九年級數(shù)學上學期期中試卷（含解析） 新人教版7 (6)

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貴州省畢節(jié)地區(qū)納雍縣拉戛中學2017屆九年級（上）期中數(shù)學試卷 一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分，在每道小題的四個選項中，只有一個選項正確，請把你認為正確的選項填在相應的答題卡上） 1．已知一元二次方程x2﹣5x+3=0的兩根為x1，x2，則x1x2=（　?。? A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 2．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊的中線，若AB=8，則CD的長是（　?。? A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知2是關于x的方程x2﹣3x+a=0的一個解，則a的值是（　?。? A．5 B．4 C．3 D．2 4．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AO=4，BO=3，則菱形的邊長AB等于（　?。? A．10 B． C．6 D．5 5．如圖．若要使平行四邊形ABCD成為菱形．則需要添加的條件是（　?。? A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 6．關于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 7．已知：，且a+c+e=8，則b+d+f等于（　?。? A．4 B．8 C．32 D．2 8．下列對正方形的描述錯誤的是（　?。? A．正方形的四個角都是直角 B．正方形的對角線互相垂直 C．鄰邊相等的矩形是正方形 D．對角線相等的平行四邊形是正方形 9．小穎將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)擲了三次，你認為三次都是正面朝上的概率是（　?。? A． B． C． D． 10．元旦節(jié)班上數(shù)學興趣小組的同學，互贈新年賀卡，每兩個同學都相互贈送一張，小明統(tǒng)計出全組共互送了90張賀年卡，那么數(shù)學興趣小組的人數(shù)是多少設數(shù)學興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為（　?。? A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=290 C．x（x﹣1）=902 D．x（x+1）=90 11．根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（　?。? x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 12．如圖，AB∥CD∥EF，AD=4，BC=DF=3，則BE的長為（　?。? A． B． C．4 D．6 13．在配紫色游戲中，轉盤被平均分成“紅”、“黃”、“藍”、“白”四部分，轉動轉盤兩次，配成紫色的概率為（　　） A． B． C． D． 14．如圖，點C是線段AB的黃金分割點，則下列各式正確的是（　?。? A． B． C． D． 15．如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點G是AE中點且∠AOG=30，則下列結論正確的個數(shù)為（　　） （1）DC=3OG；（2）OG=BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE=SABCD． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡相應題號后的橫線上） 16．（5分）將方程3x（x﹣1）=5化為ax2+bx+c=0的形式為　?。? 17．（5分）順次連接矩形各邊中點所得四邊形為　　形． 18．（5分）進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價．若設平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為972元，原價為1 200元，則可列出關于x的一元二次方程為　?。? 19．（5分）菱形的兩條對角線長分別是方程x2﹣14x+48=0的兩實根，則菱形的面積為　?。? 20．（5分）若（4m+4n）（4m+4n+5）=6，則m+n的值是　?。? 　 三、解答題（本大題共7小題，各題分值見題號后，共80分，請解答在答題卡相應題號后，應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟） 21．（8分）解下列方程： （1）（2x﹣1）2=9　　　　　　　　　　　　 （2）2x2﹣10x=3． 22．（10分）如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊，延長AB到E，使AE=AC，以AE為一邊作菱形AEFC，若菱形的面積為，求正方形邊長． 23．（12分）已知：關于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判別方程根的情況； （2）若方程有一個根為3，求m的值． 24．（10分）如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB和△DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB于點F． （1）求證：△ACB∽△DCE； （2）求證：EF⊥AB． 25．（12分）某學習小組由3名男生和1名女生組成，在一次合作學習后，開始進行成果展示． （1）如果隨機抽取1名同學單獨展示，那么女生展示的概率為　??； （2）如果隨機抽取2名同學共同展示，求同為男生的概率． 26．（14分）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷． （1）若該商品連續(xù)兩次下調相同的百分率后售價降至每件32.4元，求兩次下降的百分率； （2）經調查，若該商品每降價0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應降價多少元？ 27．（14分）如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？ 　  2016-2017學年貴州省畢節(jié)地區(qū)納雍縣拉戛中學九年級（上）期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本大題共15小題，每小題3分，共45分，在每道小題的四個選項中，只有一個選項正確，請把你認為正確的選項填在相應的答題卡上） 1．已知一元二次方程x2﹣5x+3=0的兩根為x1，x2，則x1x2=（　?。? A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根與系數(shù)的關系即可得出x1x2的值，此題得解． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+3=0的兩根為x1，x2， ∴x1x2=3． 故選C． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之積等于是解題的關鍵． 　 2．在Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊的中線，若AB=8，則CD的長是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考點】直角三角形斜邊上的中線． 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質進行計算． 【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB邊的中線， ∴CD=AB． 又∵AB=8， ∴CD=4． 故選：C． 【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　 3．已知2是關于x的方程x2﹣3x+a=0的一個解，則a的值是（　?。? A．5 B．4 C．3 D．2 【考點】一元二次方程的解． 【分析】據(jù)一元二次方程的解的定義，將x=2代入已知方程，列出關于a的一元一次方程，通過解方程即可求得a的值． 【解答】解：根據(jù)題意，得 22﹣23+a=0，即﹣2+a=0， 解得，a=2； 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 　 4．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AO=4，BO=3，則菱形的邊長AB等于（　　） A．10 B． C．6 D．5 【考點】菱形的性質． 【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直得出AC⊥BD，再利用勾股定理列式進行計算即可得解． 【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵AO=4，BO=3， ∴AB==5， 即菱形ABCD的邊長是5． 故選：D． 【點評】本題主要考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，勾股定理的應用，熟記性質是解題的關鍵． 　 5．如圖．若要使平行四邊形ABCD成為菱形．則需要添加的條件是（　?。? A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 【考點】菱形的判定；平行四邊形的性質． 【分析】菱形的判定方法有三種： ①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； ②四邊相等； ③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．∴可添加：AB=AD或AC⊥BD． 【解答】解：因為一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形， 那么可添加的條件是：AB=BC． 故選：C． 【點評】本題考查菱形的判定，答案不唯一．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 　 6．關于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（　　） A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【考點】根的判別式． 【分析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0，由此建立關于k的不等式，然后可以求出k的取值范圍． 【解答】解：由題意知k≠0，△=4+4k＞0 解得k＞﹣1且k≠0． 故選D． 【點評】總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 2、一元二次方程的二次項系數(shù)不為0． 　 7．已知：，且a+c+e=8，則b+d+f等于（　?。? A．4 B．8 C．32 D．2 【考點】比例的性質． 【分析】根據(jù)等比的性質求解． 【解答】解：∵， ∴：=， 而a+c+e=8， ∴b+d+f=2． 故選D． 【點評】本題考查了比例的性質：內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比性質；等比性質． 　 8．下列對正方形的描述錯誤的是（　　） A．正方形的四個角都是直角 B．正方形的對角線互相垂直 C．鄰邊相等的矩形是正方形 D．對角線相等的平行四邊形是正方形 【考點】正方形的性質． 【分析】由正方形的性質得出A、B正確；由正方形和矩形的判定方法得出C正確，D不正確；即可得出結論． 【解答】解：∵正方形的四個角都是直角，對角線互相垂直， ∴A、B正確； ∵鄰邊相等的矩形是正方形， ∴C正確； ∵對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是正方形， ∴D不正確； 故選：D． 【點評】本題考查了正方形的判定與性質、矩形的判定；熟練掌握正方形的判定與性質是解決問題的關鍵． 　 9．小穎將一枚質地均勻的硬幣連續(xù)擲了三次，你認為三次都是正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后根據(jù)樹狀圖求得所有等可能的結果與三次都是正面朝上的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有8種等可能的結果，三次都是正面朝上的有1種情況， ∴三次都是正面朝上的概率是：． 故選D． 【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率的知識．注意樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 10．元旦節(jié)班上數(shù)學興趣小組的同學，互贈新年賀卡，每兩個同學都相互贈送一張，小明統(tǒng)計出全組共互送了90張賀年卡，那么數(shù)學興趣小組的人數(shù)是多少設數(shù)學興趣小組人數(shù)為x人，則可列方程為（　?。? A．x（x﹣1）=90 B．x（x﹣1）=290 C．x（x﹣1）=902 D．x（x+1）=90 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】如果設數(shù)學興趣小組人數(shù)為x人，每名學生送了（x﹣1）張，共有x人，則一共送了x（x﹣1）張，再根據(jù)“共互送了90張賀年卡”，可得出方程為x（x﹣1）=90． 【解答】解：設數(shù)學興趣小組人數(shù)為x人， 每名學生送了（x﹣1）張， 共有x人， 根據(jù)“共互送了90張賀年卡”， 可得出方程為x（x﹣1）=90． 故選A． 【點評】讀清題意，找準數(shù)量關系，列出方程． 　 11．根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（　　） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c 0.06 0.02 0.03 0.09 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 【考點】估算一元二次方程的近似解． 【分析】利用x=3.24，ax2+bx+c=0.02，而x=3.25，ax2+bx+c=0.03，則可判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25． 【解答】解：∵x=3.24，ax2+bx+c=0.02， x=3.25，ax2+bx+c=0.03， ∴3.24＜x＜3.25時，ax2+bx+c=0， 即方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25． 故選C． 【點評】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根． 　 12．如圖，AB∥CD∥EF，AD=4，BC=DF=3，則BE的長為（　?。? A． B． C．4 D．6 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，求得CE的長，最后計算BE的長即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴=， 又∵AD=4，BC=DF=3， ∴=， ∴CE=， ∴BE=BC+CE=3+=． 故選：B． 【點評】本題主要考查了平行線分線段成比例定理的運用，解題時注意：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例． 　 13．在配紫色游戲中，轉盤被平均分成“紅”、“黃”、“藍”、“白”四部分，轉動轉盤兩次，配成紫色的概率為（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】此題需要兩步完成，所以采用樹狀圖法或者采用列表法都比較簡單．注意做到不重不漏． 【解答】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖得： ∵一共有16種情況，能配成紫色的有2種， ∴配成紫色的概率為：． 故選D． 【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件． 　 14．如圖，點C是線段AB的黃金分割點，則下列各式正確的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】黃金分割． 【分析】根據(jù)黃金分割的概念得到比例式，與各個選項進行比較得到答案． 【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點， ∴=， ∴B正確， A、C、D不正確， 故選：B． 【點評】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割． 　 15．如圖，在矩形ABCD中，O為AC中點，EF過O點且EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點G是AE中點且∠AOG=30，則下列結論正確的個數(shù)為（　?。? （1）DC=3OG；（2）OG=BC；（3）△OGE是等邊三角形；（4）S△AOE=SABCD． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】矩形的性質；線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定；含30度角的直角三角形． 【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OG=AG=GE=AE，再根據(jù)等邊對等角可得∠OAG=30，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠GOE=60，從而判斷出△OGE是等邊三角形，判斷出（3）正確；設AE=2a，根據(jù)等邊三角形的性質表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，從而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，從而判斷出（1）正確，（2）錯誤；再根據(jù)三角形的面積和矩形的面積列式求出判斷出（4）正確． 【解答】解：∵EF⊥AC，點G是AE中點， ∴OG=AG=GE=AE， ∵∠AOG=30， ∴∠OAG=∠AOG=30， ∠GOE=90﹣∠AOG=90﹣30=60， ∴△OGE是等邊三角形，故（3）正確； 設AE=2a，則OE=OG=a， 由勾股定理得，AO===a， ∵O為AC中點， ∴AC=2AO=2a， ∴BC=AC=2a=a， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB==3a， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴CD=AB=3a， ∴DC=3OG，故（1）正確； ∵OG=a， BC=a， ∴BC≠BC，故（2）錯誤； ∵S△AOE=a?a=a2， SABCD=3a?a=3a2， ∴S△AOE=SABCD，故（4）正確； 綜上所述，結論正確是（1）（3）（4）共3個． 故選C． 【點評】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的面積，設出AE、OG，然后用a表示出相關的邊更容易理解． 　 二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填在答題卡相應題號后的橫線上） 16．將方程3x（x﹣1）=5化為ax2+bx+c=0的形式為　3x2﹣3x﹣5=0?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】根據(jù)一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項可得答案． 【解答】解：方程3x（x﹣1）=5化為ax2+bx+c=0的形式為3x2﹣3x﹣5=0， 故答案為：3x2﹣3x﹣5=0． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是掌握一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）． 　 17．順次連接矩形各邊中點所得四邊形為　菱　形． 【考點】三角形中位線定理；菱形的判定；矩形的性質． 【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線定理可得EF=GH=AC，F(xiàn)G=EH=BD，再根據(jù)矩形的對角線相等可得AC=BD，從而得到四邊形EFGH的四條邊都相等，然后根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形解答． 【解答】解：如圖，連接AC、BD， ∵E、F、G、H分別是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD邊上的中點， ∴EF=GH=AC，F(xiàn)G=EH=BD（三角形的中位線等于第三邊的一半）， ∵矩形ABCD的對角線AC=BD， ∴EF=GH=FG=EH， ∴四邊形EFGH是菱形． 故答案為：菱形． 【點評】本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定，矩形的性質，作輔助線構造出三角形，然后利用三角形的中位線定理是解題的關鍵． 　 18．進入夏季后，某電器商場為減少庫存，對電熱取暖器連續(xù)進行兩次降價．若設平均每次降價的百分率是x，降價后的價格為972元，原價為1 200元，則可列出關于x的一元二次方程為　1200（1﹣x）2=972?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】原價為1200元，第一次降價后的價格是1200（1﹣x），第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的，為1200（1﹣x）（1﹣x）=1200（1﹣x）2． 【解答】解：依題意得：1200（1﹣x）2=972． 故答案是：1200（1﹣x）2=972． 【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．本題需注意第二次降價是在第一次降價后的價格的基礎上降價的． 　 19．菱形的兩條對角線長分別是方程x2﹣14x+48=0的兩實根，則菱形的面積為　24?。? 【考點】菱形的性質；根與系數(shù)的關系． 【分析】先解出方程的解，根據(jù)菱形面積為對角線乘積的一半，可求出結果． 【解答】解：x2﹣14x+48=0 x=6或x=8． 所以菱形的面積為：（68）2=24． 菱形的面積為：24． 故答案為：24． 【點評】本題考查菱形的性質，菱形的對角線互相垂直，以及對角線互相垂直的四邊形的面積的特點和根與系數(shù)的關系． 　 20．若（4m+4n）（4m+4n+5）=6，則m+n的值是　或﹣?。? 【考點】換元法解一元二次方程． 【分析】設4m+4n=t，則原方程轉化為關于t的方程t（t+5）=6，通過解該方程求得t的值，然后再來求得m+n的值即可． 【解答】解：設4m+4n=t，則由原方程得到：t（t+5）=6， 整理，得 （t+6）（t﹣1）=0， 解得t=﹣6或t=1， 所以4m+4n=4（m+n）=﹣6或4m+4n=4（m+n）=1， 則m+n=﹣或m+n=． 故答案是：或﹣． 【點評】本題考查了換元法解一元二次方程．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理． 　 三、解答題（本大題共7小題，各題分值見題號后，共80分，請解答在答題卡相應題號后，應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟） 21．解下列方程： （1）（2x﹣1）2=9　　　　　　　　　　　　 （2）2x2﹣10x=3． 【考點】解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】（1）直接開平方法求解可得； （2）整理成一般式后，公式法求解可得． 【解答】解：（1）∵（2x﹣1）2=9， ∴2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3， 解得：x=2或x=﹣1； （2）整理成一般式得：2x2﹣10x﹣3=0， ∵a=2，b=﹣10，c=﹣3， ∴△=100﹣42（﹣3）=124＞0， 則x==， （1）x1=﹣1，x2=2．（2）x1=，x2=． 【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的基本方法是解題的關鍵． 　 22．（10分）（2016秋?納雍縣期中）如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊，延長AB到E，使AE=AC，以AE為一邊作菱形AEFC，若菱形的面積為，求正方形邊長． 【考點】正方形的性質；菱形的性質． 【分析】根據(jù)題意可知AC=AE，且CB⊥AE，故菱形面積S=AE?BC，且AC=BC，根據(jù)S可求得BC的值，且BC為正方形的邊長，即可解題． 【解答】解：正方形邊長為BC， 則對角線AC=BC， 且AE=AC， ∴AE=BC， ∵菱形面積S=AE?BC ∴BC?BC=9， ∴BC=3． 故正方形的邊長為 3． 【點評】本題考查了正方形各邊長相等、各內角為直角的性質，菱形面積的計算，菱形各邊長相等的性質，本題中求證AE=BC是解題的關鍵． 　 23．（12分）（2015?泰州）已知：關于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0 （1）不解方程，判別方程根的情況； （2）若方程有一個根為3，求m的值． 【考點】根的判別式；一元二次方程的解． 【分析】（1）找出方程a，b及c的值，計算出根的判別式的值，根據(jù)其值的正負即可作出判斷； （2）將x=3代入已知方程中，列出關于系數(shù)m的新方程，通過解新方程即可求得m的值． 【解答】解：（1）由題意得，a=1，b=2m，c=m2﹣1， ∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣41（m2﹣1）=4＞0， ∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根； （2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一個根是3， ∴32+2m3+m2﹣1=0， 解得，m=﹣4或m=﹣2． 【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立． 　 24．（10分）（2009?慶陽）如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．△ACB和△DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB于點F． （1）求證：△ACB∽△DCE； （2）求證：EF⊥AB． 【考點】相似三角形的判定與性質；三角形內角和定理． 【分析】（1）從圖中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90，故有，所以△ACB∽△DCE； （2）由1知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=180﹣∠AFE=90，即∠EFA=90，故EF⊥AB． 【解答】證明：（1）∵，， ∴． 又∵∠ACB=∠DCE=90， ∴△ACB∽△DCE． （2）∵△ACB∽△DCE， ∴∠ABC=∠DEC． 又∵∠ABC+∠A=90， ∴∠DEC+∠A=90． ∴∠EFA=90． ∴EF⊥AB． 【點評】本題利用了對應邊的夾角相等，且對應邊成比例的兩個三角形相似的判定三角形相似的方法，及三角形內角和定理求解． 　 25．（12分）（2014?徐州）某學習小組由3名男生和1名女生組成，在一次合作學習后，開始進行成果展示． （1）如果隨機抽取1名同學單獨展示，那么女生展示的概率為　??； （2）如果隨機抽取2名同學共同展示，求同為男生的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）4名學生中女生1名，求出所求概率即可； （2）列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出同為男生的情況數(shù)，即可求出所求概率． 【解答】解：（1）如果隨機抽取1名同學單獨展示，那么女生展示的概率為； （2）列表如下： 男 男 男 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情況有12種，其中同為男生的情況有6種， 則P==． 【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比． 　 26．（14分）（2015春?沙坪壩區(qū)期末）某商場一種商品的進價為每件30元，售價為每件40元．每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷． （1）若該商品連續(xù)兩次下調相同的百分率后售價降至每件32.4元，求兩次下降的百分率； （2）經調查，若該商品每降價0.5元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）設每次降價的百分率為x，（1﹣x）2為兩次降價的百分率，40降至32.4就是方程的平衡條件，列出方程求解即可； （2）設每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價y元，由銷售問題的數(shù)量關系建立方程求出其解即可． 【解答】解：（1）設每次降價的百分率為x，由題意，得 40（1﹣x）2=32.4， x=10%或190%（190%不符合題意，舍去）． 答：該商品連續(xù)兩次下調相同的百分率后售價降至每件32.4元，兩次下降的百分率啊10%； （2）設每天要想獲得510元的利潤，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價510元，由題意，得 （40﹣30﹣y）（4+48）=512， 解得：y1=y2=2． 答：要使商場每天要想獲得512元的利潤，每件應降價2元． 【點評】此題主要考查了一元二次方程應用，關鍵是根據(jù)題意找到等量關系，這種價格問題主要解決價格變化前后的關系，列出方程，解答即可． 　 27．（14分）（2008秋?錦州期末）如圖，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向B點移動，點Q從B點出發(fā)，以2cm/s的速度向C點移動．如果P、Q兩點同時出發(fā)，經過幾秒后△PBQ的面積等于4cm2？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】作出輔助線，過點Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面積為，有P、Q點的移動速度，設時間為t秒時，可以得出PB、QE關于t的表達式，代入面積公式，即可得出答案． 【解答】解：如圖， 過點Q作QE⊥PB于E，則∠QEB=90． ∵∠ABC=30，∴2QE=QB． ∴S△PQB=?PB?QE． 設經過t秒后△PBQ的面積等于4cm2， 則PB=6﹣t，QB=2t，QE=t． 根據(jù)題意， ?（6﹣t）?t=4． t2﹣6t+8=0． t2=2，t2=4． 當t=4時，2t=8，8＞7，不合題意舍去，取t=2． 答：經過2秒后△PBQ的面積等于4cm2． 【點評】本題考查了一元二次方程的運用，注意求得的值的取舍問題．