九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷（含解析） 新人教版3 (9)

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2016-2017學(xué)年湖北省宜昌九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：（本大題滿分45分，共15小題，每題3分．在下列各小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置） 1．下列標(biāo)志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 2．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 3．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 4．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　?。? A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 5．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　?。? A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 6．已知點A（a，1）與點A′（5，b）關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則實數(shù)a、b的值是（　?。? A．a(chǎn)=5，b=1 B．a(chǎn)=﹣5，b=1 C．a(chǎn)=5，b=﹣1 D．a(chǎn)=﹣5，b=﹣1 7．拋物線y=﹣2（x﹣3）2+5的頂點坐標(biāo)是（　?。? A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 8．下表是滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c的五組數(shù)據(jù)，x1是方程ax2+bx+c=0的一個解，則下列選項中正確的是（　?。? x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.4 9．已知關(guān)于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一個解是0，則m的值為（　?。? A．﹣3 B．3 C．3 D．不確定 10．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 11．若方程x2﹣3x﹣2=0的兩實根為x1、x2，則（x1+2）（x2+2）的值為（　?。? A．﹣4 B．6 C．8 D．12 12．如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列判斷中，不正確的是（　?。? A．a(chǎn)＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0 13．某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（　?。? A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315 14．已知0≤x≤，則函數(shù)y=x2+x+1（　?。? A．有最小值，但無最大值 B．有最小值，有最大值1 C．有最小值1，有最大值 D．無最小值，也無最大值 15．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 　 二、解答題：（本大題滿分75分，共9小題） 16．解方程：x（2x﹣1）=3（1﹣2x） 17．已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），且圖象過點（1，﹣3）， （1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系式； （2）寫出它的開口方向、對稱軸． 18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0． （1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根． （2）若此方程的一個根是1，求出方程的另一個根及m的值． 19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題： （1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1； （2）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A2B2C2； （3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點P． 若點P向右平移x（x取整數(shù)）個單位長度后落在△A2B2C2的內(nèi)部，請直接寫出x的值． 20．如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F． （1）求證：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，∠BAC=45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時，求BF的長． 21．如圖，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分別是OC、BC上的動點，EC+CF=8． 當(dāng)F運動到什么位置時，△AEF的面積最小，最小為多少？ 22．小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%． （1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍． （2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？ （3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價銷售量） 23．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90． （1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系； （2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0＜α＜45）． ①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； ②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長； ③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系． 24．如圖，一次函數(shù)y=﹣x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點． （1）求這個拋物線的解析式； （2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當(dāng)t取何值時，四邊形OANB的面積有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情況下，設(shè)點P為直線x=t上的一個動點，求使△APB為直角三角形的點P的坐標(biāo)． 　  2016-2017學(xué)年湖北省宜昌九中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：（本大題滿分45分，共15小題，每題3分．在下列各小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求，請把符合要求的選項前面的字母代號填寫在答卷上指定的位置） 1．下列標(biāo)志既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念判斷即可． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故正確； B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤； C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤； D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤． 故選：A． 　 2．方程x2=2x的解是（　?。? A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考點】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解，可以求出方程的兩個根． 【解答】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故選C． 　 3．三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程x2﹣6x+8=0的解，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．13 C．11或13 D．11和13 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系． 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到第三邊長，即可求出此時三角形的周長． 【解答】解：方程x2﹣6x+8=0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0， 可得x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x1=2，x2=4， 當(dāng)x=2時，三邊長為2，3，6，不能構(gòu)成三角形，舍去； 當(dāng)x=4時，三邊長分別為3，4，6，此時三角形周長為3+4+6=13． 故選B． 　 4．與y=2（x﹣1）2+3形狀相同的拋物線解析式為（　?。? A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】拋物線的形狀只是與a有關(guān)，a相等，形狀就相同． 【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2． 故選D． 　 5．將拋物線y=2x2向左平移1個單位，再向上平移3個單位得到的拋物線，其解析式是（　?。? A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3 【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換． 【分析】拋物線平移不改變a的值． 【解答】解：原拋物線的頂點為（0，0），向左平移1個單位，再向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（﹣1，3）．可設(shè)新拋物線的解析式為y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3． 故選A． 　 6．已知點A（a，1）與點A′（5，b）關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則實數(shù)a、b的值是（　?。? A．a(chǎn)=5，b=1 B．a(chǎn)=﹣5，b=1 C．a(chǎn)=5，b=﹣1 D．a(chǎn)=﹣5，b=﹣1 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)解答． 【解答】解：∵點A（a，1）與點A′（5，b）關(guān)于坐標(biāo)原點對稱， ∴a=﹣5，b=﹣1． 故選D． 　 7．拋物線y=﹣2（x﹣3）2+5的頂點坐標(biāo)是（　　） A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5） 【考點】二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)拋物線的頂點式，可直接得出拋物線的頂點坐標(biāo)． 【解答】解：∵拋物線的解析式為y=﹣2（x﹣3）2+5， ∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，5）． 故選C． 　 8．下表是滿足二次函數(shù)y=ax2+bx+c的五組數(shù)據(jù)，x1是方程ax2+bx+c=0的一個解，則下列選項中正確的是（　?。? x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72 A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0 C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.4 【考點】圖象法求一元二次方程的近似根． 【分析】在直角坐標(biāo)系中描出五點，能很直觀的發(fā)現(xiàn)答案． 【解答】解：如圖 由圖象可以看出二次函數(shù)y=ax2+bx+c在區(qū)間（2.0，2.2）上可能與x軸有交點，即2.0＜x1＜2.2． ∴故選C． 　 9．已知關(guān)于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一個解是0，則m的值為（　?。? A．﹣3 B．3 C．3 D．不確定 【考點】一元二次方程的解． 【分析】方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將x=0代入原方程即可求得m的值． 【解答】解：把x=0代入原方程得m2﹣9=0； 解得：m=3； 故選C． 　 10．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據(jù)方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根， ∴，即， 解得：k＜5且k≠1． 故選B． 　 11．若方程x2﹣3x﹣2=0的兩實根為x1、x2，則（x1+2）（x2+2）的值為（　?。? A．﹣4 B．6 C．8 D．12 【考點】根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】根據(jù)（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即兩根的和與積，代入數(shù)值計算即可． 【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的兩個實數(shù)根． ∴x1+x2=3，x1?x2=﹣2． 又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4． 將x1+x2=3、x1?x2=﹣2代入，得 （x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+23+4=8． 故選C 　 12．如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么下列判斷中，不正確的是（　?。? A．a(chǎn)＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0 【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的符號，再依據(jù)對稱軸的正負(fù)和a的符號即可判斷b的符號，然后根據(jù)與y軸的交點的縱坐標(biāo)即可判斷c的正負(fù)，由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，可得b2﹣4ac＞0． 【解答】解：由圖象的開口向上可得a開口向上，由x=﹣＞0，可得b＜0， 由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交y軸于負(fù)半軸可得c＜0， 由二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個交點，可得b2﹣4ac＞0，所以B不正確． 故選：B． 　 13．某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由560元降為315元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是（　?。? A．560（1+x）2=315 B．560（1﹣x）2=315 C．560（1﹣2x）2=315 D．560（1﹣x2）=315 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】設(shè)每次降價的百分率為x，根據(jù)降價后的價格=降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是560（1﹣x），第二次后的價格是560（1﹣x）2，據(jù)此即可列方程求解． 【解答】解：設(shè)每次降價的百分率為x，由題意得： 560（1﹣x）2=315， 故選：B． 　 14．已知0≤x≤，則函數(shù)y=x2+x+1（　?。? A．有最小值，但無最大值 B．有最小值，有最大值1 C．有最小值1，有最大值 D．無最小值，也無最大值 【考點】二次函數(shù)的最值． 【分析】先求得函數(shù)圖象的對稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和拋物線的增減性進(jìn)行解答． 【解答】解：∵y=x2+x+1=（x+）2+． ∴該函數(shù)圖象的對稱軸是x=﹣，在0≤x≤上，y隨x的增大而增大， ∴當(dāng)x=0時，y最小=1； 當(dāng)x=時，y最大=． 故選：C． 　 15．在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+1與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)a的符號分類，a＞0時，在A、B、D中判斷一次函數(shù)的圖象是否相符，a＜0時，在C中進(jìn)行判斷． 【解答】解：①當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向上，頂點在y軸的負(fù)半軸上，一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過第一、二、三象限； ②當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)y=ax2﹣a的開口向下，頂點在y軸的正半軸上，一次函數(shù)y=ax+a的圖象經(jīng)過第一、二、四象限． 故選：B． 　 二、解答題：（本大題滿分75分，共9小題） 16．解方程：x（2x﹣1）=3（1﹣2x） 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】先把方程的右邊的項移到左邊，因式分解得（2x﹣1）（x+3）=0，方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程2x﹣1=0或x+3=0，解一元一次方程即可． 【解答】解：x（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）=0， x（2x﹣1）+3（2x﹣1）=0， ∴（2x﹣1）（x+3）=0， ∴2x﹣1=0或x+3=0， ∴x1=，x2=﹣3． 　 17．已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，2），且圖象過點（1，﹣3）， （1）求這個二次函數(shù)的關(guān)系式； （2）寫出它的開口方向、對稱軸． 【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】直接設(shè)頂點式，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的解析式求得拋物線的開口方向和對稱軸方程． 【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x﹣h）2+k，把頂點和點（1，﹣3）代入解析式，得： a=﹣，所以拋物線的解析式為：； （2）由（1）的函數(shù)解析式可得：拋物線的開口向下，對稱軸x=﹣1． 　 18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0． （1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根． （2）若此方程的一個根是1，求出方程的另一個根及m的值． 【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】（1）要證明方程有兩個不相等的實數(shù)根，即證明△＞0即可．△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4，因為（m﹣2）2≥0，可以得到△＞0； （2）將x=1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0，求出m的值，進(jìn)而得出方程的解． 【解答】（1）證明：∵△=[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4， 而（m﹣2）2≥0， ∴△＞0． ∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根； （2）解：∵方程的一個根是1， ∴12﹣（m+2）+2m﹣1=0， 解得：m=2， ∴原方程為：x2﹣4x+3=0， 解得：x1=1，x2=3． 即m的值為2，方程的另一個根是3． 　 19．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求畫圖和解答下列問題： （1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1； （2）作出△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱的△A2B2C2； （3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點P． 若點P向右平移x（x取整數(shù)）個單位長度后落在△A2B2C2的內(nèi)部，請直接寫出x的值． 【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換． 【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征寫出A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可； （2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點即可； （3）利用所畫的圖形可確定x的值． 【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作； （2）如圖，△A2B2C2為所作； （3）x的值為6、7． 　 20．如圖，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC繞A點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點F． （1）求證：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，∠BAC=45，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時，求BF的長． 【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形ABC與三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到兩對邊相等，一對角相等，利用SAS得到三角形AEC與三角形ADB全等即可； （2）根據(jù)∠BAC=45，四邊形ADFC是菱形，得到∠DBA=∠BAC=45，再由AB=AD，得到三角形ABD為等腰直角三角形，求出BD的長，由BD﹣DF求出BF的長即可． 【解答】解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB=AC， ∴AE=AD，AC=AB，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠DAB， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC=45， ∴∠DBA=∠BAC=45， 由（1）得：AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45， ∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形， ∴BD2=2AB2，即BD=2， ∴AD=DF=FC=AC=AB=2， ∴BF=BD﹣DF=2﹣2． 　 21．如圖，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分別是OC、BC上的動點，EC+CF=8． 當(dāng)F運動到什么位置時，△AEF的面積最小，最小為多少？ 【考點】二次函數(shù)的最值． 【分析】此題只需設(shè)得CF的長為x，F(xiàn)在BC上運動，0≤x≤8，又EC+CF=8，則EC=8﹣x；再由面積切割法表示出△AEF的面積關(guān)于x的函數(shù)并求得最值即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8； 則AB=OC=16，BC=OA=12； 設(shè)CF=x，則EC=8﹣x； S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF =OAOC﹣OEOA﹣ABBF﹣CECF =1216﹣[16﹣（8﹣x）]12﹣16（12﹣x）﹣x（8﹣x）=x2﹣2x+48 =（x﹣2）2+46； 因此，當(dāng)x=2時，S△AEF取得最小值46． 故當(dāng)F運動到CF為2時，△AEF的面積最小，最小為46． 　 22．小明投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護(hù)眼臺燈．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%． （1）設(shè)小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍． （2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？ （3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進(jìn)價銷售量） 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤=（定價﹣進(jìn)價）銷售量，從而列出關(guān)系式； （2）首先確定二次函數(shù)的對稱軸，然后根據(jù)其增減性確定最大利潤即可； （3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圖象，求出每月的成本． 【解答】解：（1）由題意，得：w=（x﹣20）?y=（x﹣20）?（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32） （2）對于函數(shù)w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線． 又∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當(dāng)20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大， ∴當(dāng)x=32時，W=2160 答：當(dāng)銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元． （3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000 解這個方程得：x1=30，x2=40． ∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下． ∴當(dāng)30≤x≤40時，w≥2000． ∵20≤x≤32 ∴當(dāng)30≤x≤32時，w≥2000． 設(shè)每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0， ∴P隨x的增大而減?。? ∴當(dāng)x=32時，P的值最小，P最小值=3600． 答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元． 　 23．在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在Rt△PMN中，∠MPN=90． （1）如圖1，若點P與點O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系； （2）將圖1中的Rt△PMN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0＜α＜45）． ①如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中（1）中的結(jié)論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由； ②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠DOM=15時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長； ③如圖3，旋轉(zhuǎn)后，若Rt△PMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當(dāng)BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；當(dāng)BD=m?BP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關(guān)系． 【考點】四邊形綜合題． 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)解答即可； （2）①根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明△FOA≌△EOD，得到答案； ②作OG⊥AB于G，根據(jù)余弦的概念求出OF的長，根據(jù)勾股定理求值即可； ③過點P作HP⊥BD交AB于點H，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出PE與PF的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)解答結(jié)果總結(jié)規(guī)律得到當(dāng)BD=m?BP時，PE與PF的數(shù)量關(guān)系． 【解答】解：（1）PE=PF，理由： ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠BAC=∠DAC，又PM⊥AD、PN⊥AB， ∴PE=PF； （2）①成立，理由： ∵AC、BD是正方形ABCD的對角線， ∴OA=OD，∠FAO=∠EDO=45，∠AOD=90， ∴∠DOE+∠AOE=90， ∵∠MPN=90， ∴∠FOA+∠AOE=90， ∴∠FOA=∠DOE， 在△FOA和△EOD中， ， ∴△FOA≌△EOD， ∴OE=OF，即PE=PF； ②作OG⊥AB于G， ∵∠DOM=15， ∴∠AOF=15，則∠FOG=30， ∵cos∠FOG=， ∴OF==，又OE=OF， ∴EF=； ③PE=2PF， 證明：如圖3，過點P作HP⊥BD交AB于點H， 則△HPB為等腰直角三角形，∠HPD=90， ∴HP=BP， ∵BD=3BP， ∴PD=2BP， ∴PD=2 HP， 又∵∠HPF+∠HPE=90，∠DPE+∠HPE=90， ∴∠HPF=∠DPE， 又∵∠BHP=∠EDP=45， ∴△PHF∽△PDE， ∴==， 即PE=2PF， 由此規(guī)律可知，當(dāng)BD=m?BP時，PE=（m﹣1）?PF． 　 24．如圖，一次函數(shù)y=﹣x+2分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點． （1）求這個拋物線的解析式； （2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當(dāng)t取何值時，四邊形OANB的面積有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情況下，設(shè)點P為直線x=t上的一個動點，求使△APB為直角三角形的點P的坐標(biāo)． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）由一次函數(shù)可求得A、B坐標(biāo)，代入可求得拋物線解析式； （2）用t可分別表示出M、N的坐標(biāo)，則可表示出MN的長度，由于△OAB不變，故當(dāng)△ABN面積最大時，四邊形OANB的面積最大，用t可表示出△ABN的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案； （3）由（2）可求得t的值，可設(shè)出P點坐標(biāo)，從而表示出PA、PB和AB的長，再分∠PAB=90、∠PBA=90和∠APB=90三種情況利用勾股定理分別得到方程，可求得P點坐標(biāo)． 【解答】解： （1）在y=﹣x+2中，令x=0可得y=2，令y=0可求得x=4， ∴A（0，2），B（4，0）， ∵拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點， ∴，解得， ∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2； （2）由題意可知N（t，﹣t2+t+2），M（t，﹣t+2）， ∵M(jìn)、N在第一象限， ∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴當(dāng)t=2時，MN有最大值，最大值為4， ∵A（0，2），B（4，0）， ∴S四邊形OANB=S△OAB+S△NAB=OA?OB+MN（4﹣0）=24+2[﹣（t﹣2）2+4]=﹣2（t﹣2）2+12， ∴當(dāng)t=2時，四邊形OANB的面積最大，最大值為12； （3）由（2）可知t=2， ∴可設(shè)P（2，m）， ∴PA2=（2﹣0）2+（m﹣2）2=m2﹣4m+8，PB2=（2﹣4）2+（m﹣0）2=m2+4，AB2=22+42=20， ∵△PAB為直角三角形， ∴有∠PAB=90、∠PBA=90和∠APB=90三種情況， ①當(dāng)∠PAB=90時，則有PA2+AB2=PB2， ∴m2﹣4m+8+20=m2+4，解得m=6， ∴P（2，6）； ②當(dāng)∠PBA=90時，則有PB2+AB2=PA2， ∴m2+4+20=m2﹣4m+8，解得m=﹣4， ∴P（2，﹣4）； ③當(dāng)∠APB=90時，則有PA2+PB2=AB2， ∴m2﹣4m+8+m2+4=20，解得m=1+或m=1﹣， ∴P（2，1+） 或P（2，1﹣）， 綜上可知P點坐標(biāo)為（2，6）或（2，﹣4）或（2，1+）或（2，1﹣）．