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2017年高考全真模擬試題(一)
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分．
第Ⅰ卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|－1≤2x－1≤0}，則(?RA)∩B＝( )
A．(4，＋∞) B.
C. D．(1,4]
答案 B
解析 由題意得，A＝[4，＋∞)，B＝，∴(?RA)∩B＝，故選B.
2．設(shè)復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虛數(shù)單位，a∈R)，若z1z2∈R，則a等于( )
A．1 B．－1
C．4 D．－4
答案 C
解析 依題意，復(fù)數(shù)z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是實(shí)數(shù)，因此4－a＝0，a＝4，選C.
3．已知命題p：若a
0，使得x0－1－ln x0＝0，則下列命題為真命題的是( )
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案 C
解析 依題意，對于p，注意到當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，因此命題p是假命題；對于q，注意到當(dāng)x0＝1時(shí)，x0－1－ln x0＝0，因此命題q是真命題，命題綈p是真命題，p∧q是假命題，p∨(綈q)是假命題，(綈p)∧q是真命題，(綈p)∧(綈q)是假命題．綜上所述，選C.
4．某單位員工按年齡分為A，B，C三組，其人數(shù)之比為5∶4∶1，現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個容量為20的樣本，若C組中甲、乙二人均被抽到的概率是，則該單位員工總數(shù)為( )
A．110 B．100
C．90 D．80
答案 B
解析 設(shè)C組有n人，則＝，n＝10，
∴共有10(5＋4＋1)＝100人，故選B.
5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a2－8a5＝0，則的值為( )
A. B.
C．2 D．17
答案 B
解析 設(shè){an}的公比為q，依題意得＝＝q3，因此q＝.注意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，＝q4＋1＝，選B.
6．若(x2－a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于( )
A. B.
C．1 D．2
答案 D
解析 依題意，注意到10的展開式的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝Cx10－rr＝Cx10－2r，10的展開式中含x4(當(dāng)r＝3時(shí))、x6(當(dāng)r＝2時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為C、C，因此由題意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，選D.
7．[2016陜西質(zhì)量檢測]如圖，給出的是計(jì)算＋＋＋…＋的值的程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是( )
A．i≤2021? B．i≤2019?
C．i≤2017? D．i≤2015?
答案 C
解析 由題知，判斷框內(nèi)可填“i≤2016？”或“i≤2017？”或“i<2017？”或“i<2018？”，故選C.
8．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f的值為( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
答案 D
解析 由圖象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，則ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，則f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，選項(xiàng)D正確．
9．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為( )
A.π B.
C．3π D．3
答案 A
解析 由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為π3＝π，故選A.
10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則x2＋(y＋2)2的取值范圍是( )
A. B．[1,17]
C．[1，] D.
答案 A
解析 畫出可行域如圖陰影部分所示，設(shè)x2＋(y＋2)2＝r2，當(dāng)圓過點(diǎn)A(－1,2)時(shí)，r2取得最大值為(－1)2＋(2＋2)2＝1＋16＝17；當(dāng)圓與直線x－y－1＝0相切時(shí)，r取得最小值為＝，則r2＝，∴x2＋(y＋2)2的取值范圍是.
11．已知點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為( )
A．2 B．4
C. D.
答案 C
解析 由題意，設(shè)|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，則BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，又|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝＝，故選C.
12．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f(x)＝－log(－x)，則方程f(x)－＝0在(0,6)內(nèi)的所有根之和為( )
A．8 B．10
C．12 D．16
答案 C
解析 ∵奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
∴f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(x＋2)＝f(x＋4)，
∴f(x)是周期函數(shù)，其周期T＝4.又當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)＝－log(－x)，故f(x)在(0,6)上的函數(shù)圖象如圖所示．
由圖可知方程f(x)－＝0在(0,6)內(nèi)的根共有4個，其和為x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12，故選C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分．第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)
13．已知在(－1,1)上函數(shù)f(x)＝且f(x)＝－，則x的值為________．
答案 －
解析 通解：當(dāng)－10
解析 當(dāng)x<1時(shí)，y＝＋be2x－1，∴y′＝＋2be2x－1，∴y′|x＝0＝＋2be－1＝－①，又
y|x＝0＝＋be－1＝②，由①②得a＝1，b＝0，
∴y＝.
∵y＝與y＝k(x－1)3的圖象有三個公共點(diǎn)，
∴－k(x－1)3＝0有三個根．x＝1顯然為方程的一個根，∴＝還有兩個相異的根，即f1(x)＝與f2(x)＝＝的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，在直角坐標(biāo)系中畫出圖象，結(jié)合圖象(圖略)易得>－4，解得k<－或k>0.
三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．[2016石家莊質(zhì)檢(二)](本小題滿分12分)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bcosC＋c＝2a.
(1)求角B的大小；
(2)若BD為AC邊上的中線，cosA＝，BD＝，求△ABC的面積．
解 (1)2bcosC＋c＝2a，
由正弦定理，得2sinBcosC＋sinC＝2sinA，
因?yàn)锳＋B＋C＝π，
所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
2sinBcosC＋sinC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)，
sinC＝2cosBsinC，
因?yàn)?b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2，2)，且離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓E的左，右焦點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若點(diǎn)A，B是橢圓E上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)(A，B不是長軸的端點(diǎn))，點(diǎn)P是橢圓E上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB分別交y軸于點(diǎn)M，N，求證：直線MF1與直線NF2的交點(diǎn)G在定圓上．
解 (1)由條件得a＝4，b＝c＝2，
故橢圓E的方程為＋＝1.
(2)設(shè)B(x0，y0)，P(x1，y1)，則A(－x0，y0)．
直線PA的方程為y－y1＝(x－x1)，
令x＝0，得y＝，
故M.同理可得N.
所以＝，
＝，
所以＝
＝－8＋＝－8＋
＝－8＋8＝0，
所以F1M⊥F2N，所以直線MF1與直線NF2的交點(diǎn)G在以F1F2為直徑的圓上.
21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2－2ax＋1(a為常數(shù))．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若存在x0∈(0,1]，使得對任意的a∈(－2,0]，不等式2mea(a＋1)＋f(x0)>a2＋2a＋4(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解 (1)f′(x)＝＋2x－2a＝(x>0)，記g(x)＝2x2－2ax＋1.
①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤>0，所以g(x)>1>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②當(dāng)0時(shí)，由
解得x∈，
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．
(2)由(1)知當(dāng)a∈(－2,0]時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，函數(shù)f(x)的最大值是f(1)＝2－2a，對任意的a∈(－2,0]，都存在x0∈(0,1]，使得不等式2mea(a＋1)＋f(x0)>a2＋2a＋4成立，
等價(jià)于對任意的a∈(－2,0]，不等式2mea(a＋1)＋f(x0)max>a2＋2a＋4都成立，
即對任意的a∈(－2,0]，不等式2mea(a＋1)－a2－4a－2>0都成立，
記h(a)＝2mea(a＋1)－a2－4a－2，由h(0)>0?2m>2?m>1，
h′(a)＝2mea(a＋1)＋2mea－2a－4＝2(a＋2)(mea－1)，
由h′(a)＝0得a＝－2或a＝－ln m，因?yàn)閍∈(－2,0]，所以2(a＋2)>0，
①當(dāng)10，所以h(a)min＝h(－ln m)＝ln m(2－ln m)>0，
所以a∈(－2,0]時(shí)，h(a)>0恒成立；
②當(dāng)m＝e2時(shí)，h′(a)＝2(a＋2)(ea＋2－1)，因?yàn)閍∈(－2,0]，所以h′(a)>0，
此時(shí)h(a)在(－2,0]上單調(diào)遞增，
且h(－2)＝2e2e－2(－1)－4＋8－2＝0，
所以a∈(－2,0]時(shí)，h(a)>h(－2)＝0成立；
③當(dāng)m>e2時(shí)，h(－2)＝－2＋2<0，h(0)＝2m－2>0，
所以存在a0∈(－2,0)使得h′(a0)＝0，因此h(a)>0不恒成立．
綜上，m的取值范圍是(1，e2].
請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
22.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知平面直角坐標(biāo)系xOy，直線l的參數(shù)方程為，若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＋2cosθ＝0.
(1)寫出直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
(2)若直線l與曲線C相切，求tanα的值．
解 (1)由消去參數(shù)t得y＝tanα(x－1)，
所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα(x－1)．
由ρsin2θ＋2cosθ＝0，得ρ2sin2θ＋2ρcosθ＝0，
將代入，解得曲線C的直角坐標(biāo)方程y2＝－2x.
(2)由(1)，聯(lián)立方程組
化簡得tan2αx2＋2(1－tan2α)x＋tan2α＝0，
則由Δ＝4(1－tan2α)2－4tan4α＝0，
解得tanα＝.
23.(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講
已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象過原點(diǎn)，且|f(x)|≤1的解集為{x|－1≤x≤3}，求f(x)的解析式；
(2)若x＝－1,0,1時(shí)的函數(shù)值的絕對值均不大于1，當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，求證：|ax＋b|≤2.
解 (1)由函數(shù)f(x)的圖象過原點(diǎn)，得c＝0，
所以|f(x)|≤1可化為|ax2＋bx|≤1，其解集為{x|－1≤x≤3}，則由數(shù)形結(jié)合得|ax2＋bx|＝1的解為x＝－1或x＝3，且≤1，
解得a＝－，b＝或a＝，b＝－，
所以f(x)＝－x2＋x或f(x)＝x2－x.
(2)證明：由題意知
若證x∈[－1,1]時(shí)，|ax＋b|≤2，
則只需證|a＋b|≤2且|a－b|≤2，
因?yàn)閨a＋b|＝|(a＋b＋c)－c|≤|a＋b＋c|＋|c|≤2，
|a－b|＝|(a－b＋c)－c|≤|a－b＋c|＋|c|≤2，
所以|ax＋b|≤2.
高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí) 全真模擬試題1 理
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