九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版3 (4)

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2015-2016學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（　?。? A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1 2．二次函數(shù)y=x2﹣2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。? A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 3．將△ABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1（A、B分別對應(yīng)A1、B1），則直線AB與直線A1B1的夾角（銳角）為（　?。? A．130 B．50 C．40 D．60 4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列變形正確的是（　?。? A．（x+3）2=﹣4 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2= 5．下列方程中沒有實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0 C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2+x+2=0 6．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。? A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 7．如圖，⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（　?。? A． cm B．8cm C．6cm D．4cm 8．已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是（　?。? A．a(chǎn)確定拋物線的形狀與開口方向 B．若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變 C．若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變 D．若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變 9．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC+BD=16，則四邊形ABCD的面積最大值是（　?。? A．64 B．16 C．24 D．32 10．已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列說法： ①b2﹣4ac＜0； ②ab+ac＜0； ③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0； ④二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個不同交點(diǎn)， 其中正確的個數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣x2﹣x﹣1的對稱軸是_________． 12．已知x=（b2﹣4c＞0），則x2+bx+c的值為_________． 13．⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．則AB和CD之間的距離_________． 14．如圖，線段AB的長為1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC?AB，AD2=CD?AC，AE2=DE?AD，則AE的長為_________． 15．拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是_________． 16．如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，將三角板的30角的頂點(diǎn)與A重合，三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點(diǎn)，則DE長度的取值范圍是_________． 　 三、解答題（共8小題，共72分） 17．解方程：x2+x﹣2=0． 18．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，﹣1），與y軸的交點(diǎn)是（0，﹣4），求這個二次函數(shù)的解析式． 19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實(shí)數(shù)根 （1）求x1+x2，x1x2的值； （2）求2x12+6x2﹣2015的值． 20．如圖所示，△ABC與點(diǎn)O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示 （1）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的圖形； （2）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)180后的圖形； （2）若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為_________． 21．如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，垂足為E，點(diǎn)D在CA的延長線上，若∠DAB+ ∠AOB=60 （1）求∠AOB的度數(shù)； （2）若AE=1，求BC的長． 22．飛機(jī)著陸后滑行的距離S（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是：S=60t﹣1.5t2 （1）直接指出飛機(jī)著陸時的速度； （2）直接指出t的取值范圍； （3）畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機(jī)著陸后滑行多遠(yuǎn)才能停下來？ 23．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運(yùn)動，與此同時，點(diǎn)E從線段BC的某個端點(diǎn)出發(fā)，以b cm/s速度在線段BC上運(yùn)動，當(dāng)D到達(dá)A點(diǎn)后，D、E運(yùn)動停止，運(yùn)動時間為t（秒） （1）如圖1，若a=b=1，點(diǎn)E從C出發(fā)沿C→B方向運(yùn)動，連AE、CD，AE、CD交于F，連BF．當(dāng)0＜t＜6時： ①求∠AFC的度數(shù)； ②求的值； （2）如圖2，若a=1，b=2，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C方向運(yùn)動，E點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后再沿C→B方向運(yùn)動．當(dāng)t≥3時，連DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M、B在DE兩側(cè)，求M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長． 24．定義：我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡（滿足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形）叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． （1）已知拋物線的焦點(diǎn)F（0，），準(zhǔn)線l：，求拋物線的解析式； （2）已知拋物線的解析式為：y=x2﹣n2，點(diǎn)A（0，）（n≠0），B（1，2﹣n2），P為拋物線上一點(diǎn)，求PA+PB的最小值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)； （3）若（2）中拋物線的頂點(diǎn)為C，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別是D、E，過C、D、E三點(diǎn)作⊙M，⊙M上是否存在定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個；若不存在，請說明理由． 　  2015-2016學(xué)年湖北省武漢市武昌區(qū)七校聯(lián)考九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（　　） A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1 【考點(diǎn)】一元二次方程的一般形式． 【分析】根據(jù)方程的一般形式和二次項(xiàng)系數(shù)以及一次項(xiàng)系數(shù)的定義即可直接得出答案． 【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1=0， ∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣4； 故選B． 【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)． 　 2．二次函數(shù)y=x2﹣2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。? A．（1，1） B．（2，2） C．（1，2） D．（1，3） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得答案． 【解答】解：y=x2﹣2x+2的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是﹣=1，縱坐標(biāo)是=1， y=x2﹣2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，1）． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）． 　 3．將△ABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1（A、B分別對應(yīng)A1、B1），則直線AB與直線A1B1的夾角（銳角）為（　?。? A．130 B．50 C．40 D．60 【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1，那么根據(jù)SSS證明長△OAB≌△OA1B1，得到∠OAB=∠OA1B1，由等角的補(bǔ)角相等得出∠OAM=∠OA1M．設(shè)A1M與OA交于點(diǎn)D，在△OA1D與△MAD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠M=∠A1OD=50． 【解答】解：如圖，△ABC繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)50得△A1B1C1（A、B分別對應(yīng)A1、B1），則∠A1OA=50，OA=OA1，OB=OB1，AB=A1B1． 設(shè)直線AB與直線A1B1交于點(diǎn)M． 由SSS易得△OAB≌△OA1B1， ∴∠OAB=∠OA1B1， ∴∠OAM=∠OA1M， 設(shè)A1M與OA交于點(diǎn)D， 在△OA1D與△MAD中， ∵∠DAM=∠DA1O，∠ODA1=∠MDA， ∴∠M=∠A1OD=50． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，補(bǔ)角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．證明出∠OAM=∠OA1M是解題的關(guān)鍵． 　 4．用配方法解方程x2+6x+4=0，下列變形正確的是（　?。? A．（x+3）2=﹣4 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=5 D．（x+3）2= 【考點(diǎn)】解一元二次方程-配方法． 【分析】把常數(shù)項(xiàng)4移到等號的右邊，再在等式的兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)6的一半的平方，配成完全平方的形式，從而得出答案． 【解答】解：∵x2+6x+4=0， ∴x2+6x=﹣4， ∴x2+6x+9=5，即（x+3）2=5． 故選：C． 【點(diǎn)評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)． 　 5．下列方程中沒有實(shí)數(shù)根的是（　?。? A．x2﹣x﹣1=0 B．x2+3x+2=0 C．2015x2+11x﹣20=0 D．x2+x+2=0 【考點(diǎn)】根的判別式． 【分析】分別求出各個選項(xiàng)中一元二次方程根的判別式，進(jìn)而作出判斷． 【解答】解：A、x2﹣x﹣1=0，△=（﹣1）2﹣4（﹣1）=9＞0，方程有兩個不相等的根，此選項(xiàng)錯誤； B、x2+3x+2=0，△=32﹣42=1＞0，方程有兩個不相等的根，此選項(xiàng)錯誤； C、2015x2+11x﹣20=0，△=112﹣42015（﹣20）＞0，方程有兩個不相等的根，此選項(xiàng)錯誤； D、x2+x+2=0，△=12﹣42=﹣7＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，此選項(xiàng)正確； 故選D． 【點(diǎn)評】本題主要考查了根的判別式的知識，利用一元二次方程根的判別式（△=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系： ①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根； ②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根； ③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根． 　 6．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　　） A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3） 【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)解答． 【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，﹣3）． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟記特征是解題的關(guān)鍵． 　 7．如圖，⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（　?。? A． cm B．8cm C．6cm D．4cm 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理． 【分析】由于⊙O的直徑CD=10cm，則⊙O的半徑為5cm，又已知OM：OC=3：5，則可以求出OM=3，OC=5，連接OA，根據(jù)勾股定理和垂徑定理可求得AB． 【解答】解：如圖所示，連接OA． ⊙O的直徑CD=10cm， 則⊙O的半徑為5cm， 即OA=OC=5， 又∵OM：OC=3：5， 所以O(shè)M=3， ∵AB⊥CD，垂足為M， ∴AM=BM， 在Rt△AOM中，AM==4， ∴AB=2AM=24=8． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，解決與弦有關(guān)的問題時，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（）2成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個． 　 8．已知拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，則下列說法中錯誤的是（　　） A．a(chǎn)確定拋物線的形狀與開口方向 B．若將拋物線C沿y軸平移，則a，b的值不變 C．若將拋物線C沿x軸平移，則a的值不變 D．若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a、b、c的值全變 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可． 【解答】解：∵平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大?。? ∴拋物線C的解析式為y=ax2+bx+c，a確定拋物線的形狀與開口方向； 若將拋物線C沿y軸平移，頂點(diǎn)發(fā)生了變化，對稱軸沒有變化，a的值不變，則﹣不變，所以b的值不變； 若將拋物線C沿直線l：y=x+2平移，則a的值不變， 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查平移的基本性質(zhì)：①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等． 　 9．如圖，四邊形ABCD的兩條對角線互相垂直，AC+BD=16，則四邊形ABCD的面積最大值是（　?。? A．64 B．16 C．24 D．32 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值． 【分析】直接利用對角線互相垂直的四邊形面積求法得出S=AC?BD，再利用配方法求出二次函數(shù)最值． 【解答】解：設(shè)AC=x，四邊形ABCD面積為S，則BD=16﹣x， 則：S=AC?BD=x（16﹣x）=﹣（x﹣8）2+32， 當(dāng)x=8時，S最大=32； 所以AC=BD=8時，四邊形ABCD的面積最大， 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)最值以及四邊形面積求法，正確掌握對角線互相垂直的四邊形面積求法是解題關(guān)鍵． 　 10．已知二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0），且a2+ab+ac＜0，下列說法： ①b2﹣4ac＜0； ②ab+ac＜0； ③方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且（x1﹣1）（1﹣x2）＞0； ④二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個不同交點(diǎn)， 其中正確的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)題意把a(bǔ)的符號分成兩種情況，再由a2+ab+ac＜0判斷出a+b+c的符號，即可得出當(dāng)x=1時，y的符號，從而得出b+c的符號，再得出方程ax2+bx+c=0有一個根大于1，一個根小于1，即可得出（x1﹣1）（x2﹣1）＜0；b2﹣4ac＞0；拋物線和坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)． 【解答】解：當(dāng)a＞0時， ∵a2+ab+ac＜0， ∴a+b+c＜0， ∴b+c＜0， 如圖1， ∴b2﹣4ac＞0，故①錯誤； a（b+c）＜0，故②正確； ∴方程ax2+bx+c=0有兩個不同根x1、x2，且x1＜1，x2＞1， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0， 即（x1﹣1）（1﹣x2）＞0，故③正確； ∴二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有三個不同交點(diǎn)，故④正確； 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．拋物線y=﹣x2﹣x﹣1的對稱軸是　直線x=﹣?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線對稱軸公式進(jìn)行計算即可得解． 【解答】解：對稱軸為直線x=﹣=﹣=﹣， 即直線x=﹣ 故答案為：直線x=﹣． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了對稱軸公式，比較簡單． 　 12．已知x=（b2﹣4c＞0），則x2+bx+c的值為　0　． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-公式法． 【分析】把x的值代入代數(shù)式，再進(jìn)行計算即可． 【解答】解：∵x=（b2﹣4c＞0）， ∴x2+bx+c =（）2+b+c =++c = = =0． 故答案為：0． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程，實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，求代數(shù)式的值的應(yīng)用，能根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵． 　 13．⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm．則AB和CD之間的距離　7cn或17cm?。? 【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理． 【專題】分類討論． 【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OF⊥CD，再利用垂徑定理得到AE=AB=12，CF=CD=5，接著根據(jù)勾股定理，在Rt△OAE中計算出OE=5，在Rt△OCF中計算出OF=12，然后分類討論：當(dāng)圓心O在AB與CD之間時，EF=OF+OE；當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時，EF=OF﹣OE． 【解答】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，連結(jié)OA、OC，如圖， ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AE=BE=AB=12，CF=DF=CD=5， 在Rt△OAE中，∵OA=13，AE=12， ∴OE==5， 在Rt△OCF中，∵OC=13，CF=5， ∴OF==12， 當(dāng)圓心O在AB與CD之間時，EF=OF+OE=12+5=17； 當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時，EF=OF﹣OE=12﹣5=7； 即AB和CD之間的距離為7cn或17cm． 故答案為7cn或17cm． 【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題． 　 14．如圖，線段AB的長為1，C在AB上，D在AC上，且AC2=BC?AB，AD2=CD?AC，AE2=DE?AD，則AE的長為　﹣2?。? 【考點(diǎn)】黃金分割． 【分析】設(shè)AC=x，則BC=AB﹣AC=2﹣x，根據(jù)AC2=BC?AB求出AC，同理可得出AD和AE，從而得出答案． 【解答】解：設(shè)AC=x，則BC=AB﹣AC=1﹣x， ∵AC2=BC?AB， ∴x2=1﹣x， 解得：x1=，x2=（不合題意，舍去）， ∴AC=， ∵AD2=CD?AC， ∴AD==， ∵AE2=DE?AD， ∴AE==﹣2； 故答案為：﹣2． 【點(diǎn)評】本題考查了黃金分割的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比． 　 15．拋物線的部分圖象如圖所示，則當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是　x＞3或x＜﹣1　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】由函數(shù)圖象可知拋物線的對稱軸為x=1，從而可得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），y＜0，找出拋物線位于x軸下方部分x的取值范圍即可． 【解答】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為x=1，拋物線與x軸一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0）， 由拋物線的對稱性可知：拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）． ∵y＜0， ∴x＞3或x＜﹣1． 故答案為：x＞3或x＜﹣1． 【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象確定出拋物線與x軸兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵． 　 16．如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，將三角板的30角的頂點(diǎn)與A重合，三角板30角的兩邊與BC交于D、E兩點(diǎn)，則DE長度的取值范圍是?。?﹣3）a≤DE≤a．?。? 【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】當(dāng)B、D重合或C、E重合時DE長度最大，解直角三角形即可求得DE的最大值；當(dāng)∠BAD=∠CAE=15時，DE長度最小，作AF⊥BC，且AF=AB，連接DF、CF，證明△ABD≌△ADF，則∠B=∠AFD，BD=DF，然后證明△ABH∽△DFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DH==a，即可求得DE的最小值． 【解答】解：當(dāng)B、D重合或C、E重合時DE長度最大，如圖1， ∵∠BAE=30，∠AEB=90， ∴DE=AB=a， 當(dāng)∠BAD=∠CAE=15時，DE長度最小，如圖2， 作AF⊥BC，且AF=AB，連接DF、CF， ∵AF⊥BC， ∴∠BAF=∠CAF=30， ∵∠BAD=∠CAE=15， ∴∠DAH=∠EAH=15， ∴∠BAD=∠DAH， 在△ADB和△ADF中， ， ∴△ABD≌△ADF， ∴∠B=∠AFD，BD=DF， ∵∠AHB=∠DHF=90， ∴△ABH∽△DFH， AB：AH=DF：DH， ∴=， ∴=， ∴DH=，其中BD+DH=a、AH=a， ∴DH==a ∴DE=（2﹣3）a， 故DE長度的取值范圍是（2﹣3）a≤DE≤a． 【點(diǎn)評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的和性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共8小題，共72分） 17．解方程：x2+x﹣2=0． 【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】方程左邊利用十字相乘法分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來求解． 【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x+2）=0， 可得x﹣1=0或x+2=0， 解得：x1=1，x2=﹣2． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的解法是解本題的關(guān)鍵． 　 18．已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，﹣1），與y軸的交點(diǎn)是（0，﹣4），求這個二次函數(shù)的解析式． 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出頂點(diǎn)形式，把（0，﹣4）代入求出a的值，即可確定出解析式． 【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣3）2﹣1， 把（0，﹣4）代入得：﹣4=9a﹣1，即a=﹣， 則拋物線解析式為y=﹣（x﹣3）2﹣1． 【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 　 19．已知x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實(shí)數(shù)根 （1）求x1+x2，x1x2的值； （2）求2x12+6x2﹣2015的值． 【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出方程的兩根之和和兩根之積即可； （2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出方程的兩根之和和兩根之積，再將代數(shù)式加以整理代入數(shù)值即可． 【解答】解：（1）∵∴x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實(shí)數(shù)根， ∴x1+x2=3，x1x2=﹣5，； （2）∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣5=0的兩實(shí)數(shù)根， ∴x12﹣3x1﹣5=0， ∴x12=3x1+5， ∴2x12+6x2﹣2015=2（3x1+5）+6x2﹣2015=6（x1+x2）﹣2015=﹣1987． 【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程解的意義，遇到此類求代數(shù)式求值問題，應(yīng)對代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使其含有兩根和、兩根積的形式，再求得其值． 　 20．如圖所示，△ABC與點(diǎn)O在1010的網(wǎng)格中的位置如圖所示 （1）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90后的圖形； （2）畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)180后的圖形； （2）若⊙M能蓋住△ABC，則⊙M的半徑最小值為　　． 【考點(diǎn)】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；三角形的外接圓與外心． 【專題】作圖題． 【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A′、B′、C′，于是可得到△A′B′C′； （2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和中心對稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)A″、B″、C″，于是可得到△A″B″C″； （3）△ABC的外接圓是能蓋住△ABC得最小圓，畫AB和AC的垂中平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M為△ABC的外接圓的圓心，然后利用勾股定理計算出MA即可． 【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′為所作； （2）如圖，△A″B″C″為所求； （3）如圖，點(diǎn)M為△ABC的外接圓的圓心，此時⊙M是能蓋住△ABC的最小的圓，⊙M的半徑為=． 故答案為． 【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了三角形的外心． 　 21．如圖，在⊙O中，半徑OA垂直于弦BC，垂足為E，點(diǎn)D在CA的延長線上，若∠DAB+ ∠AOB=60 （1）求∠AOB的度數(shù)； （2）若AE=1，求BC的長． 【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理． 【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂徑定理和三角形的外角的性質(zhì)證明∠DAB=∠AOB，求出∠AOB的度數(shù)； （2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BE=OB，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)勾股定理求出r，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到答案． 【解答】解：（1）連接OC， ∵OA⊥BC，OC=OB， ∴∠AOC=∠AOB，∠ACO=∠ABO， ∵∠DAO=∠ACO+∠AOC=∠OAB+∠DAB，∠ACO=∠OAB， ∴∠DAB=∠AOC， ∴∠DAB=∠AOB，又∠DAB+∠AOB=60， ∴∠AOB=30； （2）∵∠AOB=30， ∴BE=OB， 設(shè)⊙O的半徑為r，則BE=r，OE=r﹣1， 由勾股定理得，r2=（r）2+（r﹣1）2， 解得r=4， ∵OB=OC，∠BOC=2∠AOB=60， ∴BC=r=4． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、圓周角定理和垂徑定理的應(yīng)用，正確作出輔助線、理解垂直于弦的直徑平分這條弦、等邊對等角是解題的關(guān)鍵． 　 22．飛機(jī)著陸后滑行的距離S（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是：S=60t﹣1.5t2 （1）直接指出飛機(jī)著陸時的速度； （2）直接指出t的取值范圍； （3）畫出函數(shù)S的圖象并指出飛機(jī)著陸后滑行多遠(yuǎn)才能停下來？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）直接由函數(shù)解析式得出答案即可； （2）由于飛機(jī)著陸，不會倒著跑，所以當(dāng)S取得最大值時，t也取得最大值，求得t的取值范圍即可； （3）利用配方法求得函數(shù)的最值，也就是飛機(jī)著陸后滑行的最遠(yuǎn)距離． 【解答】解：（1）飛機(jī)著陸時的速度V=60； （2）當(dāng)S取得最大值時，飛機(jī)停下來， 則S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600， 此時t=20 因此t的取值范圍是0≤t≤20； （3）如圖， S=60t﹣1.5t2=﹣1.5（x﹣20）2+600． 飛機(jī)著陸后滑行600米才能停下來． 【點(diǎn)評】此題考查二次函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，運(yùn)用二次函數(shù)求最值問題常用公式法或配方法是解題關(guān)鍵． 　 23．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運(yùn)動，與此同時，點(diǎn)E從線段BC的某個端點(diǎn)出發(fā)，以b cm/s速度在線段BC上運(yùn)動，當(dāng)D到達(dá)A點(diǎn)后，D、E運(yùn)動停止，運(yùn)動時間為t（秒） （1）如圖1，若a=b=1，點(diǎn)E從C出發(fā)沿C→B方向運(yùn)動，連AE、CD，AE、CD交于F，連BF．當(dāng)0＜t＜6時： ①求∠AFC的度數(shù)； ②求的值； （2）如圖2，若a=1，b=2，點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C方向運(yùn)動，E點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后再沿C→B方向運(yùn)動．當(dāng)t≥3時，連DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M、B在DE兩側(cè)，求M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；特殊角的三角函數(shù)值． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）①如圖1，由題可得BD=CE=t，易證△BDC≌△CEA，則有∠BCD=∠CAE，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60，即可得到∠AFC=120；②延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過點(diǎn)B作BH⊥FG于H，如圖2，易證△FAG是等邊三角形，結(jié)合△ABC是等邊三角形可證到△AGB≌△AFC，則有GB=FC，∠AGB=∠AFC=120，從而可得∠BGF=60．設(shè)AF=x，F(xiàn)C=y，則有FG=AF=x，BG=CF=y．在Rt△BHG中運(yùn)用三角函數(shù)可得BH=y，GH=y，從而有FH=x﹣y．在Rt△BHF中根據(jù)勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2，代入所求代數(shù)式就可解決問題； （2）過點(diǎn)E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3，由題可得∠BEN=30，BD=t，CE=2t﹣6，從而有BE=12﹣2t，BN=6﹣t，進(jìn)而可得DN=EC．由△DEM是等邊三角形可得DE=EM，∠DEM=60，從而可得∠NDE=∠MEC，進(jìn)而可證到△DNE≌△ECM，則有∠DNE=∠ECM=90，故M點(diǎn)運(yùn)動的路徑為過點(diǎn)C垂直于BC的一條線段． 然后只需確定點(diǎn)M的始點(diǎn)和終點(diǎn)位置，就可解決問題． 【解答】解：（1）如圖1， 由題可得BD=CE=t． ∵△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC，∠B=∠ECA=60． 在△BDC和△CEA中， ， ∴△BDC≌△CEA， ∴∠BCD=∠CAE， ∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60， ∴∠AFC=120； ②延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，過點(diǎn)B作BH⊥FG于H，如圖2， ∵∠AFG=180﹣120=60，F(xiàn)G=FA， ∴△FAG是等邊三角形， ∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60． ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60， ∴∠GAF=∠BAC， ∴∠GAB=∠FAC． 在△AGB和△AFC中， ， ∴△AGB≌△AFC， ∴GB=FC，∠AGB=∠AFC=120， ∴∠BGF=60． 設(shè)AF=x，F(xiàn)C=y， 則有FG=AF=x，BG=CF=y． 在Rt△BHG中， BH=BG?sin∠BGH=BG?sin60=y， GH=BG?cos∠BGH=BG?cos60=y， ∴FH=FG﹣GH=x﹣y． 在Rt△BHF中，BF2=BH2+FH2 =（y）2+（x﹣y）2=x2﹣xy+y2． ∴==1； （2）過點(diǎn)E作EN⊥AB于N，連接MC，如圖3， 由題可得：∠BEN=30，BD=1t=t，CE=2（t﹣3）=2t﹣6． ∴BE=6﹣（2t﹣6）=12﹣2t，BN=BE?cosB=BE=6﹣t， ∴DN=t﹣（6﹣t）=2t﹣6， ∴DN=EC． ∵△DEM是等邊三角形， ∴DE=EM，∠DEM=60． ∵∠NDE+∠NED=90，∠NED+∠MEC=180﹣30﹣60=90， ∴∠NDE=∠MEC． 在△DNE和△ECM中， ， ∴△DNE≌△ECM， ∴∠DNE=∠ECM=90， ∴M點(diǎn)運(yùn)動的路徑為過點(diǎn)C垂直于BC的一條線段． 當(dāng)t=3時，E在點(diǎn)B，D在AB的中點(diǎn)， 此時CM=EN=CD=BC?sinB=6=3； 當(dāng)t=6時，E在點(diǎn)C，D在點(diǎn)A， 此時點(diǎn)M在點(diǎn)C． ∴當(dāng)3≤t≤6時，M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長為3． 【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、三角形外角的性質(zhì)等知識，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度；構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形（由共頂點(diǎn)的兩個等邊三角形組成）是解決第1（2）小題的關(guān)鍵，證到∠ECM=90是解決第（2）小題的關(guān)鍵． 　 24．定義：我們把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡（滿足條件的所有點(diǎn)所組成的圖形）叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線． （1）已知拋物線的焦點(diǎn)F（0，），準(zhǔn)線l：，求拋物線的解析式； （2）已知拋物線的解析式為：y=x2﹣n2，點(diǎn)A（0，）（n≠0），B（1，2﹣n2），P為拋物線上一點(diǎn)，求PA+PB的最小值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)； （3）若（2）中拋物線的頂點(diǎn)為C，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別是D、E，過C、D、E三點(diǎn)作⊙M，⊙M上是否存在定點(diǎn)N？若存在，求出N點(diǎn)坐標(biāo)并指出這樣的定點(diǎn)N有幾個；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）直接根據(jù)新定義即可求出拋物線的解析式； （2）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程，根據(jù)PA+PH最短時，P、B、A共線，據(jù)此求出PA+PB的最小值及此時P點(diǎn)坐標(biāo)； （3）設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m，在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2，進(jìn)而求出ON是定值，據(jù)此作出判斷． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線上有一點(diǎn)（x，y）， 由定義知：x2+（y﹣）2=|y+|2， 解得y=ax2； （2）如圖1，由（1）得拋物線y=x2的焦點(diǎn)為（0，），準(zhǔn)線為y=﹣， ∴y=x2﹣n2由y=x2向下平移n2個單位所得， ∴其焦點(diǎn)為A（0，﹣n2），準(zhǔn)線為y=﹣﹣n2， 由定義知P為拋物線上的點(diǎn)，則PA=PH， ∴PA+PH最短為P、B、A共線，此時P在P′處， ∵x=1， ∴y=1﹣n2＜2﹣n2， ∴點(diǎn)B在拋物線內(nèi)， ∴BI=yB﹣yI=2﹣n2﹣（﹣﹣n2）=， ∴PA+PB的最小值為，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1﹣n2）； （3）由（2）知E（|n|，0），C（0，n2）， 設(shè)OQ=m（m＞0），則CQ=QE=n2﹣m， 在Rt△OQE中，由勾股定理得|n|2+m2=（n2﹣m）2， 解得m=﹣， 則QC=+=QN， ∴ON=QN﹣m=1， 即點(diǎn)N（0，1）， 故AM過定點(diǎn)N（0，1）． 【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到求拋物線解析式、平移的知識、點(diǎn)的共線、勾股定理等知識，解答本題的關(guān)鍵是新定義，拋物線焦點(diǎn)、拋物線的準(zhǔn)線等知識，此題難度不大．