高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 專題四 數(shù)列、推理與證明 第4講 推理與證明練習 理

第4講推理與證明1(2016課標全國丙)定義“規(guī)范01數(shù)列”an如下：an共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，a1，a2，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)若m4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A18個 B16個 C14個 D12個答案C解析第一位為0，最后一位為1，中間3個0,3個1,3個1在一起時為000111,001110；只有2個1相鄰時，共A個，其中110100；110010；110001,101100不符合題意，三個1都不在一起時有C個，共28414(個)2(2016山東)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.答案n(n1)解析觀察等式右邊的規(guī)律：第1個數(shù)都是，第2個數(shù)對應行數(shù)n，第3個數(shù)為n1.3(2016課標全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_答案1和3解析由丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，所以甲只能為“1和3”1.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題.熱點一歸納推理1歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理2歸納推理的思維過程如下：例1(1)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為n2n，記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(8,12)_.(2)已知f(n)1(nN*)，經(jīng)計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有_答案(1)288(2)f(2n)>(n2，nN*)解析(1)原已知式子可化為N(n,3)n2nn2n，N(n,4)n2n2n，N(n,5)n2nn2n，N(n,6)2n2nn2n，由歸納推理可得N(n，k)n2n，故N(8,12)828288.(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當n2時，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*)思維升華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數(shù)學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關的命題時有著廣泛的應用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85(2)用黑白兩種顏色的正方形地磚依照下圖所示的規(guī)律拼成若干個圖形，則按此規(guī)律，第100個圖形中有白色地磚_塊；現(xiàn)將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，則豆子落在白色地磚上的概率是_答案(1)D(2)503解析(1)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件(2)按拼圖的規(guī)律，第1個圖有白色地磚(331)塊，第2個圖有白色地磚(352)塊，第3個圖有白色地磚(373)塊，則第100個圖中有白色地磚3201100503(塊)第100個圖中黑白地磚共有603塊，則將一粒豆子隨機撒在第100個圖中，豆子落在白色地磚上的概率是.熱點二類比推理1類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理2類比推理的思維過程如下：例2(1)已知結論：“在正ABC中，若D是邊BC的中點，G是ABC的重心，則2”若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則等于()A1 B2 C3 D4(2)已知雙曲正弦函數(shù)sh x和雙曲余弦函數(shù)ch x與我們學過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質，請類比正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和角或差角公式，寫出雙曲正弦或雙曲余弦函數(shù)的一個類似的正確結論_答案(1)C(2)ch(xy)ch xch ysh xsh y解析(1)如圖，設正四面體的棱長為1，則易知其高AM，此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等積法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.(2)ch x ch ysh x sh y(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，故知ch(xy)ch xch ysh xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y，或sh(xy)sh xch ych xsh y.思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產(chǎn)生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比，也可以由解題方法上的類似引起當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比跟蹤演練2(1)公比為4的等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項積，則有，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結論，相應地在公差為3的等差數(shù)列an中，若Sn是an的前n項和，則有一相應的S20S10，S30S20，S40S30成等差數(shù)列，該等差數(shù)列的公差為_(2)若點P0(x0，y0)在橢圓1(a>b>0)外，過點P0作該橢圓的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為1.那么對于雙曲線1(a>0，b>0)，類似地，可以得到切點弦所在直線的方程為_答案(1)300(2)1解析(1)在等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項積，則有，也成等比數(shù)列，且公比為4100；類比上述結論，在公差為3的等差數(shù)列an中，我們可以類比推斷出：S20S10，S30S20，S40S30也構成等差數(shù)列，公差為100d300.(2)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過點P1，P2的切線的方程分別為1，1.因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，所以1，1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線1上，故切點弦P1P2所在直線的方程為1.熱點三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因導果，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設結論導出矛盾的證明方法例3已知an是正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(，an1) (nN*)在函數(shù)yx21的圖象上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，bn1bn2，求證：bnbn2<b.(1)解由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所以數(shù)列an是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列故an1(n1)1n.(2)證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因為bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n<0，所以bnbn2<b.思維升華(1)有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候分析法和綜合法交替使用跟蹤演練3(1)已知ABC的三個內角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：；(2)已知f(x)ax(a>1)，證明：方程f(x)0沒有負根證明(1)要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假設x0是f(x)0的負根，則x0<0，且x01，所以0<<1，解得<x0<2，這與x0<0矛盾，故方程f(x)0沒有負根熱點四數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明的步驟(1)證明當n取第一個值n0(n0N*)時結論成立(2)假設nk(kN*，且kn0)時結論成立，證明nk1時結論也成立由(1)(2)可知，對任意nn0，且nN*時，結論都成立例4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，通項公式為an，f(n)(1)計算f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)比較f(n)與1的大小，并用數(shù)學歸納法證明你的結論解(1)由題意知f(1)S21，f(2)S4S1，f(3)S6S2.(2)由(1)知f(1)>1，f(2)>1；下面用數(shù)學歸納法證明：當n3時，f(n)<1.由(1)知當n3時，f(n)<1；假設當nk(k3，kN*)時，f(k)<1，即f(k)<1，那么當nk1時，f(k1)()<1()()11<1，所以當nk1時，f(n)<1也成立由和知，當n3時，f(n)<1.所以當n1和n2時，f(n)>1；當n3時，f(n)<1.思維升華用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的等式命題時，關鍵在于弄清等式兩邊的構成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，由nk到nk1時，等式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項難點在于尋求等式在nk和nk1時的聯(lián)系跟蹤演練4設a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的結論(1)解a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明由(1)易知，n1時，猜想正確假設nk時猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時猜想正確由知，對于任何nN*，都有an.1將正整數(shù)作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，分別計算各組包含的正整數(shù)的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，試猜測S1S3S5S2 015_.押題依據(jù)數(shù)表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數(shù)表中對應的各組包含的正整數(shù)的和的計算為依托，圍繞簡單的計算、歸納猜想以及數(shù)學歸納法的應用等，考查考生歸納猜想能力以及對數(shù)學歸納法邏輯推理證明步驟的掌握程度答案1 0084解析由題意知，當n1時，S1114；當n2時，S1S31624；當n3時，S1S3S58134；當n4時，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.S1S3S5S2 0151 0084.2已知下列不等式：x2，x3，x4，則第n個不等式為_押題依據(jù)根據(jù)n個等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點，相對而言，歸納推理在高考中出現(xiàn)的機率較大答案xn1解析已知所給不等式的左邊第一個式子都是x，不同之處在于第二個式子，當n1時，為；當n2時，為；當n3時，為；顯然式子中的分子與分母是對應的，分母為xn，分子是nn，所以不等式左邊的式子為x，顯然不等式右邊的式子為n1，所以第n個不等式為xn1.3設數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，證明：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列押題依據(jù)反證法是一種重要的證明方法，對含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時有涉及證明假設Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與q0矛盾，故Sn不是等比數(shù)列A組專題通關1觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76C123 D199答案C解析觀察可得各式的值構成數(shù)列1,3,4,7,11，其規(guī)律為從第三項起，每項等于其前相鄰兩項的和，所求值為數(shù)列中的第10項繼續(xù)寫出此數(shù)列為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，第10項為123，即a10b10123.2設a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2答案C解析假設a，b，c都大于2，即a>2，b>2，c>2，將三式相加，得abc>6，又因為a2，b2，c2，所以abc6，所以假設不成立，故選C.3正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)sin(x21)是正弦函數(shù)，因此f(x)sin(x21)是奇函數(shù)，以上推理()A結論正確 B大前提不正確C小前提不正確 D全不正確答案C解析因為f(x)sin(x21)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確4某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一個人說了真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜]有偷根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是()A甲 B乙 C丙 D丁答案A解析假如甲說了真話，則乙、丙、丁都說了假話，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠寶，顯然矛盾，故甲說了假話，即甲是小偷，故選A.5設a，bR，定義：M(a，b)，m(a，b)，則下列式子錯誤的是()AM(a，b)m(a，b)abBm(|ab|，|ab|)|a|b|CM(|ab|，|ab|)|a|b|Dm(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)答案B解析M(a，b)m(a，b)m(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)，D正確；M(a，b)m(a，b)ab，A正確；m(|ab|，|ab|)B錯誤；M(|ab|，|ab|)C正確故選B.6對于任意的兩個實數(shù)對(x1，y1)和(x2，y2)，規(guī)定：(x1，y1)(x2，y2)，當且僅當運算“”為(x1，y1)(x2，y2)(x1x2y1y2，y1x2x1y2)；運算“”為(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)設k，nR，若(1,2)(k，n)(3,1)，則(1,2)(k，n)_.答案(2,1)解析由(1,2)(k，n)(3,1)，得解得所以(1,2)(k，n)(1,2)(1，1)(2,1)7宋元時期杰出的數(shù)學家朱世杰在其數(shù)學巨著四元玉鑒卷中“茭草形段”第一個問題“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵(同垛)之問底子(每層三角形邊茭草束數(shù)，等價于層數(shù))幾何？”中探討了“垛枳術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束，下一層3束，再下一層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層茭草束數(shù))，則本問題中三角垛底層茭草總束數(shù)為_答案120解析由題意，第n層茭草束數(shù)為12n，136680，即為n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)680，即有n(n1)(n2)151617，n15，120.8如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析由題意知，凸函數(shù)滿足f()，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數(shù)，則sin Asin Bsin C3sin3sin.9某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結論解方法一(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.10已知a，b，m為非零實數(shù)，且a2b22m0，12m0.(1)求證：；(2)求證：m.證明(1)(分析法)要證成立，只需證()(a2b2)9，即證149，即證4.根據(jù)基本不等式，有2 4成立，所以原不等式成立(2)(綜合法)因為a2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因為a2b2m2>0.所以m>2，故m1舍去，所以m.B組能力提高11已知正方形ABCD的邊長是a，依次連接正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點又得到一個新的正方形，由此規(guī)律，依次得到一系列的正方形，如圖所示現(xiàn)有一只小蟲從A點出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段則這10條線段長度的平方和是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析由題意可知，這只小蟲爬行的第一條線段長度的平方為a(a)2a2，第二條線段長度的平方為a(a)2a2，第三條線段長度的平方為a(a)2a2，從而可知，小蟲爬行的線段長度的平方可以構成以aa2為首項，為公比的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的前10項和為S10.故選A.12對大于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是59，則m的值為_答案8解析由已知可觀察出m3可分裂為m個連續(xù)奇數(shù)，最小的一個為(m1)m1.當m8時，最小的數(shù)為57，第二個便是59.m8.13如圖(1)，已知O是ABC內任意一點，連接AO，BO，CO并延長交對邊分別于點A，B，C，則1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”：1.請運用類比思想，如圖(2)所示，在空間四面體VBCD中，任取一點O，連接VO，DO，BO，CO并延長分別交四個面于點E，F(xiàn)，G，H，用“體積法”可得的類似結論為_答案1解析利用類比推理，面積類比體積14蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(shù)(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達式(不要求證明)；(2)證明：<.(1)解f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，當n2時，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.(2)證明當k2時，<()所以<1(1)()()1(1)<1.