高考數學大二輪總復習與增分策略 專題四 數列、推理與證明 第4講 推理與證明練習 文

第4講推理與證明1(2016山東)觀察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此規(guī)律，2222_.答案n(n1)解析觀察等式右邊的規(guī)律：第1個數都是，第2個數對應行數n，第3個數為n1.2(2016課標全國甲)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是_答案1和3解析由丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”可知，丙為“1和2”或“1和3”，又乙說“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，所以乙只可能為“2和3”，所以由甲說“我與乙的卡片上相同的數字不是2”，所以甲只能為“1和3”1.以數表、數陣、圖形為背景與數列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現.2.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數學命題的方法，常與函數、數列及不等式等綜合命題.熱點一歸納推理1歸納推理是由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理2歸納推理的思維過程如下：例1(1)古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10，第n個三角形數為n2n，記第n個k邊形數為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：三角形數N(n,3)n2n，正方形數 N(n,4)n2，五邊形數 N(n,5)n2n，六邊形數 N(n,6)2n2n可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(8,12)_.(2)已知f(n)1(nN*)，經計算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，則有_答案(1)288(2)f(2n)>(n2，nN*)解析(1)原已知式子可化為N(n,3)n2nn2n，N(n,4)n2n2n，N(n,5)n2nn2n，N(n,6)2n2nn2n，由歸納推理可得N(n，k)n2n，故N(8,12)828288.(2)由題意得f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以當n2時，有f(2n)>.故填f(2n)>(n2，nN*)思維升華歸納遞推思想在解決問題時，從特殊情況入手，通過觀察、分析、概括，猜想出一般性結論，然后予以證明，這一數學思想方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數有關的命題時有著廣泛的應用其思維模式是“觀察歸納猜想證明”，解題的關鍵在于正確的歸納猜想跟蹤演練1(1)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個靠窗，已知火車上的座位的排法如圖所示，則下列座位號碼符合要求的應當是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85(2)觀察下列等式：123nn(n1)；136n(n1)n(n1)(n2)；1410n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)；可以推測，1515n(n1)(n2)(n3)_.答案(1)D(2)n(n1)(n2)(n3)(n4)解析(1)由已知圖形中座位的排列順序，可得：被5除余1的數和能被5整除的座位號臨窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個靠窗，分析答案中的4組座位號，只有D符合條件(2)觀察所給等式的左側和右側并歸納推理，可以得到答案熱點二類比推理1類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理2類比推理的思維過程如下：例2(1)已知結論：“在正ABC中，若D是邊BC的中點，G是ABC的重心，則2”若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的四面體ABCD中，若BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面的距離都相等”，則等于()A1 B2 C3 D4(2)在平面直角坐標系中，ABC的頂點A，B分別是離心率為e的圓錐曲線1的焦點，頂點C在該曲線上一同學已正確地推得：當m>n>0時，有e(sin Asin B)sin C類似地，當m>0，n<0時，有e(_)sin C.答案(1)C(2)|sin Asin B|解析(1)如圖，設正四面體的棱長為1，則易知其高AM，此時易知點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等積法有4rr，故AOAMMO，故AOOM31.(2)設ABC中角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.ABC的頂點A，B分別是離心率為e的圓錐曲線1的焦點，頂點C在該曲線上，m>0>n時，曲線是雙曲線，離心率e.由雙曲線定義得|ba|2，得e|ba|c.由正弦定理，得e|sin Asin B|sin C.思維升華類比推理是合情推理中的一類重要推理，強調的是兩類事物之間的相似性，有共同要素是產生類比遷移的客觀因素，類比可以由概念性質上的相似性引起，如等差數列與等比數列的類比，也可以由解題方法上的類似引起當然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的類比跟蹤演練2(1)若等差數列an的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，則數列為等差數列，且通項為a1(n1).類似地，請完成下列命題：若各項均為正數的等比數列bn的首項為b1，公比為q，前n項積為Tn，則數列_為等比數列，通項為_(2)若點P0(x0，y0)在橢圓1(a>b>0)外，過點P0作該橢圓的兩條切線，切點分別為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程為1.那么對于雙曲線1(a>0，b>0)，類似地，可以得到切點弦所在直線的方程為_答案(1)b1()n1(2)1解析(1)因為在等差數列an中前n項和為Sn，且寫成了a1(n1)，所以在等比數列bn中應研究前n項積Tn開n次方的形式等差數列中的求和類比等比數列中的乘積，類比可得：數列為等比數列，通項為b1()n1.(2)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，則過點P1，P2的切線的方程分別為1，1.因為P0(x0，y0)在這兩條切線上，所以1，1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直線1上，故切點弦P1P2所在直線的方程為1.熱點三直接證明和間接證明直接證明的常用方法有綜合法和分析法，綜合法由因導果，而分析法則是執(zhí)果索因，反證法是反設結論導出矛盾的證明方法例3已知an是正數組成的數列，a11，且點(，an1) (nN*)在函數yx21的圖象上(1)求數列an的通項公式；(2)若數列bn滿足b11，bn1bn2an，求證：bnbn2<b.(1)解由已知得an1an1，則an1an1，又a11，所以數列an是以1為首項，1為公差的等差數列故an1(n1)1n.(2)證明由(1)知，ann，從而bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n2212n1.因為bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n<0，所以bnbn2<b.思維升華(1)有關否定性結論的證明常用反證法或舉出一個結論不成立的例子即可(2)綜合法和分析法是直接證明常用的兩種方法，我們常用分析法尋找解決問題的突破口，然后用綜合法來寫出證明過程，有時候分析法和綜合法交替使用跟蹤演練3(1)已知ABC的三個內角A，B，C成等差數列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3，也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)已知等差數列an中，首項a1>0，公差d>0.若a11，d2，且，成等比數列，求整數m的值；求證：對任意正整數n，都不成等差數列解a11，d2，a47，am2m1.，成等比數列，()2，(2m1)2492.a1>0，d>0，m25.證明假設存在mN*，使，成等差數列，即，化簡，得d23a.又a1>0，d>0，am1a1md>d，3a>3d2>d2，與d23a矛盾，因此假設不成立，故原命題得證.1將正整數作如下分組：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，(22,23,24,25,26,27,28)，分別計算各組包含的正整數的和，如下所示：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，S722232425262728175，試猜測S1S3S5S2 015_.押題依據數表(陣)是高考命題的常見類型，本題以三角形數表中對應的各組包含的正整數的和的計算為依托，圍繞簡單的計算、歸納猜想的應用等，考查考生歸納猜想能力以及對邏輯推理證明步驟的掌握程度答案1 0084解析由題意知，當n1時，S1114；當n2時，S1S31624；當n3時，S1S3S58134；當n4時，S1S3S5S725644；猜想：S1S3S5S2n1n4.S1S3S5S2 0151 0084.2已知下列不等式：x2，x3，x4，則第n個不等式為_押題依據根據n個等式或不等式歸納猜想一般規(guī)律的式子是近幾年高考熱點，相對而言，歸納推理在高考中出現的機率較大答案xn1解析已知所給不等式的左邊第一個式子都是x，不同之處在于第二個式子，當n1時，為；當n2時，為；當n3時，為；顯然式子中的分子與分母是對應的，分母為xn，分子是nn，所以不等式左邊的式子為x，顯然不等式右邊的式子為n1，所以第n個不等式為xn1.3設數列an是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和，證明：數列Sn不是等比數列押題依據反證法是一種重要的證明方法，對含“至多”“至少”等詞語的命題用反證法十分有效，近幾年高考時有涉及證明假設Sn是等比數列，則SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因為a10，所以(1q)21qq2，即q0，這與q0矛盾，故Sn不是等比數列A組專題通關1下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()ycos x(xR)是三角函數；三角函數是周期函數；ycos x(xR)是周期函數A BC D答案B解析根據“三段論”：“大前提”“小前提”“結論”可知：ycos x(xR)是三角函數是“小前提”；三角函數是周期函數是“大前提”；ycos x(xR)是周期函數“結論”故“三段論”模式排列順序為.故選B.2設a，b，c(，0)，則a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一個不大于2D至少有一個不小于2答案C解析假設a，b，c都大于2，即a>2，b>2，c>2，將三式相加，得abc>6，又因為a2，b2，c2，所以abc6，所以假設不成立，故選C.3分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且abc0，求證<a”的索因應是()Aab>0 Bac>0C(ab)(ac)>0 D(ab)(ac)<0答案C解析由a>b>c，且abc0可得bac，a>0，c<0.要證<a，只要證(ac)2ac<3a2，即證a2aca2c2>0，即證a(ac)(ac)(ac)>0，即證a(ac)b(ac)>0，即證(ac)(ab)>0.故求證“<a”索的因應是(ac)(ab)>0，故選C.4某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一個人說了真話，只有一人偷了珠寶甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜]有偷根據以上條件，可以判斷偷珠寶的人是()A甲 B乙C丙 D丁答案A解析假如甲說了真話，則乙、丙、丁都說了假話，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠寶，顯然矛盾，故甲說了假話，即甲是小偷，故選A.5設a，bR，定義：M(a，b)，m(a，b)，則下列式子錯誤的是()AM(a，b)m(a，b)abBm(|ab|，|ab|)|a|b|CM(|ab|，|ab|)|a|b|Dm(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)答案B解析M(a，b)m(a，b)m(M(a，b)，m(a，b)m(a，b)，D正確；M(a，b)m(a，b)ab，A正確；m(|ab|，|ab|)B錯誤；M(|ab|，|ab|)C正確故選B.6.如圖，在單位圓中，用三角形的重心公式G(，)研究內接正三角形ABC(點A在x軸上)，有結論：cos 0cos cos 0.有位同學，把正三角形ABC按逆時針方向旋轉角，這時，可以得到的一個結論是_答案cos cos()cos()0解析在把正三角形ABC按逆時針方向旋轉角的過程中，三個角始終相差，所以得到cos cos()cos()0.7宋元時期杰出的數學家朱世杰在其數學巨著四元玉鑒卷中“茭草形段”第一個問題“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵(同垛)之問底子(每層三角形邊茭草束數，等價于層數)幾何？”中探討了“垛枳術”中的落一形垛(“落一形”即是指頂上1束，下一層3束，再下一層6束，成三角錐的堆垛，故也稱三角垛，如圖，表示第二層開始的每層茭草束數)，則本問題中三角垛底層茭草總束數為_答案120解析由題意，第n層茭草束數為12n，136680，即為n(n1)(2n1)n(n1)n(n1)(n2)680，即有n(n1)(n2)151617，n15，120.8如果函數f(x)在區(qū)間D上是凸函數，那么對于區(qū)間D內的任意x1，x2，xn，都有f()若ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_答案解析由題意知，凸函數滿足f()，又ysin x在區(qū)間(0，)上是凸函數，則sin Asin Bsin C3sin3sin.9某同學在一次研究性學習中發(fā)現，以下五個式子的值都等于同一個常數：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式，并證明你的結論解方法一(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.方法二(1)同方法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.10已知a，b，m為非零實數，且a2b22m0，12m0.(1)求證：；(2)求證：m.證明(1)(分析法)要證成立，只需證()(a2b2)9，即證149，即證4.根據基本不等式，有2 4成立，所以原不等式成立(2)(綜合法)因為a2b2m2，2m1，由(1)，知(m2)(2m1)9，即2m25m70，解得m1或m.又因為a2b2m2>0.所以m>2，故m1舍去，所以m.B組能力提高11已知正方形ABCD的邊長是a，依次連接正方形ABCD各邊中點得到一個新的正方形，再依次連接新正方形各邊中點又得到一個新的正方形，由此規(guī)律，依次得到一系列的正方形，如圖所示現有一只小蟲從A點出發(fā)，沿正方形的邊逆時針方向爬行，每遇到新正方形的頂點時，沿這個正方形的邊逆時針方向爬行，如此下去，爬行了10條線段則這10條線段長度的平方和是()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案A解析由題意可知，這只小蟲爬行的第一條線段長度的平方為a(a)2a2，第二條線段長度的平方為a(a)2a2，第三條線段長度的平方為a(a)2a2，從而可知，小蟲爬行的線段長度的平方可以構成以aa2為首項，為公比的等比數列，所以該數列的前10項和為S10.故選A.12對大于1的自然數m的三次冪可用奇數進行以下方式的“分裂”：23，33，43，.仿此，若m3的“分裂數”中有一個是59，則m的值為_答案8解析由已知可觀察出m3可分裂為m個連續(xù)奇數，最小的一個為(m1)m1.當m8時，最小的數為57，第二個便是59.m8.13如圖(1)，已知O是ABC內任意一點，連接AO，BO，CO并延長交對邊分別于點A，B，C，則1.這是平面幾何中的一道題，其證明常采用“面積法”：1.請運用類比思想，如圖(2)所示，在空間四面體VBCD中，任取一點O，連接VO，DO，BO，CO并延長分別交四個面于點E，F，G，H，用“體積法”可得的類似結論為_答案1解析利用類比推理，面積類比體積14蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個圖的蜂巢總數(1)試給出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達式(不要求證明)；(2)證明：<.(1)解f(4)37，f(5)61.由于f(2)f(1)716，f(3)f(2)19726，f(4)f(3)371936，f(5)f(4)613746，因此，當n2時，有f(n)f(n1)6(n1)，所以f(n)f(n)f(n1)f(n1)f(n2)f(2)f(1)f(1)6(n1)(n2)2113n23n1.又f(1)1312311，所以f(n)3n23n1.(2)證明當k2時，<()所以<1(1)()()1(1)<1.