如圖1，利用等腰三角形的性質得∠DCA=∠ADC，CE=AE，再利用CF∥AB得到∠ECF=∠EAD，則∠DCA=∠ECF，于是根據等腰三角形的判定方法可得CD=CF，所以四邊形ADCF為平行四邊形， 加上DA=DC可判斷四邊形ADCF是菱形； （2）如圖2，先證明△ADC為等邊三角形得到AC=AD=CD，∠ACD=60，再利用菱形的性質可得AC=AD=DC=CF=AF，然后證明BD=CD即可． 【解答】解：（1）證明：如圖1， ∵AD=CD，DE⊥AC， ∴∠DCA=∠ADC，CE=AE， ∵CF∥AB， ∴∠ECF=∠EAD， ∴∠DCA=∠ECF， 即CE平分∠DCF， 而CE⊥DF， ∴CD=CF， ∴AD∥CF， ∴四邊形ADCF為平行四邊形， 而DA=DC， ∴四邊形ADCF是菱形； （2）如圖2，∵∠ACB=90，∠B=30， ∴∠BAC=60， 而DA=DC， ∴△ADC為等邊三角形， ∴AC=AD=CD，∠ACD=60， ∵四邊形ADCF為菱形， ∴AC=AD=DC=CF=AF， ∵∠B=∠DCB=30， ∴BD=CD， ∴AC=AD=DC=CF=AF=BD． 【點評】本題考查了菱形的判定與性質：菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形）．；菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法． 　 25．（10分）（2014?哈爾濱）榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒，已知購買一個臺燈比購買一個手電筒多用20元，若用400元購買臺燈和用160元購買手電筒，則購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半． （1）求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元？ （2）經商談，商店給予榮慶公司購買一個該品牌臺燈贈送一個該品牌手電筒的優(yōu)惠，如果榮慶公司需要手電筒的個數是臺燈個數的2倍還多8個，且該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元，那么榮慶公司最多可購買多少個該品牌臺燈？ 【考點】分式方程的應用；一元一次不等式的應用． 【專題】應用題． 【分析】（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元．則根據等量關系：購買臺燈的個數是購買手電筒個數的一半，列出方程； （2）設公司購買臺燈的個數為a，則還需要購買手電筒的個數是（2a+8）個，則根據“該公司購買臺燈和手電筒的總費用不超過670元”列出不等式． 【解答】解：（1）設購買該品牌一個手電筒需要x元，則購買一個臺燈需要（x+20）元． 根據題意 得= 解得 x=5 經檢驗，x=5是原方程的解． 所以 x+20=25． 答：購買一個臺燈需要25元，購買一個手電筒需要5元； （2）設公司購買臺燈的個數為a，則還需要購買手電筒的個數是（2a+8﹣a） 由題意得 25a+5（2a+8﹣a）≤670 解得 a≤21 ∴榮慶公司最多可購買21個該品牌的臺燈． 【點評】本題考查了一元一次不等式和分式方程的應用．解決問題的關鍵是讀懂題意，找到關鍵描述語，進而找到所求的量的等量（不等量）關系． 　 26． 已知，AB是半圓O的直徑，弦CD∥AB，動點M、N分別在線段OC、CD上，AM的延長線與射線ON相交于點E，與弦CD相交于點F． （1）如圖1，若DN=OM，求證：AM=ON； （2）如圖2，點P是弦CD上一點，若AP=OP，∠APO=90，求∠COP的度數； （3）在（1）的條件下，若AB=20，cos∠AOC=，當點E在ON的延長線上，且NE=NF時，求線段EF的長． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）先判斷出∠BOD=∠NDO，進而得出∠AOC=∠CDO，即可得出△AMO≌△OND，結論得證； （2）構造出直角三角形，先判斷出PH=OA，即可得出CG=OC，進而求出∠AOC=30，最后用角的差，即可得出結論． （3）先求出CD=2CG=16，再判斷出△AOE≌△COD，進而判斷出四邊形AODF是平行四邊形，最后用線段的差即可得出結論； 【解答】解：（1）如圖1， 連接OD， ∴OA=OD， ∵CD∥AB， ∴∠BOD=∠NDO，， ∴∠AOC=∠BCD， ∴∠AOC=∠CDO， 在△AMO和△OND中，， ∴△AMO≌△OND， ∴AM=ON， （2）如圖2， 過點C作CG⊥AB，PH⊥AB， ∴CG=PH， ∵AP=OP，∠APO=90， ∴∠AOP=45，PH=OA， ∴CG=OA=OC， ∴∠AOC=30， ∴∠COP=∠AOP﹣∠AOC=15． （3）如圖3， 作OG⊥CD于G，連接OD， ∵AB=20， ∴OC=10 CG=OC?cos∠C=OC?cos∠AOC=10=8 ∴CD=2CG=16 ∵NE=NF， ∴∠E=∠EFN ∵CD∥AB， ∴∠EFN=∠A ∴∠E=∠A， ∴OE=OA ∵CD∥AB， ∴∠BOD=∠D=∠C=∠AOC ∴∠AOE=∠COD ∴△AOE≌△COD， ∴AE=CD=16 ∵△AOM≌△ODN， ∴∠NOD=∠A=∠E ∴AE∥OD， ∴四邊形AODF是平行四邊形 ∴AF=OD=10 ∴EF=AE﹣AF=16﹣10=6， 【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了圓的性質，平行線的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，得出△AOE≌△COD是解本題的關鍵． 　 27．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=mx2﹣6mx+5m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C， =． （1）求m的值； （2）如圖2，連接BC，點P為點B右側的拋物線上一點，連接PA并延長交y軸于點D，過點P作PF⊥x軸于F，交線段CB的延長線于點E，連接DE，求證：DE∥AB； （3）在（2）的條件下，點G在線段PE上，連接DG，若EG=2PG，∠DPE=2∠GDE時，求點P的坐標． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）先求出A、B兩點坐標，再根據條件求出點C坐標，即可解決問題． （2）如圖1中，設P（t，t2﹣6t+5），想辦法求出D、E兩點坐標（用t表示），只要縱坐標相同即可證明． （3）如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t．，設DM=MG=a，在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[（t2﹣5t）]2，求出a，再根據tan∠DPE=tan∠GME，得=，列出方程即可解決問題． 【解答】解：（1）對于拋物線y=mx2﹣6mx+5m， 令y=0，得mx2﹣6mx+5m=0，解得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=4， ∵=， ∴OC=5， ∴5m=5， ∴m=1． （2）如圖2中，設P（t，t2﹣6t+5）． ∵OC=OB=5，∠AOB=90， ∴∠OCB=∠OBC=∠EBF=45， ∵PE⊥AB于F， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BF=EF=t﹣5， ∴點E坐標（t，5﹣t）， ∵A（1，0），P（t，t2﹣6t+5）， 設直線AP的解析式為y=kx+b，則有， 解得， ∴D（0，5﹣t）， ∴D、E兩點縱坐標相同， ∴DE∥AB． （3）如圖3中，在DE上截取一點M，使得DM=MG．設P（t，t2﹣6t+5）．則PE=t2﹣5t． ∵EG=2PG， ∴GE=（t2﹣5t）， ∵MD=MG，設DM=MG=a， ∴∠MDG=∠MGD， ∴∠GME=2∠MDG， ∵∠DPE=2∠GDE， ∴∠DPE=∠GME， ∴tan∠DPE=tan∠GME， ∴=， 在Rt△MGE中，a2=（t﹣a）2+[（t2﹣5t）]2， ∴a=t3﹣t2+t， ∴EM=t﹣a=﹣t3+t2﹣t， ∴=， 整理得到16t2﹣160t+391=0， 解得t=或（舍棄）， ∴點P坐標（，）． 【點評】本題考查二次函數綜合題、一次函數、等腰直角三角形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數，構建方程解決問題，計算比較復雜，屬于中考壓軸題．