《高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 三 壓軸題專練 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 第三編 考前沖刺攻略 第三步 應(yīng)試技能專訓(xùn) 三 壓軸題專練 理（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
三、壓軸題專練
(一)
1.如圖，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓M恰好與直線x＋y＋3＝0相切．
(1)求橢圓的方程；
(2)過F作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得NF恰好為△PNQ的內(nèi)角平分線，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
解 (1)由題意可知F(－c,0)，
∵e＝，∴b＝c，即B(0，c)，
∵kBF＝＝，又∵BC⊥BF，
∴kBC＝－，∴C(3c,0)，
圓M的圓心坐標(biāo)為(c,0)，半徑為2c，
由直線x＋y＋3＝0與圓M相切可得＝2c，∴c＝1.∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N(x0,0)
由題意可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)(k≠0)，
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵NF為△PNQ的內(nèi)角平分線，
∴kNP＝－kNQ，即＝－，
∴＝?(x1＋1)(x2－x0)＝－(x2＋1)(x1－x0)．∴x0＝.
又∴3x2＋4k2(x＋1)2＝12.
∴(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∴x0＝＝－4，
∴存在滿足條件的點(diǎn)N，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－4,0)．
2.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)m≥0時(shí)，討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝，
當(dāng)m≤0時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間．
當(dāng)m>0時(shí)，f′(x)＝，
當(dāng)0
時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
綜上：當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x>0，問題等價(jià)于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
當(dāng)m＝0時(shí)，F(xiàn)(x)＝－x2＋x，x>0，有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)m≠0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝－，
當(dāng)m＝1時(shí)，F(xiàn)′(x)≤0，函數(shù)F(x)為減函數(shù)，注意到F(1)＝>0，F(xiàn)(4)＝－ln 4<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)m>1時(shí)，0m時(shí)，F(xiàn)′(x)<0；10，所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上單調(diào)遞減，在(1，m)上單調(diào)遞增，注意到F(1)＝m＋>0，
F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)01時(shí)，F(xiàn)′(x)<0；m0，
所以函數(shù)F(x)在(0，m)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(m,1)上單調(diào)遞增，易得ln m<0，
所以F(m)＝(m＋2－2ln m)>0，而F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零點(diǎn)．
綜上，函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn)，即兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)．
3．選做題
(1)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝.
①直接寫出直線l的普通方程、曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)曲線C上的點(diǎn)到直線l的距離為d，求d的取值范圍．
(2)選修4－5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－a|＋2a.
①若不等式f(x)≤6的解集為{x|－6≤x≤4}，求實(shí)數(shù)a的值．
②在①的條件下，若不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解 (1)①直線l的普通方程為x－y＋3＝0.
曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2＋y2＝3.
②∵曲線C的直角坐標(biāo)方程為3x2＋y2＝3，
即x2＋＝1，
∴曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為(cosα，sinα)．
∵2sin＋3≥1>0，
∴d＝＝
＝.
∴d的最小值為＝，d的最大值為＝.
∴≤d≤，即d的取值范圍為.
(2)①∵|2x－a|＋2a≤6，∴|2x－a|≤6－2a，
∴2a－6≤2x－a≤6－2a，
∴a－3≤x≤3－，
∵不等式f(x)≤6的解集為{x|－6≤x≤4}，
∴解得a＝－2.
②由①得f(x)＝|2x＋2|－4.
∴|2x＋2|－4≤(k2－1)x－5，
化簡整理得|2x＋2|＋1≤(k2－1)x，
令g(x)＝|2x＋2|＋1＝
y＝g(x)的圖象如圖所示，
要使不等式f(x)≤(k2－1)x－5的解集非空，需k2－1>2或k2－1≤－1，
∴k的取值范圍是{k|k>或k<－或k＝0}．
(二)
1.[2016西安質(zhì)檢] 如圖所示，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2＝8y的準(zhǔn)線上．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)點(diǎn)P(2，)，Q(2，－)在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．
解 (1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)．
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)恰好在拋物線x2＝8y的準(zhǔn)線y＝－2上，
∴－b＝－2，解得b＝2.
又＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝4，c＝2.
可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵∠APQ＝∠BPQ，則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
可設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k，
直線PA的方程為：y－＝k(x－2)，
聯(lián)立
化為(1＋4k2)x2＋8k(－2k)x＋4(－2k)2－16＝0，
∴x1＋2＝.
同理可得：x2＋2＝＝，
∴x1＋x2＝，x1－x2＝，
kAB＝＝＝.
∴直線AB的斜率為定值.
2．[2016河南六市一聯(lián)]已知函數(shù)f(x)＝aln x－x，g(x)＝x2－(1－a)x－(2－a)ln x，其中a∈R.
(1)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)若函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，問：函數(shù)F(x)的圖象在點(diǎn)(x0，F(xiàn)(x0))處的切線能否平行于x軸？
解 (1)g′(x)＝2x－(1－a)－
＝，
∵g(x)的定義域?yàn)閧x|x>0}，且g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
∴g′(x)≥0在x>0時(shí)恒成立，
則2x2－(1－a)x－(2－a)≥0在x>0時(shí)恒成立，
∴a≥5－在x>0時(shí)恒成立．
而當(dāng)x>0時(shí)，2(x＋1)＋>3，
∴a∈[2，＋∞)．
(2)設(shè)F(x)的圖象在(x0，F(xiàn)(x0))處的切線平行于x軸，F(xiàn)(x)＝2ln x－x2－ax，F(xiàn)′(x)＝－2x－a，不妨設(shè)A(m,0)，B(n,0)，00(t∈(0,1))，
∴函數(shù)h(t)＝ln t－在(0,1)上單調(diào)遞增，因此h(t)1時(shí)，不等式化為x2－x<－x＋，所以x∈?.
綜上所述，不等式的解集為.
②證明：由已知任意x1，x2∈[0,1]且x1≠x2，則不妨設(shè)x2>x1，
則當(dāng)x2－x1≤時(shí)，|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|≤，
當(dāng)x2－x1>時(shí)，則x1<，且1－x2<，
那么|f(x1)－f(x2)|＝|f(x1)－f(0)＋f(1)－f(x2)|≤|f(x1)－f(0)|＋|f(1)－f(x2)|0)．
(1)若a＝1，證明：y＝f(x)在R上單調(diào)遞減；
(2)當(dāng)a>1時(shí)，討論f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
解 (1)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)≤f(1)＝0；
當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，且此時(shí)f(x)>0.
所以y＝f(x)在R上單調(diào)遞減．
(2)若x≥a，則f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，
所以此時(shí)f(x)單調(diào)遞減，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，
則g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)2時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此時(shí)f(x)在上有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝ex－1，此時(shí)f(x)在(－∞，2)上沒有零點(diǎn)．
③當(dāng)10，
所以此時(shí)f(x)沒有零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)12時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)．
3．選做題
(1)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P.
①求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②求＋的值．
(2)選修4－5：不等式選講
已知實(shí)數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集為R.
①求m，n的值；
②若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，求證：＋＋≤.
解 (1)①利用極坐標(biāo)公式，把曲線C的極坐標(biāo)方程
ρ＝2sin化為ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，
∴普通方程是x2＋y2＝2y＋2x，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
②∵直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，
把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程 (x－1)2＋(y－1)2＝2中，得t2－t－1＝0，
∴
∴＋＝＋
＝＝
＝＝.
(2)①由于解集為R，那么x＝3，x＝－1都滿足不等式，即有
即解得m＝－2，n＝－3，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m＝－2，n＝－3時(shí)，不等式的解集是R.
②證明：a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，
∴(＋＋)2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3，
故＋＋≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號)．
(四)
1.[2016石家莊模擬]已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)M(m,2)，其焦點(diǎn)為F，且|MF|＝2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)E為y軸上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作不經(jīng)過原點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線C和圓F：(x－1)2＋y2＝1相切，切點(diǎn)分別為A，B，求證：直線AB過定點(diǎn)．
解 (1)拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－，
∴|MF|＝m＋＝2，又4＝2pm，即4＝2p，
∴p2－4p＋4＝0，∴p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)證明：設(shè)點(diǎn)E(0，t)(t≠0)，由已知切線不為y軸，設(shè)EA：y＝kx＋t，聯(lián)立消去y，可得k2x2＋(2kt－4)x＋t2＝0，①
∵直線EA與拋物線C相切，∴Δ＝(2kt－4)2－4k2t2＝0，即kt＝1，代入 ①可得x2－2x＋t2＝0，∴x＝t2，即A(t2,2t)．
設(shè)切點(diǎn)B(x0，y0)，則由幾何性質(zhì)可以判斷點(diǎn)O，B關(guān)于直線EF：y＝－tx＋t對稱，則
解得
即B.
解法一：直線AB的斜率為kAB＝(t≠1)，
直線AB的方程為y＝(x－t2)＋2t，
整理得y＝(x－1)，
∴直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0)，
當(dāng)t＝1時(shí)，A(1，2)，B(1，1)，此時(shí)直線AB為x＝1，過點(diǎn)F(1,0)．
綜上，直線AB恒過定點(diǎn)F(1,0)．
解法二：直線AF的斜率為kAF＝(t≠1)，
直線BF的斜率為kBF＝＝(t≠1)，
∴kAF＝kBF，即A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
當(dāng)t＝1時(shí)，A(1，2)，B(1，1)，此時(shí)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
∴直線AB過定點(diǎn)F(1,0)．
2．[2016貴州測試]設(shè)n∈N*，函數(shù)f(x)＝，函數(shù)g(x)＝(x>0)．
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖象分別位于直線y＝1的兩側(cè)，求n的取值集合A；
(3)對于?n∈A，?x1，x2∈(0，＋∞)，求|f(x1)－g(x2)|的最小值．
解 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝，f′(x)＝(x>0)．
由f′(x)>0得0e.
所以函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減，
因?yàn)閒(e)＝>0，f＝－e<0，所以函數(shù)f(x)在(0，e)上存在一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f(x)＝>0恒成立，
所以函數(shù)f(x)在(e，＋∞)上不存在零點(diǎn)．
綜上得函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)．
(2)對函數(shù)f(x)＝求導(dǎo)，得f′(x)＝(x>0)，
由f′(x)>0，得0e；.
所以函數(shù)f(x)在(0，e；)上單調(diào)遞增，在(e；，＋∞)上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x＝e；時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值f(x)max＝f(e；)＝.
對函數(shù)g(x)＝(x>0)求導(dǎo)，得g′(x)＝(x>0)，
由g′(x)>0，得x>n；由g′(x)<0，得00)在直線y＝1的上方，
所以g(x)min＝g(n)＝n>1，解得n2的解集；
②若對任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范圍．
解 (1)①x2＝2＝(sinα＋cosα)2＝sin2α＋1＝y(tǒng)，
所以C1的普通方程為y＝x2.
將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入C2的方程得x2＋y2＝4y－3，
所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＋3＝0.
②將x2＋y2－4y＋3＝0變形為x2＋(y－2)2＝1，它的圓心為C(0,2)．
設(shè)P(x0，y0)為C1上任意一點(diǎn)，則y0＝x，從而|PC|2＝(x0－0)2＋(y0－2)2＝x＋(x－2)2＝x－3x＋4＝2＋，
所以當(dāng)x＝時(shí)，|PC|min＝，
故曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值為－1.
(2)①當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，此時(shí)由f(x)>2得x<；
當(dāng)12無解；
當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，此時(shí)由f(x)>2得x>.
綜上可得不等式f(x)>2的解集為
∪.
②因?yàn)閒(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等價(jià)于|a|≥a2－3a－3.
當(dāng)a≥0時(shí)，有a≥a2－3a－3，即a2－4a－3≤0，
解得2－≤a≤2＋，此時(shí)有0≤a≤2＋.
當(dāng)a<0時(shí)，有－a≥a2－3a－3，即a2－2a－3≤0，
解得－1≤a≤3，此時(shí)有－1≤a<0.
綜上可知a的取值范圍是[－1,2＋]．
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