高考數(shù)學 考前3個月知識方法專題訓練 第一部分 知識方法篇 專題10 數(shù)學思想 第37練 函數(shù)與方程思想 文

第37練函數(shù)與方程思想思想方法解讀1.函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，是對函數(shù)概念的本質認識，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決的思想方法(2)方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想方法2函數(shù)與方程思想在解題中的應用(1)函數(shù)與不等式的相互轉化，對函數(shù)yf(x)，當y>0時，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質可解決有關問題，而研究函數(shù)的性質也離不開不等式(2)數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題十分重要(3)解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關理論(4)立體幾何中有關線段、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決體驗高考1(2015湖南)已知函數(shù)f(x)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_答案(，0)(1，)解析函數(shù)g(x)有兩個零點，即方程f(x)b0有兩個不等實根，則函數(shù)yf(x)和yb的圖象有兩個公共點若a<0，則當xa時，f(x)x3，函數(shù)單調遞增；當x>a時，f(x)x2，函數(shù)先單調遞減后單調遞增，f(x)的圖象如圖(1)實線部分所示，其與直線yb可能有兩個公共點若0a1，則a3a2，函數(shù)f(x)在R上單調遞增，f(x)的圖象如圖(2)實線部分所示，其與直線yb至多有一個公共點若a>1，則a3>a2，函數(shù)f(x)在R上不單調，f(x)的圖象如圖(3)實線部分所示，其與直線yb可能有兩個公共點綜上，a<0或a>1.2(2015安徽)設x3axb0，其中a，b均為實數(shù)，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是_(寫出所有正確條件的編號)a3，b3；a3，b2；a3，b>2；a0，b2；a1，b2.答案解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，當a0時，f(x)0，f(x)單調遞增，必有一個實根，正確；當a<0時，由于選項當中a3，只考慮a3這一種情況，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)極大f(1)13bb2，f(x)極小f(1)13bb2，要有一根，f(x)極大<0或f(x)極小>0，b<2或b>2，正確，錯誤所有正確條件為.3(2016課標全國甲)已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)2f(x)，若函數(shù)y與yf(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則(xiyi)等于()A0 Bm C2m D4m答案B解析方法一特殊函數(shù)法，根據(jù)f(x)2f(x)可設函數(shù)f(x)x1，由y，解得兩個點的坐標為此時m2，所以(xiyi)m，故選B.方法二由題設得(f(x)f(x)1，點(x，f(x)與點(x，f(x)關于點(0,1)對稱，則yf(x)的圖象關于點(0,1)對稱又y1，x0的圖象也關于點(0,1)對稱則交點(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)成對，且關于點(0,1)對稱則(xi，yi)ii02m，故選B.高考必會題型題型一利用函數(shù)與方程思想解決圖象交點或方程根等問題例1(2016天津)已知函數(shù)f(x) (a>0，且a1)在R上單調遞減，且關于x的方程|f(x)|2x恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是()A.B.C.D.答案C解析由yloga(x1)1在0，)上遞減，得0<a<1.又由f(x)在R上單調遞減，則a.如圖所示，在同一坐標系中作出函數(shù)y|f(x)|和y2x的圖象由圖象可知，在0，)上，|f(x)|2x有且僅有一個解故在(，0)上，|f(x)|2x同樣有且僅有一個解當3a>2，即a>時，由x2(4a3)x3a2x(其中x<0)，得x2(4a2)x3a20(其中x<0)，則(4a2)24(3a2)0，解得a或a1(舍去)；當13a2，即a時，由圖象可知，符合條件綜上所述，a.故選C.點評函數(shù)圖象的交點、函數(shù)零點、方程的根三者之間可互相轉化，解題的宗旨就是函數(shù)與方程的思想方程的根可轉化為函數(shù)零點、函數(shù)圖象的交點，反之函數(shù)零點、函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題也可轉化為方程根的問題變式訓練1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實根之和為()A5 B6 C7 D8答案C解析g(x)2，由題意知函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示：由圖象知f(x)、g(x)有三個交點，故方程f(x)g(x)在x5,1上有三個根xA、xB、xC，xB3，2，xAxC4，xAxBxC7.題型二函數(shù)與方程思想在不等式中的應用例2定義域為R的可導函數(shù)yf(x)的導函數(shù)為f(x)，滿足f(x)>f(x)，且f(0)1，則不等式<1的解集為()A(，0) B(0，)C(，2) D(2，)答案B解析構造函數(shù)g(x)，則g(x).由題意得g(x)<0恒成立，所以函數(shù)g(x)在R上單調遞減又g(0)1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集為(0，)故選B.點評不等式恒成立問題的處理方法在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質解決問題同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更明朗化一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù)變式訓練2已知f(x)log2x，x2,16，對于函數(shù)f(x)值域內的任意實數(shù)m，則使x2mx4>2m4x恒成立的實數(shù)x的取值范圍為()A(，2B2，)C(，22，)D(，2)(2，)答案D解析x2,16，f(x)log2x1,4，即m1,4不等式x2mx4>2m4x恒成立，即為m(x2)(x2)2>0恒成立，設g(m)(x2)m(x2)2，則此函數(shù)在1,4上恒大于0，所以即解得x<2或x>2.題型三函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應用例3已知數(shù)列an是首項為2，各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，a2，a3，a41成等比數(shù)列，設bn(其中Sn是數(shù)列an的前n項和)，若對任意nN*，不等式bnk恒成立，求實數(shù)k的最小值解因為a12，aa2(a41)，又因為an是正項等差數(shù)列，故d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得d2或d1(舍去)，所以數(shù)列an的通項公式an2n.因為Snn(n1)，bn.令f(x)2x (x1)，則f(x)2，當x1時，f(x)>0恒成立，所以f(x)在1，)上是增函數(shù)，故當x1時，f(x)minf(1)3，即當n1時，(bn)max，要使對任意的正整數(shù)n，不等式bnk恒成立，則須使k(bn)max，所以實數(shù)k的最小值為.點評數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法數(shù)列問題函數(shù)(方程)化法與形式結構函數(shù)(方程)化法類似，但要注意數(shù)列問題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點，其一般解題步驟為：第一步：分析數(shù)列式子的結構特征第二步：根據(jù)結構特征構造“特征”函數(shù)(方程)，轉化問題形式第三步：研究函數(shù)性質結合解決問題的需要，研究函數(shù)(方程)的相關性質，主要涉及函數(shù)單調性與最值、值域問題的研究第四步：回歸問題結合對函數(shù)(方程)相關性質的研究，回歸問題變式訓練3設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，(n1)SnnSn1(nN*)若1，則()ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7答案D解析由條件得，即，所以anan1，所以等差數(shù)列an為遞增數(shù)列又1，所以a80，a70，即數(shù)列an前7項均小于0，第8項大于零，所以Sn的最小值為S7，故選D.題型四函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應用例4橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為，離心率為，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A，B，且3.(1)求橢圓C的方程；(2)求m的取值范圍解(1)設橢圓C的方程為1 (a>b>0)，設c>0，c2a2b2，由題意，知2b，所以a1，bc.故橢圓C的方程為y21，即y22x21.(2)當直線l的斜率不存在時，也滿足3，此時m.當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為ykxm (k0)，l與橢圓C的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>0，(*)x1x2，x1x2.因為3，所以x13x2，所以則3(x1x2)24x1x20，即3240，整理得4k2m22m2k220，即k2(4m21)2m220，當m2時，上式不成立；當m2時，k2，由(*)式，得k2>2m22，又k0，所以k2>0，解得1<m<或<m<1，綜上，所求m的取值范圍為.點評利用判別式法研究圓錐曲線中的范圍問題的步驟第一步：聯(lián)立方程第二步：求解判別式.第三步：代換利用題設條件和圓錐曲線的幾何性質，得到所求目標參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個等量關系，將其代換第四步：下結論將上述等量代換式代入>0或0中，即可求出目標參數(shù)的取值范圍第五步：回顧反思在研究直線與圓錐曲線的位置關系問題時，無論題目中有沒有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對某些量的制約，這是求解這類問題的關鍵環(huán)節(jié)變式訓練4已知點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓1(a>b>0)的兩個焦點，點P為橢圓上一點，且c2，則此橢圓離心率的取值范圍是_答案解析設P(x，y)，則(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，將y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.高考題型精練1關于x的方程3xa22a，在(，1上有解，則實數(shù)a的取值范圍是()A2，1)(0,1B3，2)0,1C3，2)(0,1D2，1)0,1答案C解析當x(，1時，3x(0,3，要使3xa22a有解，a22a的值域必須為(0,3，即0<a22a3，解不等式可得3a2或0a1，故選C.2設函數(shù)f(x)ex(x33x3)aexx，若不等式f(x)0有解，則實數(shù)a的最小值為()A.1 B2C12e2D1答案D解析因為f(x)0有解，所以f(x)ex(x33x3)aexx0，ax33x3F(x)，F(xiàn)(x)3x23(x1)(3x3ex)，令G(x)3x3ex，G(x)3ex,3ex0，xln 3，G(x)最小值G(ln 3)63ln 3>0，F(xiàn)(x)在(，1)上遞減，在(1，)上遞增，F(xiàn)(x)的最小值為F(1)1，所以a1，故選D.3已知f(x)x24x4，f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，函數(shù)yfn(x)的零點個數(shù)記為an，則an等于()A2nB2n1C2n1D2n或2n1答案B解析f1(x)x24x4(x2)2，有1個零點2，由f2(x)0可得f1(x)2，則x2或x2，即yf2(x)有2個零點，由f3(x)0可得f2(x)2或2，則(x2)22或(x2)22，即yf3(x)有4個零點，以此類推可知，yfn(x)的零點個數(shù)an2n1.故選B.4已知函數(shù)f(x)ln xx1，g(x)x22bx4，若對任意x1(0,2)，x21,2，不等式f(x1)g(x2)恒成立，則實數(shù)b的取值范圍為_答案解析問題等價于f(x)ming(x)max.f(x)ln xx1，所以f(x)，令f(x)>0得x24x3<0，解得1<x<3，故函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(1,3)，單調遞減區(qū)間是(0,1)和(3，)，故在區(qū)間(0,2)上，x1是函數(shù)的極小值點，這個極小值點是唯一的，故也是最小值點，所以f(x)minf(1).由于函數(shù)g(x)x22bx4，x1,2當b<1時，g(x)maxg(1)2b5；當1b2時；g(x)maxg(b)b24；當b>2時，g(x)maxg(2)4b8.故問題等價于或或解第一個不等式組得b<1，解第二個不等式組得1b，第三個不等式組無解綜上所述，b的取值范圍是.5滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_答案2解析可設BCx，則ACx，根據(jù)面積公式得SABCx，由余弦定理計算得cos B，代入上式得SABCx.由得22<x<22.故當x2時，SABC有最大值2.6已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點若該拋物線上存在點C，使得ACB為直角，則a的取值范圍為_答案1，)解析以AB為直徑的圓的方程為x2(ya)2a，由得y2(12a)ya2a0.即(ya)y(a1)0，則由題意得解得a1.7設函數(shù)f(x)ln x(a為常數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線與x軸平行，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)f(x)在(e，)內有極值，求實數(shù)a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)(1，)，由f(x)ln x得f(x)，由于曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線與x軸平行，所以f(2)0，即0，所以a.(2)因為f(x)，若函數(shù)f(x)在(e，)內有極值，則函數(shù)yf(x)在(e，)內有異號零點，令(x)x2(2a)x1.設x2(2a)x1(x)(x)，可知1，不妨設>，則(0,1)，(1，)，若函數(shù)yf(x)在(e，)內有異號零點，即y(x)在(e，)內有異號零點，所以>e，又(0)1>0，所以(e)e2(2a)e1<0，解得a>e2，所以實數(shù)a的取值范圍是(e2，)8已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa，當a0時，f(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有xln a.綜上，當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)；當a>0時，f(x)的單調增區(qū)間為(ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上單調遞增，f(x)exa0恒成立，即aex在R上恒成立當xR時，ex>0，a0，即a的取值范圍是(，09已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當AMN的面積為時，求k的值解(1)由題意得解得b.所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設點M，N的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.所以|MN|.又因為點A(2,0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|d.由，解得k1.所以k的值為1或1.10已知等比數(shù)列an滿足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式(2)若bnanlog2，Snb1b2bn，求使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值解(1)設等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，依題意，有即由得q23q20，解得q1或q2.當q1時，不合題意舍去；當q2時，代入得a12，所以an22n12n.(2)bnanlog22nlog22nn.所以Sn212222332nn(222232n)(123n)2n12nn2.因為Sn2n147<0，所以2n12nn22n147<0，即n2n90>0，解得n>9或n<10.因為nN*，故使Sn2n147<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.