高中物理 第5章 習(xí)題課 用牛頓運(yùn)動定律解決幾類典型問題學(xué)案5 滬科版必修1

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習(xí)題課：用牛頓運(yùn)動定律解決幾類典型問題 [學(xué)習(xí)目標(biāo)定位]　1.學(xué)會分析含有彈簧的瞬時問題.2.掌握臨界問題的分析方法.3.會分析多過程問題． 1.牛頓第二定律的表達(dá)式F＝ma，其中加速度a與合力F存在著瞬時對應(yīng)關(guān)系，a與F同時產(chǎn)生、同時變化、同時消失；a的方向始終與合力F的方向相同． 2．解決動力學(xué)問題的關(guān)鍵是做好兩個分析：受力情況分析和運(yùn)動情況分析，同時抓住聯(lián)系受力情況和運(yùn)動情況的橋梁：加速度. 一、瞬時加速度問題 根據(jù)牛頓第二定律，加速度a與合力F存在著瞬時對應(yīng)關(guān)系：合力恒定，加速度恒定；合力變化，加速度變化；合力等于零，加速度等于零．所以分析物體在某一時刻的瞬時加速度，關(guān)鍵是分析該時刻物體的受力情況及運(yùn)動狀態(tài)，再由牛頓第二定律求出瞬時加速度．應(yīng)注意兩類基本模型的區(qū)別： (1)剛性繩(或接觸面)模型：這種不發(fā)生明顯形變就能產(chǎn)生彈力的物體，剪斷(或脫離)后，彈力立即改變或消失，形變恢復(fù)幾乎不需要時間． (2)彈簧(或橡皮繩)模型：此種物體的特點(diǎn)是形變量大，形變恢復(fù)需要較長時間，在瞬時問題中，其彈力的大小往往可以看成是不變的． 例1　如圖1中小球質(zhì)量為m，處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧與豎直方向的夾角為θ.則： 圖1 (1)繩OB和彈簧的拉力各是多少？ (2)若燒斷繩OB瞬間，物體受幾個力作用？這些力的大小是多少？ (3)燒斷繩OB瞬間，求小球m的加速度的大小和方向． 解析　(1)對小球受力分析如圖甲所示 其中彈簧彈力與重力的合力F′與繩的拉力F等大反向 則知F＝mgtan θ；F彈＝ (2)燒斷繩OB的瞬間，繩的拉力消失，而彈簧還是保持原來的長度，彈力與燒斷前相同．此時，小球受到的作用力是彈力和重力，大小分別是G＝mg，F(xiàn)彈＝. (3)燒斷繩OB的瞬間，重力和彈簧彈力的合力方向水平向右，與燒斷繩OB前OB繩的拉力大小相等，方向相反，(如圖乙所示)即F合＝mgtan θ， 由牛頓第二定律得小球的加速度a＝＝gtan θ，方向水平向右． 答案　(1)mgtan θ　 (2)兩個　重力為mg　彈簧的彈力為 (3)gtan θ　水平向右 針對訓(xùn)練1　如圖2所示，輕彈簧上端與一質(zhì)量為m的木塊1相連，下端與另一質(zhì)量為M的木塊2相連，整個系統(tǒng)置于水平放置的光滑木板上，并處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)將木板沿水平方向突然抽出，設(shè)抽出后的瞬間，木塊1、2的加速度大小分別為a1、a2.重力加速度大小為g.則 有(　　) 圖2 A．a(chǎn)1＝0，a2＝g　　　　　　 B．a(chǎn)1＝g，a2＝g C．a(chǎn)1＝0，a2＝g D．a(chǎn)1＝g，a2＝g 答案　C 解析　在抽出木板后的瞬間，彈簧對木塊1的支持力和對木塊2的壓力并未改變．木塊1受重力和支持力，mg＝N，a1＝0，木塊2受重力和壓力，根據(jù)牛頓第二定律a2＝＝g，故選C. 二、動力學(xué)中的臨界問題分析 若題目中出現(xiàn)“最大”、“最小”、“剛好”等詞語時，一般都有臨界狀態(tài)出現(xiàn)．分析時，可用極限法，即把問題(物理過程)推到極端，分析在極端情況下可能出現(xiàn)的狀態(tài)和滿足的條件．在某些物理情景中，由于條件的變化，會出現(xiàn)兩種不同狀態(tài)的銜接，在這兩種狀態(tài)的分界處，某個(或某些)物理量可以取特定的值，例如具有最大值或最小值． 常見類型有： (1)隱含彈力發(fā)生突變的臨界條件 彈力發(fā)生在兩物體的接觸面之間，是一種被動力，其大小由物體所處的狀態(tài)決定，運(yùn)動狀態(tài)達(dá)到臨界狀態(tài)時，彈力發(fā)生突變． (2)隱含摩擦力發(fā)生突變的臨界條件 摩擦力是被動力，由物體間的相對運(yùn)動趨勢決定，靜摩擦力為零是狀態(tài)方向發(fā)生變化的臨界狀態(tài)；靜摩擦力最大是物體恰好保持相對靜止的臨界狀態(tài)． 例2　如圖3所示，細(xì)線的一端固定在傾角為45的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細(xì)線的另一端拴一質(zhì)量為m的小球． 圖3 (1)當(dāng)滑塊至少以多大的加速度a向左運(yùn)動時，小球?qū)瑝K的壓力等于零？ (2)當(dāng)滑塊以a′＝2g的加速度向左運(yùn)動時，線中拉力為多大？ 解析　(1)假設(shè)滑塊具有向左的加速度a時，小球受重力mg、線的拉力F和斜面的支持力N作用，如圖甲所示．由牛頓第二定律得 水平方向：Fcos 45－Ncos 45＝ma， 豎直方向：Fsin 45＋Nsin 45－mg＝0. 由上述兩式解得 N＝，F(xiàn)＝. 由此兩式可以看出，當(dāng)加速度a增大時，球所受的支持力N減小，線的拉力F增大． 當(dāng)a＝g時，N＝0，此時小球雖與斜面接觸但無壓力，處于臨界狀態(tài)，這時繩的拉力為F＝＝mg.所以滑塊至少以a＝g的加速度向左運(yùn)動時小球?qū)瑝K的壓力等于零． (2)當(dāng)滑塊加速度a>g時，小球?qū)ⅰ帮h”離斜面而只受線的拉力和重力的作用，如圖乙所示，此時細(xì)線與水平方向間的夾角α<45.由牛頓第二定律得F′cos α＝ma′，F(xiàn)′sin α＝mg，解得F′＝m＝mg. 答案　(1)g　(2)mg 針對訓(xùn)練2　在例2中，當(dāng)滑塊加速度多大時，線的拉力為零？此時滑塊運(yùn)動狀態(tài)可能是怎樣的？ 答案　見解析 解析　當(dāng)線的拉力恰好為零時，小球受力情況如圖所示：小球受重力mg、彈力N′，兩個力的合力方向水平向右．合力大小為mgtan 45. 根據(jù)牛頓第二定律：mgtan 45＝ma 得：a＝gtan 45＝g 滑塊的加速度方向水平向右，可能的運(yùn)動狀態(tài)有：向右做加速度大小為g的勻加速直線運(yùn)動；向左做加速度大小為g的勻減速直線運(yùn)動． 三、多過程問題分析 1．當(dāng)題目給出的物理過程較復(fù)雜，由多個過程組成時，要明確整個過程由幾個子過程組成，將過程合理分段，找到相鄰過程的聯(lián)系點(diǎn)并逐一分析每個過程．(聯(lián)系點(diǎn)：前一過程的末速度是后一過程的初速度，另外還有位移關(guān)系等．) 2．注意：由于不同過程中力發(fā)生了變化，所以加速度也會發(fā)生變化，所以對每一過程都要分別進(jìn)行受力分析，分別求加速度． 例3　質(zhì)量為m＝2 kg的物體靜止在水平面上，物體與水平面之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，現(xiàn)在對物體施加如圖4所示的力F，F(xiàn)＝10 N，θ＝37(sin 37＝0.6)，經(jīng)t1＝10 s后撤去力F，再經(jīng)一段時間，物體又靜止，(g取10 m/s2)則： 圖4 (1)說明物體在整個運(yùn)動過程中經(jīng)歷的運(yùn)動狀態(tài)． (2)物體運(yùn)動過程中最大速度是多少？ (3)物體運(yùn)動的總位移是多少？ 解析　(1)當(dāng)力F作用時，物體做勻加速直線運(yùn)動，撤去F的瞬間物體的速度達(dá)到最大值，撤去F后物體做勻減速直線運(yùn)動直至速度為零． (2)撤去F前對物體受力分析如圖，有： Fsin θ＋N1＝mg Fcos θ－f＝ma1 f＝μN(yùn)1 s1＝a1t vt＝a1t1，聯(lián)立各式并代入數(shù)據(jù)解得 s1＝25 m，vt＝5 m/s (3)撤去F后對物體受力分析如圖，有： f′＝μN(yùn)2＝ma2，N2＝mg 2a2s2＝v，代入數(shù)據(jù)得s2＝2.5 m 物體運(yùn)動的總位移：s＝s1＋s2得s＝27.5 m 答案　(1)見解析　(2)5 m/s　(3)27.5 m 1．(瞬時加速度問題)如圖5所示，質(zhì)量分別為m和2m的A和B兩球用輕彈簧連接，A球用細(xì)線懸掛起來，兩球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如果將懸掛A球的細(xì)線剪斷，此時A和B兩球的瞬時加速度aA、aB的大小分別是(　　) 圖5 A．a(chǎn)A＝0，aB＝0 B．a(chǎn)A＝g，aB＝g C．a(chǎn)A＝3g，aB＝g D．a(chǎn)A＝3g，aB＝0 答案　D 解析　分析B球原來受力如圖甲所示 F′＝2mg 剪斷細(xì)線后彈簧形變瞬間不會恢復(fù)，故B球受力不變，aB＝0. 分析A球原來受力如圖乙所示 T＝F＋mg，F(xiàn)′＝F，故T＝3mg. 剪斷細(xì)線，T變?yōu)?，F(xiàn)大小不變，物體A受力如圖丙所示 由牛頓第二定律得：F＋mg＝maA，解得aA＝3g. 2．(動力學(xué)中的臨界問題)如圖6所示，質(zhì)量為4 kg的小球用細(xì)繩拴著吊在行駛的汽車后壁上，繩與豎直方向夾角為θ＝37.已知g＝10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，求： 圖6 (1)當(dāng)汽車以a＝2 m/s2向右勻減速行駛時，細(xì)線對小球的拉力和車后壁對小球的支持力的大?。? (2)當(dāng)汽車以a＝10 m/s2向右勻減速行駛時，細(xì)線對小球的拉力和車后壁對小球的支持力的大?。? 答案　(1)50 N　22 N　(2)40 N　0 解析　(1)當(dāng)汽車以a＝2 m/s2向右勻減速行駛時，小球受力分析如圖． 由牛頓第二定律得： T1cos θ＝mg，T1sin θ－N＝ma 代入數(shù)據(jù)得：T1＝50 N，N＝22 N (2)當(dāng)汽車向右勻減速行駛時，設(shè)車后壁彈力為0時(臨界條件)的加速度為a0，受力分析如圖所示． 由牛頓第二定律得：T2sin θ＝ma0， T2cos θ＝mg 代入數(shù)據(jù)得：a0＝gtan θ＝10 m/s2＝7.5 m/s2 因為a＝10 m/s2>a0 所以小球飛起來，N′＝0 設(shè)此時繩與豎直方向的夾角為α， 由牛頓第二定律得：T2′＝＝40 N 3．(多過程問題)冬奧會四金得主王濛于2014年1月13日亮相全國短道速滑聯(lián)賽總決賽．她領(lǐng)銜的中國女隊在混合3 000米接力比賽中表現(xiàn)搶眼．如圖7所示，ACD是一滑雪場示意圖，其中AC是長L＝8 m、傾角θ＝37的斜坡，CD段是與斜坡平滑連接的水平面．人從A點(diǎn)由靜止下滑，經(jīng)過C點(diǎn)時速度大小不變，又在水平面上滑行一段距離后停下．人與接觸面間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.25，不計空氣阻力，(取g＝10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8)求： 圖7 (1)人從斜坡頂端A滑至底端C所用的時間； (2)人在離C點(diǎn)多遠(yuǎn)處停下？ 答案　(1)2 s　(2)12.8 m 解析　(1)人在斜坡上下滑時，受力如圖所示． 設(shè)人沿斜坡下滑的加速度為a，沿斜坡方向，由牛頓第二定律得 mgsin θ－f＝ma f＝μN(yùn) 垂直于斜坡方向有N－mgcos θ＝0 由勻變速運(yùn)動規(guī)律得L＝at2 聯(lián)立以上各式得a＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2 t＝2 s (2)人在水平面上滑行時，水平方向只受到地面的摩擦力作用．設(shè)在水平面上人減速運(yùn)動的加速度為a′，由牛頓第二定律得μmg＝ma′ 設(shè)人到達(dá)C處的速度為v，則由勻變速直線運(yùn)動規(guī)律得 人在斜面上下滑的過程：v2＝2aL 人在水平面上滑行時：0－v2＝－2a′s 聯(lián)立以上各式解得s＝12.8 m 題組一　瞬時加速度問題 1.質(zhì)量均為m的A、B兩球之間系著一個質(zhì)量不計的輕彈簧并放在光滑水平臺面上，A球緊靠墻壁，如圖1所示，今用水平力F推B球使其向左壓彈簧，平衡后，突然將力F撤去的瞬間(　　) 圖1 A．A的加速度大小為 B．A的加速度大小為零 C．B的加速度大小為 D．B的加速度大小為 答案　BD 解析　在將力F撤去的瞬間A球受力情況不變，仍靜止，A的加速度為零，選項A錯，B對；而B球在撤去力F的瞬間，彈簧的彈力還沒來得及發(fā)生變化，故B的加速度大小為，選項C錯，D對． 2．如圖2所示，A、B兩球的質(zhì)量相等，彈簧的質(zhì)量不計，傾角為θ的斜面光滑．系統(tǒng)靜止時，彈簧與細(xì)線均平行于斜面，已知重力加速度為g.在細(xì)線被燒斷的瞬間，下列說法正確的是(　　) 圖2 A．兩個小球的瞬時加速度均沿斜面向下，大小均為gsin θ B．B球的受力情況未變，瞬時加速度為零 C．A球的瞬時加速度沿斜面向下，大小為gsin θ D．彈簧有收縮趨勢，B球的瞬時加速度向上，A球的瞬時加速度向下，瞬時加速度都不為零 答案　B 解析　因為細(xì)線被燒斷的瞬間，彈簧的彈力不能突變，所以B的瞬時加速度為0，A的瞬時加速度為2gsin θ，所以選項B正確，A、C、D錯誤． 3．如圖3所示，A、B兩木塊間連一輕桿，A、B質(zhì)量相等，一起靜止地放在一塊光滑木板上，若將此木板突然抽出，在此瞬間，A、B兩木塊的加速度分別是(　　) 圖3 A．a(chǎn)A＝0，aB＝2g B．a(chǎn)A＝g，aB＝g C．a(chǎn)A＝0，aB＝0 D．a(chǎn)A＝g，aB＝2g 答案　B 解析　當(dāng)剛抽去木板時，A、B和桿將作為一個整體一起下落，下落過程中只受重力，根據(jù)牛頓第二定律得aA＝aB＝g，故選項B正確． 4．如圖4所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量分別為m1和m2的木塊A和B之間用輕彈簧相連，在拉力F作用下，以加速度a做勻加速直線運(yùn)動，某時刻突然撤去拉力F，此瞬間A和B的加速度的大小為a1和a2，則(　　) 圖4 A．a(chǎn)1＝a2＝0 B．a(chǎn)1＝a，a2＝0 C．a(chǎn)1＝a，a2＝a D．a(chǎn)1＝a，a2＝－a 答案　D 解析　兩木塊在光滑的水平面上一起以加速度a向右做勻加速運(yùn)動時，彈簧的彈力F彈＝m1a，在力F撤去的瞬間，彈簧的彈力來不及改變，大小仍為m1a，因此木塊A的加速度此時仍為a，以木塊B為研究對象，取向右為正方向，－m1a＝m2a2，a2＝－a，所以D項正確． 題組三　動力學(xué)中的臨界問題 5．如圖5所示，質(zhì)量為M的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一質(zhì)量為m的物塊，物塊與木板及木板與桌面間的動摩擦因數(shù)均為μ，若要以水平外力F將木板抽出，則力F的大小至少為(　　) 圖5 A．μmg B．μ(M＋m)g C．μ(m＋2M)g D．2μ(M＋m)g 答案　D 解析　將木板抽出的過程中，物塊與木板間的摩擦力為滑動摩擦力，物塊的加速度大小為am＝μg，要想抽出木板，必須使木板的加速度大于物塊的加速度，即aM>am＝μg，對木板受力分析如圖． 根據(jù)牛頓第二定律，得：F－μ(M＋m)g－μmg＝MaM 得F＝μ(M＋m)g＋μmg＋MaM>μ(M＋m)g＋μmg＋μMg＝2μ(M＋m)g，選項D正確． 6．如圖6所示，質(zhì)量為m1＝2 kg、m2＝3 kg的物體用細(xì)繩連接放在水平面上，細(xì)繩僅能承受1 N的拉力，水平面光滑，為了使細(xì)繩不斷而又使它們能一起獲得最大加速度，則在向左水平施力和向右水平施力兩種情況下，F(xiàn)的最大值是(　　) 圖6 A．向右，作用在m2上，F(xiàn)＝ N B．向右，作用在m2上，F(xiàn)＝2.5 N C．向左，作用在m1上，F(xiàn)＝ N D．向左，作用在m1上，F(xiàn)＝2.5 N 答案　BC 解析　 若水平力F1的方向向左，如圖． 設(shè)最大加速度為a1，根據(jù)牛頓第二定律，對整體有： F1＝(m1＋m2)a1 對m2有：T＝m2a1 所以F1＝T＝1 N＝ N，C對，D錯． 若水平力F2的方向向右，如圖． 設(shè)最大加速度為a2，根據(jù)牛頓第二定律，對整體有：F2＝(m1＋m2)a2 對m1有：T＝m1a2 所以F2＝T＝1 N＝2.5 N．A錯，B對． 7.如圖7所示，質(zhì)量為M的木箱置于水平地面上，在其內(nèi)部頂壁固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧下端與質(zhì)量為m的小球連接．當(dāng)小球上下振動的某個時刻，木箱恰好不離開地面，求此時小球的加速度． 圖7 答案　a＝g，方向向下 解析　如圖所示， 對木箱受力分析有：F＝Mg 對小球受力分析有：mg＋F′＝ma 又F＝F′ 解得：a＝g，方向向下． 8．如圖8所示，一輛卡車后面用輕繩拖著質(zhì)量為m的物體A，繩與水平面之間的夾角α＝53，A與地面間的摩擦不計，求(sin 53＝0.8)： 圖8 (1)當(dāng)卡車以加速度a1＝加速運(yùn)動時，繩的拉力為mg，則A對地面的壓力為多大？ (2)當(dāng)卡車的加速度a2＝g時，繩的拉力多大？方向如何？ 答案　(1)mg　(2) mg，方向與水平面成45角斜向上 解析　(1)設(shè)物體剛離開地面時，具有的加速度為a0 對物體A進(jìn)行受力分析，可得：ma0＝，則a0＝g 因為a1a0，所以物體已離開地面．設(shè)此時繩與地面成θ角F′＝m＝mg 所以tan θ＝1，θ＝45，即繩的拉力與水平面成45角斜向上 題組三　多過程問題 9．一輛汽車在恒定牽引力作用下由靜止開始沿直線運(yùn)動，4 s內(nèi)通過8 m的距離，此后關(guān)閉發(fā)動機(jī)，汽車又運(yùn)動了2 s停止，已知汽車的質(zhì)量m＝2103 kg，汽車運(yùn)動過程中所受阻力大小不變，求： (1)關(guān)閉發(fā)動機(jī)時汽車的速度大??； (2)汽車運(yùn)動過程中所受到的阻力大??； (3)汽車牽引力的大?。? 答案　(1)4 m/s　(2)4103 N　(3)6103 N 解析　(1)汽車開始做勻加速直線運(yùn)動s0＝t1 解得v0＝＝4 m/s (2)關(guān)閉發(fā)動機(jī)后汽車減速過程的加速度 a2＝＝－2 m/s2 由牛頓第二定律有－f＝ma2 解得f＝4103 N (3)設(shè)開始加速過程中汽車的加速度為a1 s0＝a1t 由牛頓第二定律有：F－f＝ma1 解得F＝f＋ma1＝6103 N 10．物體以14.4 m/s的初速度從斜面底端沖上傾角為θ＝37的斜坡，到最高點(diǎn)后再滑下，如圖9所示．已知物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.15，求： 圖9 (1)物體沿斜面上滑的最大位移； (2)物體沿斜面下滑的時間．(已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8) 答案　(1)14.4 m　(2)2.4 s 解析　(1)上升時加速度大小設(shè)為a1，由牛頓第二定律得： mgsin 37＋μmgcos 37＝ma1 解得a1＝7.2 m/s2 上滑最大位移為s＝ 代入數(shù)據(jù)得s＝14.4 m (2)下滑時加速度大小設(shè)為a2，由牛頓第二定律得： mgsin 37－μmgcos 37＝ma2 解得a2＝4.8 m/s2 由s＝a2t2得下滑時間 t＝＝ s≈2.4 s 11．如圖10所示，在海濱游樂場里有一場滑沙運(yùn)動．某人坐在滑板上從斜坡的高處A點(diǎn)由靜止開始滑下，滑到斜坡底端B點(diǎn)后，沿水平的滑道再滑行一段距離到C點(diǎn)停下來．如果人和滑板的總質(zhì)量m＝60 kg，滑板與斜坡滑道和水平滑道間的動摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，斜坡的傾角θ＝37(已知sin 37＝0.6，cos 37＝0.8)，斜坡與水平滑道間是平滑連接的，整個運(yùn)動過程中空氣阻力忽略不計，人從斜坡滑上水平滑道時沒有速度損失，重力加速度g取10 m/s2. 圖10 (1)人從斜坡上滑下的加速度為多大？ (2)若由于場地的限制，水平滑道的最大距離BC為L＝20 m，則人從斜坡上滑下的距離AB應(yīng)不超過多少？ 答案　(1)2 m/s2　(2)50 m 解析　(1)人在斜坡上受力如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)人在斜坡上滑下的加速度為a1，由牛頓第二定律得： mgsin θ－f1＝ma1 N1－mgcos θ＝0 又f1＝μN(yùn)1 聯(lián)立解得a1＝g(sin θ－μcos θ) ＝10(0.6－0.50.8) m/s2＝2 m/s2. (2)人在水平滑道上受力如圖所示，由牛頓第二定律得： f2＝ma2，N2－mg＝0 又f2＝μN(yùn)2 聯(lián)立解得a2＝μg＝5 m/s2 設(shè)人從斜坡上滑下的距離為LAB，對AB段和BC段分別由勻變速直線運(yùn)動公式得： v2－0＝2a1LAB,0－v2＝－2a2L 聯(lián)立解得LAB＝50 m. 12．如圖11所示，質(zhì)量m＝2 kg的物體靜止于水平地面的A處，A、B間距L＝20 m．物體與地面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，現(xiàn)用大小為20 N，與水平方向成53的力斜向上拉 此物體，使物體從A處由靜止開始運(yùn)動并能到達(dá)B處，求該力作用的最短時間t(已知sin 53＝0.8，cos 53＝0.6，g取10 m/s2)． 圖11 答案　2 s 解析　物體先以大小為a1的加速度勻加速運(yùn)動，撤去外力后，再以大小為a2的加速度減速到B，且到B時速度恰好為零． 力F作用時：Fcos 53－μ(mg－Fsin 53)＝ma1 t時刻：s1＝a1t2 vt＝a1t 撤去力F后： μmg＝ma2 v＝2a2s2 由于s1＋s2＝L 解得t＝2 s