高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯(cuò)集）專題13 立體幾何中的向量方法 理

專題13 立體幾何中的向量方法1直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析方法一由于BCA90，三棱柱為直三棱柱，且BCCACC1.建立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，(1,1,2)(2,2,0)(1，1,2)，(0,1,2)cos，.2.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為，則sin的取值范圍是()A，1B，1C，D，1答案B解析根據(jù)題意可知平面A1BD平面A1ACC1且兩平面的交線是A1O，所以過(guò)點(diǎn)P作交線A1O的垂線PE，則PE平面A1BD，所以A1OP或其補(bǔ)角就是直線OP與平面A1BD所成的角.設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則根據(jù)圖形可知直線OP與平面A1BD可以垂直3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有下列三個(gè)命題：三棱錐AD1PC的體積不變；直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；二面角PAD1C的大小不變其中真命題的序號(hào)是_答案解析中，BC1平面AD1C，BC1上任意一點(diǎn)到平面AD1C的距離相等，所以體積不變，正確；中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線AB與平面ACD1所成角和直線AC1與平面ACD1所成角不相等，所以不正確；中，點(diǎn)P在直線BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在平面AD1C1B中，既二面角PAD1C的大小不受影響，所以正確4已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別為BB1、CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為_答案解析以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，點(diǎn)F到平面A1D1E的距離為d.5.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點(diǎn)，AEA1B1，點(diǎn)D為棱A1B1上的點(diǎn)(1)證明：DFAE；(2)是否存在一點(diǎn)D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為？若存在，說(shuō)明點(diǎn)D的位置，若不存在，說(shuō)明理由(1)證明AEA1B1，A1B1AB，AEAB，又AA1AB，AA1面A1ACC1，AE面A1ACC1，AA1AEA，AB面A1ACC1.又AC面A1ACC1，ABAC，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則有A(0,0,0)，E，F(xiàn)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，由(1)可知平面ABC的法向量n(0,0,1)設(shè)平面DEF的法向量為m(x，y，z)，則(，)，即令z2(1)，則n(3,12，2(1)平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為，|cosm，n|，即，解得或(舍)，當(dāng)點(diǎn)D為A1B1中點(diǎn)時(shí)滿足要求6如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，平面ABEF為正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE與二面角CBEF都是60.(1)證明：平面ABEFEFDC；(2)求二面角EBCA的余弦值由(1)知DFE為二面角DAFE的平面角，故DFE60，則DF2，DG，可得A(1,4,0)，B(3,4,0)，E(3,0,0)，D(0,0，)由已知，ABEF，所以AB平面EFDC，又平面ABCD平面EFDCCD，故ABCD，CDEF，由BEAF，可得BE平面EFDC，所以CEF為二面角CBEF的平面角，CEF60，從而可得C(2,0，)所以(1,0，)，(0,4,0)，(3，4，)，(4,0,0)設(shè)n(x，y，z)是平面BCE的法向量，則即所以可取n(3,0，)設(shè)m是平面ABCD的法向量，則同理可取m(0，4)，則cosn，m.故二面角EBCA的余弦值為.易錯(cuò)起源1、利用向量證明平行與垂直例1、如圖，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DF的中點(diǎn)運(yùn)用向量方法證明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.證明方法一由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，0, .棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一個(gè)法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的一個(gè)法向量分別為n1n20，平面MDF平面EFCD.方法二(1)()().向量與向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由題意知，BF，BC，BA兩兩垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EFCD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.【變式探究】如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.證明(1)以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.【名師點(diǎn)睛】用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線ab，只需證明向量ab(R)即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.易錯(cuò)起源2、利用空間向量求空間角例2、如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)解以，為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)因?yàn)锳D平面PAB，所以是平面PAB的一個(gè)法向量，(0,2,0)因?yàn)?1,1，2)，(0,2，2)設(shè)平面PCD的法向量為m(x，y，z)，則m0，m0，即令y1，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量從而cos，m，從而cos，.設(shè)12t，t1,3，則cos2，.當(dāng)且僅當(dāng)t，即時(shí)，|cos，|的最大值為.因?yàn)閥cosx在上是減函數(shù)，此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值又因?yàn)锽P，所以BQBP.【變式探究】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABAC1，AA12，點(diǎn)P是棱BB1上一點(diǎn)，滿足 (01)(1)若，求直線PC與平面A1BC所成角的正弦值；(2)若二面角PA1CB的正弦值為，求的值解以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，分別以AB，AC，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAC1，AA12，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，P(1,0,2)從而平面A1BC的一個(gè)法向量為n1(2,2,1)設(shè)直線PC與平面A1BC所成的角為，則sin|cos，n1|，所以直線PC與平面A1BC所成的角的正弦值為.(2)設(shè)平面PA1C的法向量為n2(x2，y2，z2)，(1,0,22)，由得【名師點(diǎn)睛】 (1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論(2)求空間角注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos|cos|.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，即注意函數(shù)名稱的變化【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線夾角設(shè)l，m的夾角為(0)，則cos.(2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為(0)，則sin|cosa，|.(3)面面夾角設(shè)平面、的夾角為(0<)，則|cos|cos，v|.易錯(cuò)起源3、利用空間向量求解探索性問(wèn)題例3、如圖所示，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)由題意，易得DMDA，DMDC，DADC.如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DM所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.所以異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，連接AE.因?yàn)?0,1,1)，可設(shè)(0，)，0,1，【變式探究】如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且ABBP2，ADAE1，AEAB，且AEBP.(1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD的中點(diǎn)，求證：EM平面ABCD；(2)線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)證明由已知，平面ABCD平面ABPE，且BCAB，則BC平面ABPE，所以BA，BP，BC兩兩垂直，故以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則P(0,2,0)，D(2,0,1)，M，E(2,1,0)，C(0,0,1)，所以.易知平面ABCD的一個(gè)法向量n(0,1,0)，所以n(1,0，)(0,1,0)0，取y11，得平面PCD的一個(gè)法向量等于n1(0,1,2)，假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成的角的正弦值等于.設(shè) (01)，則(2，2,1)(2，2，)，(2，22，)所以sin|cos，n1|.所以92810，解得1或(舍去)因此，線段PD上存在一點(diǎn)N，當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于.【名師點(diǎn)睛】空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法【錦囊妙計(jì)，戰(zhàn)勝自我】存在探索性問(wèn)題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)是否存在或某一結(jié)論是否成立解決這類問(wèn)題的基本策略是先假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立)或暫且認(rèn)可其中的一部分結(jié)論，然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論1已知平面ABC，點(diǎn)M是空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)M滿足條件，則直線AM()A與平面ABC平行B是平面ABC的斜線C是平面ABC的垂線D在平面ABC內(nèi)答案D解析由已知得M、A、B、C四點(diǎn)共面所以AM在平面ABC內(nèi)，選D.2.如圖，點(diǎn)P是單位正方體ABCDA1B1C1D1中異于A的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為()A0B1C0或1D任意實(shí)數(shù)答案C解析可為下列7個(gè)向量：，其中一個(gè)與重合，|21；，與垂直，這時(shí)0；，與的夾角為45，這時(shí)1cos1，最后1cosBAC11，故選C.3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)若S1，S2，S3分別是三棱錐DABC在xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析如圖所示，4如圖，三棱錐ABCD的棱長(zhǎng)全相等，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，則直線CE與BD所成角的余弦值為()A.B.C.D.答案A解析設(shè)AB1，則()()2cos60cos60cos60.cos，.選A.5已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.B.C.D.答案A6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是_答案0,1解析以DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)(0,1,0)，(1，1,1)點(diǎn)P在線段BD1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)(，)，且01.(，1，)，10,17在一直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,6)，B(3，8)，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60的二面角，則折疊后A、B兩點(diǎn)間的距離為_答案2解析如圖為折疊后的圖形，其中作ACCD，BDCD，則AC6，BD8，CD4，兩異面直線AC，BD所成的角為60，故由，得|2|268，|2.8已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；()0；向量與向量的夾角是60；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|.其中正確命題的序號(hào)是_答案解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，中()22323，故正確；中9.如圖所示，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，F(xiàn)AFE，AEF45.(1)求證：EF平面BCE；(2)設(shè)線段CD，AE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P，M，求證：PM平面BCE.證明因?yàn)锳BE是等腰直角三角形，ABAE，所以AEAB，因?yàn)槠矫鍭BEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB.所以AE平面ABCD，所以AEAD，即AD，AB，AE兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AB1，則ADAE1. (1)A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)，因?yàn)镕AFE，AEF45，所以AFE90，(2)M，P(1，0)，從而(1，)，于是00.所以PMEF，又EF平面BCE，直線PM不在平面BCE內(nèi)，故PM平面BCE.10.如圖所示的多面體中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE2，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)(1)求證：CMEM；(2)求平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值則M(0,0,0)，C(0，0)，B(，0,0)，D(，0,2)，E(，0,1)，(，0,1)，(0，0)，(0,0,2)，(，0)，設(shè)平面EMC的一個(gè)法向量m(x1，y1，z1)，則即平面EMC與平面BCD所成的銳二面角的余弦值為.