高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題五 立體幾何與空間向量 第2講 空間中的平行與垂直練習 理

第2講空間中的平行與垂直1(2016課標全國甲)，是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有_(填寫所有正確命題的編號)答案解析當mn，m，n時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤，經(jīng)判斷知均正確，故正確答案為.2(2016江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明(1)由已知，DE為ABC的中位線，DEAC，又由三棱柱的性質(zhì)可得ACA1C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等熱點一空間線面位置關(guān)系的判定空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷來解決問題；(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進行判斷例1(1)(2015廣東)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交(2)關(guān)于空間兩條直線a、b和平面，下列命題正確的是()A若ab，b，則aB若a，b，則abC若a，b，則abD若a，b，則ab答案(1)D(2)D解析(1)若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾，l至少與l1，l2中的一條相交(2)線面平行的判定定理中的條件要求a，故A錯；對于線面平行，這條直線與面內(nèi)的直線的位置關(guān)系可以平行，也可以異面，故B錯；平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系：平行、相交、異面都有可能，故C錯；垂直于同一個平面的兩條直線是平行的，故D正確，故選D.思維升華解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中跟蹤演練1設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：若mn，m，則n；若m，m，則；若mn，m，則n；若m，m，則.其中真命題的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析因為“如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面”，所以正確；當m平行于兩個相交平面，的交線l時，也有m，m，所以錯誤；若mn，m，則n或n，所以錯誤；平面，與直線m的關(guān)系如圖所示，必有，故正確熱點二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化例2(2015廣東)如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)證明：BC平面PDA；(2)證明：BCPD；(3)求點C到平面PDA的距離(1)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCAD，因為BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)證明因為四邊形ABCD是長方形，所以BCCD，因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因為PD平面PDC，所以BCPD.(3)解如圖，取CD的中點E，連接AE和PE.因為PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因為平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD.由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因為PD平面PDC，所以ADPD.設(shè)點C到平面PDA的距離為h，因為V三棱錐CPDAV三棱錐PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以點C到平面PDA的距離是.思維升華垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l，ala.跟蹤演練2如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PBCD，點E在棱PD上，且PE2ED.(1)求證：平面PCD平面PBC；(2)求證：PB平面AEC.證明(1)因為ADCD，ADBC，所以CDBC，又PBCD，PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC.(2)連接BD交AC于點O，連接OE.因為ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以O(shè)EPB，又OE平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.熱點三平面圖形的折疊問題平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化、有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵一般地，在翻折后還在一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是化解翻折問題的主要方法例3如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，DAB60，點E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點，ACEFO，沿EF將CEF翻折到PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐PABFED，且PB.(1)求證：BDPA；(2)求四棱錐PBFED的體積(1)證明點E，F(xiàn)分別是邊CD，CE的中點，BDEF.菱形ABCD的對角線互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解設(shè)AOBDH.連接BO，DAB60，ABD為等邊三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面積S(EFBD)HO3，四棱錐PBFED的體積VSPO33.思維升華(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口；(2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進行邏輯推理，得出矛盾或肯定結(jié)論跟蹤演練3如圖1，在RtABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD將ABC折成60的二面角BADC，如圖2.(1)證明：平面ABD平面BCD；(2)設(shè)點E為BC的中點，BD2，求異面直線AE和BD所成的角的大小(1)證明(1)因為折起前AD是BC邊上的高，則當ABD折起后，ADCD，ADBD，又CDBDD，則AD平面BCD.因為AD平面ABD，所以平面ABD平面BCD.(2)解如圖，取CD的中點F，連接EF，則EFBD，所以AEF為異面直線AE與BD所成的角連接AF，DE，由BD2，則EF1，AD2，CD6，DF3.在RtADF中，AF.在BCD中，由題設(shè)BDC60，則BC2BD2CD22BDCDcosBDC28，即BC2，從而BEBC，cosCBD，在BDE中，DE2BD2BE22BDBEcosCBD13，在RtADE中，AE5.在AEF中，cosAEF.因為兩條異面直線所成的角為銳角或直角，所以異面直線AE與BD所成的角的大小為60.1不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個平面，內(nèi)，下列為真命題的是()Amnm BmnCm Dmn押題依據(jù)空間兩條直線、兩個平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點內(nèi)容，也是高考命題的熱點此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力答案C解析構(gòu)造長方體，如圖所示因為A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B不垂直所以選項A，B都是假命題CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項D為假命題“若兩平面平行，則一個平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個平面”是真命題，故選C.2如圖1，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點，且BEAF2CF.點P為邊BC上的點，將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖2所示(1)求證：A1EFP；(2)若BPBE，點K為棱A1F的中點，則在平面A1FP上是否存在過點K的直線與平面A1BE平行，若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直角與平面位置關(guān)系的考題創(chuàng)新性強，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預計將成為今年高考的命題形式(1)證明在正ABC中，取BE的中點D，連接DF，如圖1.圖1因為BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF為正三角形又AEDE，所以EFAD.所以在圖2中A1EEF，BEEF.故A1EB為二面角A1EFB的一個平面角因為平面A1EF平面BEFC，所以A1EB90，即A1EEB.因為EFEBE，所以A1E平面BEFC.因為FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在過點K的直線與平面A1BE平行理由如下：如圖1，在正ABC中，因為BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如圖2，取A1P的中點M，連接MK，圖2因為點K為棱A1F的中點，所以MKFP.因為FPBE，所以MKBE.因為MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在過點K的直線MK與平面A1BE平行A組專題通關(guān)1(2015湖北)l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()Ap是q的充分條件，但不是q的必要條件Bp是q的必要條件，但不是q的充分條件Cp是q的充分必要條件Dp既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案A解析由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1l2，所以qp.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件故選A.2設(shè)a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的()A充要條件 B充分而不必要條件C必要而不充分條件 D既不充分也不必要條件答案C解析若a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，la，lb，ab，則l可以與平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面內(nèi)兩條不同的直線，l是平面外的一條直線，則la，lb.“l(fā)a，lb”是“l(fā)”的必要而不充分條件，故選C.3設(shè)m，n是空間兩條直線，是空間兩個平面，則下列命題中不正確的是()A若m，n，則nmB若m，m，則C若n，n，則D若m，n，則mn答案A解析A中，若m，n，則nm或m，n異面故不正確；B，C，D均正確故選A.4將正方體的紙盒展開如圖，直線AB、CD在原正方體的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C相交成60角 D異面且成60角答案D解析如圖，直線AB，CD異面因為CEAB，所以ECD即為直線AB，CD所成的角，因為CDE為等邊三角形，故ECD60.5如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC答案D解析因為在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC，故選D.6如圖，在空間四邊形ABCD中，點MAB，點NAD，若，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是_答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點，則下列結(jié)論中正確的是_(填序號)ACBE；B1E平面ABCD；三棱錐EABC的體積為定值；直線B1E直線BC1.答案解析因AC平面BDD1B1，故正確；因B1D1平面ABCD，故正確；記正方體的體積為V，則VEABCV，為定值，故正確；B1E與BC1不垂直，故錯誤8下列四個正方體圖形中，點A，B為正方體的兩個頂點，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號)答案解析對于，注意到該正方體的面中過直線AB的側(cè)面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對于，注意到直線AB和過點A的一個與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對于，注意到此時直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對于，易知此時AB與平面MNP相交綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號是.9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點M，N，P分別為棱AB，BC，C1D1的中點求證：(1)AP平面C1MN；(2)平面B1BDD1平面C1MN.證明(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，因為點M，P分別為棱AB，C1D1的中點，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四邊形AMC1P為平行四邊形從而APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.(2)連接AC，在正方形ABCD中，ACBD.又點M，N分別為棱AB，BC的中點，故MNAC.所以MNBD.在正方體ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，所以DD1MN，而DD1DBD，DD1，DB平面B1BDD1，所以MN平面B1BDD1，又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1平面C1MN.10(2015四川)一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)；(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)證明：直線DF平面BEG.(1)解點F，G，H的位置如圖所示(2)解平面BEG平面ACH，證明如下：因為ABCDEFGH為正方體，所以BCFG，BCFG，又FGEH，F(xiàn)GEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE為平行四邊形所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)證明連接FH，BD.因為ABCDEFGH為正方體，所以DH平面EFGH.因為EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG，同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.B組能力提高11設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，是空間中的兩個平面，則下列命題的逆命題不成立的是()A當c時，若c，則B當b時，若b，則C當b，且c是a在內(nèi)的射影時，若bc，則abD當b，且c時，若c，則bc答案B解析B中命題的逆命題為：當b時，若，則b，是假命題而A、C、D中命題的逆命題均為真命題，故選B.12.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF_時，CF平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，設(shè)AFx，則A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.13如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將ABE沿邊BE折起，折起后A點在平面BCDE上的射影為D點，對翻折后的幾何體有如下描述：AB與DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE是a3；平面ABC平面ADC.其中正確的是_(填寫你認為正確的序號)答案解析作出折疊后的幾何體的直觀圖如圖所示：ABa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tanABC.BCDE，ABC是異面直線AB，DE所成的角，故正確連接BD，CE，則CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD，又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，CEAB.故錯誤三棱錐BACE的體積VSBCEADa2a，故正確AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD，又BCCD，ADCDD，BC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD.故答案為.14.如圖，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，平面ACEF平面ABCD，四邊形ACEF是平行四邊形，點M在線段EF上(1)求證：BC平面ACEF；(2)當FM為何值時，AM平面BDE？證明你的結(jié)論(1)證明在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，ADC是等腰三角形，且BCDADC120，DCADAC30，ACB90，即BCAC.又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACEF.(2)解當FMa時，AM平面BDE.證明如下：設(shè)ACBDN，連接EN，如圖ACB90，ABC60，BCa，ACa，AB2a，CNNA12，四邊形ACEF是平行四邊形，EFACa.AM平面BDE，AM平面ACEF，平面ACEF平面BDENE，AMNE，四邊形ANEM為平行四邊形，F(xiàn)MME12，F(xiàn)MFEAC.當FMa時，AM平面BDE.