高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)19 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 新人教A版選修1-1

【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)19 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 新人教A版選修1-1 (建議用時(shí)：45分鐘)學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1做一個(gè)容積為256 m3的方底無(wú)蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為()A6 mB8 mC4 mD2 m【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為x m，高為h m，則有x2h256，所以h.所用材料的面積設(shè)為S m2，則有S4xhx24xx2x2.S2x，令S0得x8，因此h4(m)【答案】C2某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0x390)的關(guān)系是R(x)400x,0x390，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是()A150B200C250D300【解析】由題意可得總利潤(rùn)P(x)300x20 000，0x390.由P(x)0，得x300.當(dāng)0x300時(shí)，P(x)0；當(dāng)300x390時(shí)，P(x)0，所以當(dāng)x300時(shí)，P(x)最大故選D.【答案】D3某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌墻壁所用的材料最省，堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為(單位：米)()A32,16B30,15C40,20D36,18【解析】要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長(zhǎng)最短設(shè)場(chǎng)地寬為x米，則長(zhǎng)為米，因此新墻總長(zhǎng)L2x(x0)，則L2.令L0，得x16或x16(舍去)此時(shí)長(zhǎng)為32(米)，可使L最小【答案】A4某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品若該商品零售價(jià)定為P元，銷(xiāo)售量為Q件，且銷(xiāo)量Q與零售價(jià)P有如下關(guān)系：Q8 300170PP2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)銷(xiāo)售收入進(jìn)貨支出)()A30元B60元C28 000元D23 000元【解析】毛利潤(rùn)為(P20)Q，即f(P)(P20)(8 300170PP2)，f(P)3P2300P11 7003(P130)(P30)令f(P)0，得P30或P130(舍去)又P20，)，故f(P)maxf(P)極大值，故當(dāng)P30時(shí)，毛利潤(rùn)最大，f(P)maxf(30)23 000(元)【答案】D5三棱錐OABC中，OA，OB，OC兩兩垂直，OC2x，OAx，OBy，且xy3，則三棱錐OABC體積的最大值為()A4B8C. D.【解析】Vy(0x3)，V2xx2x(2x)令V0，得x2或x0(舍去)x2時(shí)，V最大為.【答案】C二、填空題6做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則VR2L27，所以L.要使用料最省，只需使圓柱表面積最小S表R22RLR22，令S表2R0，得R3，即當(dāng)R3時(shí)，S表最小【答案】37已知某矩形廣場(chǎng)面積為4萬(wàn)平方米，則其周長(zhǎng)至少為_(kāi)米. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160099】【解析】設(shè)廣場(chǎng)的長(zhǎng)為x米，則寬為米，于是其周長(zhǎng)為y2(x>0)，所以y2，令y0，解得x200(x200舍去)，這時(shí)y800.當(dāng)0<x<200時(shí)，y<0；當(dāng)x>200時(shí)，y>0.所以當(dāng)x200時(shí)，y取得最小值，故其周長(zhǎng)至少為800米【答案】8008某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1(萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2(萬(wàn)元)與到車(chē)站的距離成正比，如果在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車(chē)站_千米處【解析】設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車(chē)站相距x千米，依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1，每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2k2x，其中x是倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離，k1，k2是比例系數(shù)，于是由2得k120；由810k2得k2.兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y(x0)，y，令y0，得x5或x5(舍去)當(dāng)0x5時(shí)，y0；當(dāng)x5時(shí)，y0.當(dāng)x5時(shí)，y取得極小值，也是最小值當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車(chē)站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小【答案】5三、解答題9(2016武漢高二檢測(cè))某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本(固定投入)為2 500元，已知每生產(chǎn)x件這樣的產(chǎn)品需要再增加可變成本C(x)200xx3(元)，若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能以每件500元售出，要使利潤(rùn)最大，該廠應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品？最大利潤(rùn)是多少？【解】設(shè)該廠生產(chǎn)x件這種產(chǎn)品利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則L(x)500x2 500C(x)500x2 500300xx32 500(xN)，令L(x)300x20，得x60(件)，又當(dāng)0x60時(shí)，L(x)>0，x>60時(shí)，L(x)<0，所以x60是L(x)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以當(dāng)x60時(shí)，L(x)max9 500元10用總長(zhǎng)為14.8 m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5 m，那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積【解】設(shè)容器底面較短的邊長(zhǎng)為x m，則容器底面較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為(x0.5)m，高為3.22x(m)，由3.22x>0和x>0，得0<x<1.6.設(shè)容器容積為y m3，則yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0<x<1.6)，y6x24.4x1.6.令y0，得x11，x2(舍去)，當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0；當(dāng)1<x<1.6時(shí)，y<0，所以在x1處y有最大值，此時(shí)容器的高為1.2 m，最大容積為1.8 m3.能力提升1海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30千米/時(shí)，當(dāng)速度為10千米/時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無(wú)論速度如何)是每小時(shí)400元如果甲、乙兩地相距800千米，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為()A30千米/時(shí)B25千米/時(shí)C20千米/時(shí)D10千米/時(shí)【解析】設(shè)航速為v(0v30)，燃料費(fèi)為m，則mkv3，v10時(shí)，m25，代入上式得k，則總費(fèi)用ym40020v2，y40v.令y0，得v20.經(jīng)判斷知v20時(shí)，y最小，故選C.【答案】C2如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h，Vr2hr22r3.則Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的極值點(diǎn)當(dāng)r時(shí)，V取得最大值，最大值為3.【答案】A3如圖344，內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是_圖344【解析】設(shè)CDx，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)B坐標(biāo)為，矩形ABCD的面積Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x時(shí)，f(x)>0，f(x)是遞增的；x時(shí)，f(x)<0，f(x)是遞減的，當(dāng)x時(shí)，f(x)取最大值.【答案】4某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為13萬(wàn)元/輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)的投入成本增加的比例為x(0<x<1)，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷(xiāo)售量也相應(yīng)增加，年銷(xiāo)售量y關(guān)于x的函數(shù)為y3 240，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？(年利潤(rùn)(每輛車(chē)的出廠價(jià)每輛車(chē)的投入成本)年銷(xiāo)售量) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160100】【解】由題意，得本年度每輛車(chē)的投入成本為10(1x)萬(wàn)元，本年度每輛車(chē)出廠價(jià)為13(10.7 x)萬(wàn)元，本年度的年利潤(rùn)為f(x)13(10.7x)10(1x)y(30.9x)3 2403 240(0.9x34.8x24.5x5)，則f(x)3 240(2.7x29.6x4.5)972(9x5)(x3)令f(x)0，解得x或x3(舍去)當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得極大值，f20 000.因?yàn)閒(x)在(0,1)內(nèi)只有一個(gè)極大值，所以它是最大值故當(dāng)x時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20 000萬(wàn)元