高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題三 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第1講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 文

第1講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1(2016四川改編)為了得到函數(shù)ysin的圖象，只需把函數(shù)ysin 2x的圖象上所有的點(diǎn)向_平行移動(dòng)_個(gè)單位長(zhǎng)度答案右解析由題意可知，ysinsin，則只需把ysin 2x的圖象向右平移個(gè)單位2(2016課標(biāo)全國(guó)甲改編)若將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為_(kāi)答案x(kZ)解析由題意將函數(shù)y2sin 2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的解析式為y2sin，由2xk，kZ，得函數(shù)的對(duì)稱軸為x(kZ)3(2016課標(biāo)全國(guó)乙改編)已知函數(shù)f(x)sin(x)，x為f(x)的零點(diǎn)，x為yf(x)圖象的對(duì)稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為_(kāi)答案9解析因?yàn)閤為f(x)的零點(diǎn)，x為f(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以kT，即T，所以4k1(kN)，又因?yàn)閒(x)在上單調(diào)，所以，即12，由此得的最大值為9.4(2016江蘇)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù)ysin 2x的圖象與ycos x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是_答案7解析在區(qū)間0,3上分別作出ysin 2x和ycos x的簡(jiǎn)圖如下：由圖象可得兩圖象有7個(gè)交點(diǎn)1.以圖象為載體，考查三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性.2.考查三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、角的求值，重點(diǎn)考查分析、處理問(wèn)題的能力，是高考的必考點(diǎn).熱點(diǎn)一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式1三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin y，cos x，tan .各象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角關(guān)系：sin2cos21，tan .3誘導(dǎo)公式：在，kZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號(hào)看象限”例1(1)角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(sin 20，cos 20)，則角的最小正角是_(2)已知是第三象限角，且sin 2cos ，則sin cos _.答案(1)110(2)解析(1)由題意知，角是第二象限角，xsin 20cos 70cos 110，ycos 20sin 70sin 110，所以110.(2)由sin 2cos 及sin2cos21得，(2cos )2cos215cos2cos 0cos 或cos ，因?yàn)槭堑谌笙藿牵詂os ，從而sin ，sin cos .思維升華(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等跟蹤演練1(1)已知銳角的終邊上一點(diǎn)P(1sin 50，cos 50)，則_.(2)如圖，以O(shè)x為始邊作角 (0<<)，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則_.答案(1)20(2)解析(1)由任意角的三角函數(shù)的定義可得x1sin 50，ycos 50，tan tan 20.由為銳角，得20.(2)由三角函數(shù)定義，得cos ，sin ，原式2cos222.熱點(diǎn)二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用函數(shù)yAsin(x)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得(2)圖象變換： ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)例2(1)函數(shù)f(x)sin(2x)(|<)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在0，上的最小值為_(kāi)(2)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A>0，>0，0<<)的圖象如圖所示，則f()的值為_(kāi)答案(1)(2)1解析(1)把函數(shù)ysin(2x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)ysin(2x)的圖象因?yàn)楹瘮?shù)ysin(2x)為奇函數(shù)，所以k，kZ.因?yàn)閨<，所以的最小值是.所以函數(shù)f(x)sin(2x)當(dāng)x0，時(shí)，2x，所以當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.(2)根據(jù)圖象可知，A2，所以周期T，由2，又函數(shù)過(guò)點(diǎn)(，2)，所以有sin(2)1，而0<<，所以，則f(x)2sin(2x)，因此f()2sin()1.思維升華(1)已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點(diǎn)法”中的五個(gè)點(diǎn)求解，其中一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置(2)在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向跟蹤演練2(1)已知函數(shù)f(x)sin x(x0，)和函數(shù)g(x)tan x的圖象交于A，B，C三點(diǎn)，則ABC的面積為_(kāi)(2)(2015陜西)如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y3sink，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深(單位：m)的最大值為_(kāi)答案(1)(2)8解析(1)由題意得sin xtan xsin x0或cos x，因?yàn)閤0，所以x0，x，x，三點(diǎn)為(0,0)，(，0)，(，)，因此ABC的面積為.(2)由題干圖易得ymink32，則k5.ymaxk38.熱點(diǎn)三三角函數(shù)的性質(zhì)1三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間是2k，2k(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytan x的遞增區(qū)間是(k，k)(kZ)2yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)例3已知函數(shù)f(x)2sin(x)cos(x)sin 2xa的最大值為1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若方程g(x)m在x0，上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)f(x)sin(2x)sin 2xacos 2xsin 2xa2sin(2x)a，2a1，a1.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k，kZ.(2)將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，即g(x)f(x)2sin2(x)12sin(2x)1.x0，2x，當(dāng)2x時(shí)，sin(2x)，g(x)取得最大值1；當(dāng)2x時(shí)，sin(2x)1，g(x)取得最小值3.實(shí)數(shù)m的取值范圍為3m1.思維升華函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”視為一個(gè)整體，借助復(fù)合函數(shù)性質(zhì)求yAsin(x)B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對(duì)稱性等問(wèn)題跟蹤演練3設(shè)函數(shù)f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)x0，時(shí)，f(x)的最大值為2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的對(duì)稱軸方程解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a，則f(x)的最小正周期T，且當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增所以k，k(kZ)為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)當(dāng)x0，時(shí)2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，sin(2x)1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ)，得x(kZ)，故yf(x)的對(duì)稱軸方程為x(kZ)1已知函數(shù)f(x)sin(xR，>0)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.為了得到函數(shù)g(x)cos x的圖象，只要將yf(x)的圖象向_平移_個(gè)單位長(zhǎng)度押題依據(jù)本題結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)確定函數(shù)解析式，然后考查圖象的平移，很有代表性，考生應(yīng)熟練掌握?qǐng)D象平移規(guī)則，防止出錯(cuò)答案左(答案不唯一)解析先求出周期確定，求出兩個(gè)函數(shù)解析式，然后結(jié)合平移法則求解由于函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x變形得g(x)sinsin2(x)，所以要得到函數(shù)g(x)的圖象，只要將f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度2如圖，函數(shù)f(x)Asin(x)(其中A>0，>0，|)與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)P、Q、R滿足P(2,0)，PQR，M為QR的中點(diǎn)，PM2，則A的值為_(kāi)押題依據(jù)由三角函數(shù)的圖象求解析式是高考的熱點(diǎn)，本題結(jié)合平面幾何知識(shí)求A，考查了數(shù)形結(jié)合思想答案解析由題意設(shè)Q(a,0)，R(0，a)(a>0)則M(，)，由兩點(diǎn)間距離公式得，PM 2，解得a18，a24(舍去)，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，從而f(0)Asin()8，得A.3已知函數(shù)f(x)2asin xcos x2cos2x (a>0，>0)的最大值為2，x1，x2是集合MxR|f(x)0中的任意兩個(gè)元素，且|x1x2|的最小值為6.(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其圖象的對(duì)稱軸方程；(2)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖象，當(dāng)x(1,2時(shí)，求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的值域押題依據(jù)三角函數(shù)解答題的第(1)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求周期、求單調(diào)區(qū)間及求對(duì)稱軸方程(或?qū)ΨQ中心)等，這些都可以由三角函數(shù)解析式直接得到，因此此類命題的基本方式是利用三角恒等變換得到函數(shù)的解析式第(2)問(wèn)的常見(jiàn)形式是求解函數(shù)的值域(或最值)，特別是指定區(qū)間上的值域(或最值)，是高考考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)命題的基本模式解(1)f(x)2asin xcos x2cos2xasin 2xcos 2x.由題意知f(x)的最小正周期為12，則12，得.由f(x)的最大值為2，得2，又a>0，所以a1.于是所求函數(shù)的解析式為f(x)sin xcos x2sin，令xk(kZ)，解得x16k(kZ)，即函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x16k(kZ)(2)由題意可得g(x)2sin(x2)2sin x，所以h(x)f(x)g(x)4sinsin x2sin2x2sin xcos x1cos xsin x12sin.當(dāng)x(1,2時(shí)，x(，所以sin(1,1，即12sin(1,3，于是函數(shù)h(x)的值域?yàn)?1,3A組專題通關(guān)1若0sin ，且2，0，則的取值范圍是_答案解析根據(jù)題意并結(jié)合正弦線可知，滿足(kZ)，2，0，的取值范圍是.2函數(shù)f(x)cos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為_(kāi)答案ycos解析函數(shù)f(x)cos的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象的解析式為ycos3(x)cos(3x)3函數(shù)y2sin()(0x9)的最大值與最小值之差為_(kāi)答案2解析因?yàn)?x9，所以，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)y2sin()取得最大值，即ymax212.當(dāng)時(shí)，函數(shù)y2sin()取得最小值，即ymin2sin()，因此y2sin()(0x9)的最大值與最小值之差為2.4已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(，a)，若點(diǎn)A在拋物線yx2的準(zhǔn)線上，則sin _.答案解析由條件，得拋物線的準(zhǔn)線方程為y1，因?yàn)辄c(diǎn)A(，a)在拋物線yx2的準(zhǔn)線上，所以a1，所以點(diǎn)A(，1)，所以sin .5.函數(shù)f(x)Asin x(A>0，>0)的部分圖象如圖所示，則f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值為_(kāi)答案0解析由圖可得，A2，T8，8，f(x)2sin x，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 01582517，f(1)f(2)f(2 015)0.6已知sin cos ，(，0)，則tan _.答案解析由sin cos 得(sin cos )2，所以sin cos ，因?yàn)?，0)，所以sin <0，cos >0，由得所以tan .7已知函數(shù)f(x)3sin(x)(>0)和g(x)3cos(2x)的圖象的對(duì)稱中心完全相同，若x0，則f(x)的取值范圍是_答案，3解析由兩個(gè)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱中心完全相同，可知兩函數(shù)的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么當(dāng)x0，時(shí)，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，38如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)sin x(0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且AOB，則該函數(shù)的周期是_答案4解析由題意可設(shè)A(，)，B(，)，又AOB，所以()0T4.9已知函數(shù)f(x)cos.(1)若f()，其中<<，求sin的值；(2)設(shè)g(x)f(x)f，求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒()cos，且0<<，所以sin.(2)g(x)f(x)fcoscossincoscos 2x.x時(shí)，2x.則當(dāng)x0時(shí)，g(x)的最大值為；當(dāng)x時(shí)，g(x)的最小值為.10已知a>0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時(shí)，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，4sin1>1，sin>，2k<2x<2k，kZ，其中當(dāng)2k<2x2k，kZ時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即k<xk，kZ，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又當(dāng)2k<2x<2k，kZ時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即k<x<k，kZ，g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.B組能力提高11已知函數(shù)f(x)2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于函數(shù)g(x)，給出以下四個(gè)命題，其中正確的是_在上是增函數(shù)；其圖象關(guān)于直線x對(duì)稱；函數(shù)g(x)是奇函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是2,1答案解析因?yàn)閒(x)2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位，得g(x)f2sin2(x)2sin(2x)2cos 2x.畫(huà)出g(x)的部分圖象，如圖所示由圖可知，函數(shù)g(x)在上是減函數(shù)，錯(cuò)誤；其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(，0)，錯(cuò)誤；函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，錯(cuò)誤；又g2cos1，g2cos1，g2cos2，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是2,1，正確12.已知函數(shù)f(x)Asin(x) (0<<)的圖象如圖所示，若f(x0)3，x0(，)，則sin x0的值為_(kāi)答案解析由函數(shù)的圖象，得A5，且，解得1.由五點(diǎn)法作圖，得，解得，故函數(shù)的解析式為f(x)5sin(x)由f(x0)3，x0(，)，得5sin(x0)3，即sin(x0)，所以cos(x0).sin x0sin(x0)sin(x0)cos cos(x0)sin ().13函數(shù)f(x)sin x(>0)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)A，B是最高點(diǎn)，點(diǎn)C是最低點(diǎn)，若ABC是直角三角形，則f()_.答案解析由已知得ABC是等腰直角三角形，且ACB90，所以ABf(x)maxf(x)min1(1)2，即AB4，而TAB4，解得.所以f(x)sin，所以f()sin.14已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0)，g(x)tan x，它們的最小正周期之積為22，f(x)的最大值為2g()(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)h(x)f2(x)2cos2x，當(dāng)xa，)時(shí)，h(x)有最小值為3，求a的值解(1)由題意，得22，所以1.又A2g()2tan 2tan 2，所以f(x)2sin(x)令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2k，2k(kZ)(2)因?yàn)閔(x)f2(x)2cos2x4sin2(x)2cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin(2x)，又h(x)有最小值為3，所以有32sin(2x)3，即sin(2x).因?yàn)閤a，)，所以2x2a，)，所以2a，即a.