高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題2 突破點5 數(shù)列的通項與求和 理

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突破點5　數(shù)列的通項與求和 提煉1 an和Sn的關系 　若an為數(shù)列{an}的通項，Sn為其前n項和，則有an＝在使用這個關系式時，一定要注意區(qū)分n＝1，n≥2兩種情況，求出結果后，判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2 求數(shù)列通項常用的方法 　(1)定義法：①形如an＋1＝an＋c(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列．②形如an＋1＝kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列． (2)疊加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通項公式． (3)疊乘法：形如＝f(n)≠0，利用an＝a1…，求其通項公式． (4)待定系數(shù)法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再轉化為等比數(shù)列求解． (5)構造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn＋1，得＝＋，構造新數(shù)列{bn}，得bn＋1＝bn＋，接下來用待定系數(shù)法求解． (6)取對數(shù)法：形如an＋1＝pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解. 提煉3 數(shù)列求和 　數(shù)列求和的關鍵是分析其通項，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等，而裂項相消法，錯位相減法是常用的兩種方法． 回訪1　an與Sn的關系 1．(2015全國卷Ⅱ)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________. －　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. 又Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列， ∴＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，即Sn＝－.] 2．(2013全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式是an＝________. (－2)n－1　當n＝1時，S1＝a1＋，∴a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an＋－＝(an－an－1)， ∴an＝－2an－1，即＝－2， ∴{an}是以1為首項的等比數(shù)列，其公比為－2， ∴an＝1(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.] 回訪2　數(shù)列求和 3．(2015全國卷Ⅰ改編)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3，則 (1){an}的通項公式為__________； (2)設bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項和為__________． (1)an＝2n＋1　(2)　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，通項公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝ . 設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝.] 4．(2012全國卷)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項和為________． 1 830　∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝＝1 830.] 熱點題型1　數(shù)列中的an與Sn的關系 數(shù)列中的an與Sn的關系 題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關系為載體，考查數(shù)列通項公式的求法，以及推理論證的能力. 　數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足＝1(n≥2)．求數(shù)列{an}的通項公式． 【導學號：85952024】 解]　由已知，當n≥2時，＝1， 所以＝1，2分 即＝1， 所以－＝.4分 又S1＝a1＝1， 所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，6分 所以＝1＋(n－1)＝， 即Sn＝.8分 所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.10分 因此an＝12分 給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an. 提醒：在利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通項公式時，務必驗證n＝1時的情形． 變式訓練1]　(1)(2016合肥三模)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，若Sn＝2an－2n ，則Sn＝__________. (2)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且2Sn＋2＝3an(n∈N*)，則an＝__________. (1)n2n(n∈N*)　(2)23n－1(n∈N*)　(1)由Sn＝2an－2n得當n＝1時，S1＝a1＝2；當n≥2時，Sn＝2(Sn－Sn－1)－2n，即－＝1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則＝n，Sn＝n2n(n≥2)，當n＝1時，也符合上式，所以Sn＝n2n(n∈N*)． (2)因為2Sn＋2＝3an，① 所以2Sn＋1＋2＝3an＋1，② 由②－①，得2Sn＋1－2Sn＝3an＋1－3an，所以2an＋1＝3an＋1－3an，即＝3. 當n＝1時，2＋2S1＝3a1，所以a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， 所以an＝23n－1(n∈N*)．] 熱點題型2　裂項相消法求和 題型分析：裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和. 　已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0， 它的前n項和為Sn，若S5＝70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列， (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：≤Tn<. 解]　(1)由已知及等差數(shù)列的性質得S5＝5a3，∴a3＝14，1分 又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即a＝a2a22.2分 由(a1＋6d)2＝(a1＋d)(a1＋21d)且d≠0， 解得a1＝d，∴a1＝6，d＝4.4分 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n＋2，n∈N*.6分 (2)證明：由(1)得Sn＝＝2n2＋4n，＝＝，8分 ∴Tn＝1－＋－＋…＋－ ＝－.10分 又Tn≥T1＝－＝， 所以≤Tn<.12分 裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，常見的裂項方式有： (1)＝； (2)＝； (3)＝(－)． 提醒：在裂項變形時，務必注意裂項前的系數(shù)． 變式訓練2]　(名師押題)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列，且a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解]　(1)由題設知a1a4＝a2a3＝8，2分 又a1＋a4＝9，可得或(舍去)4分 由a4＝a1q3得公比q＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.6分 (2)Sn＝＝2n－1.8分 又bn＝＝＝－，10分 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝1－.12分 熱點題型3　錯位相減法求和 題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運算量相對較大，故在近5年中僅有1年對該命題點作了考查，但其仍是命題的熱點之一，務必加強訓練. 　已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)． (1)求an與bn； (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn. 解]　(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*).2分 由題意知： 當n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2.3分 當n≥2時，bn＝bn＋1－bn.4分 整理得＝，所以bn＝n(n∈N*).6分 (2)由(1)知anbn＝n2n， 因此Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n， 2Tn＝22＋223＋324＋…＋n2n＋1，8分 所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1.9分 故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*).12分 運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列{an}，{bn}中一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，一般先乘以公比，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項的符號，考生常在此步出錯，一定要細心． 提醒：為保證結果正確，可對得到的和取n＝1,2進行驗證． 變式訓練3]　已知在公比大于1的等比數(shù)列{an}中，a2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點． (1)求數(shù)列{an }的通項公式； (2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn. 解]　(1)因為a2，a4是函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－8)的兩個零點，且等比數(shù)列{an}的公比q大于1，所以a2＝2，a4＝8，2分 所以q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*).6分 (2)由(1)知2nan＝n2n ，所以Sn＝12＋222＋…＋n2n，①7分 2Sn＝122＋223＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，②8分 由①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1＝－n2n＋1，11分 所以Sn＝2＋(n－1)2n＋1(n∈N*).12分