高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題一 集合與常用邏輯用語、不等式 第2講 不等式與線性規(guī)劃練習(xí) 文

第2講不等式與線性規(guī)劃1(2016課標(biāo)全國丙)若x，y滿足約束條件 則zxy的最大值為_答案解析滿足約束條件的可行域?yàn)橐訟(2，1)，B(0,1)，C為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界，如圖，過C時(shí)取得最大值.2(2016浙江改編)已知實(shí)數(shù)a，b，c，下列判斷正確的是_若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2100；若|a2bc|a2bc|1，則a2b2c2100；若|abc2|abc2|1，則a2b2c2100；若|a2bc|ab2c|1，則a2b2c2100.答案解析中，設(shè)ab10，c110，則|a2bc|ab2c|01，a2b2c2>100.中，設(shè)a10，b100，c0，則|a2bc|a2bc|01，a2b2c2>100.中，設(shè)a100，b100，c0，則|abc2|abc2|01，a2b2c2>100.對(duì)3(2016上海)設(shè)xR，則不等式|x3|<1的解集為_答案(2,4)解析1<x3<1，即2<x<4，故解集為(2,4)4(2016上海)設(shè)a>0，b>0，若關(guān)于x，y的方程組無解，則ab的取值范圍是_答案(2，)解析由已知得，ab1，且ab，ab>22.1.利用不等式性質(zhì)比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點(diǎn)；2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍；3.利用不等式解決實(shí)際問題.熱點(diǎn)一不等式的解法1一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集2簡單分式不等式的解法(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.3指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解例1(1)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)的值域?yàn)?，)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，則實(shí)數(shù)c的值為_(2)已知函數(shù)f(x)若f(x0)>0，則x0的取值范圍是_答案(1)9(2)(，0(1，)解析(1)由值域?yàn)?，)，可知當(dāng)x2axb0時(shí)有a24b0，即b，f(x)x2axbx2ax2.f(x)2<c，解得<x<，<x<.不等式f(x)<c的解集為(m，m6)，()26，解得c9.(2)當(dāng)x00時(shí)，由 >0，得x00；當(dāng)x0>0時(shí)，由log2x0>0，得x0>1，所以x0的取值范圍是(，0(1，)思維升華(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論跟蹤演練1(1)已知m，n為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2mxn<0的解集為(1,3)，則mn的值為_(2)不等式 4的解集為_答案(1)5(2)(1,2)解析(1)由題意得：1,3為方程x2mxn0的兩根，因此13m，13nm2，n3，mn5.(2) 422，x2x2，即x2x20，解得1<x<2.熱點(diǎn)二基本不等式的應(yīng)用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時(shí)，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)例2(1)已知ab，a，b(0,1)，則的最小值為_(2)設(shè)實(shí)數(shù)m，n滿足m>0，n<0，且1，則4mn有最_值，為_答案(1)4(2)大1解析(1)2()2()22()424，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)(2)因?yàn)?，所以4mn(4mn)5，又m>0，n<0，所以4，當(dāng)且僅當(dāng)n2m時(shí)取等號(hào)，故5541，當(dāng)且僅當(dāng)m，n1時(shí)取等號(hào)思維升華在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤跟蹤演練2(1)若正數(shù)a，b滿足ab1，則的最大值為_(2)已知x，y滿足時(shí)，z (ab>0)的最大值為2，則ab的最小值為_答案(1)(2)8解析(1)正數(shù)a，b滿足ab1，222，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，的最大值為.(2)畫出不等式組表示的可行域，如圖中陰影部分(包括邊界)所示由z (ab>0)，得yxbz.當(dāng)直線yxbz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z有最大值，由得A(2,6)，2，即1.ab(ab)()4，令t，則0<t1，ab4t，0<t1.令f(t)4t，0<t1，則f(t)1<0，yf(t)在(0,1上是減函數(shù)(ab)minf(1)4138.熱點(diǎn)三簡單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決例3(1)若x，y滿足約束條件則z3xy的最大值為_(2)若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則其表示的區(qū)域面積為_答案(1)4(2)或解析(1)可行域?yàn)锳BC及其內(nèi)部，其中A(1,1)，B(0,2)，C(1,0)，當(dāng)直線z3xy過點(diǎn)A時(shí)取最大值4.(2)直線kxy10過點(diǎn)(0,1)，要使不等式組表示的區(qū)域?yàn)橹苯侨切危挥兄本€kxy10垂直于y軸(如圖(1)或與直線xy0垂直(如圖(2)時(shí)才符合題意所以S11或S.思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練3(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則z4xy的取值范圍是_(2)已知變量x，y滿足約束條件若x2y5恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案(1)0,8(2)1,1解析(1)作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，由圖知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z4xy經(jīng)過點(diǎn)B(2,0)時(shí)z取得最大值，最大值為4208；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z4xy經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)時(shí)z取得最小值，最小值為4000，所以z4xy的取值范圍是0,8(2)由題意作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，則x2y5恒成立可轉(zhuǎn)化為圖中的陰影部分在直線x2y5的上方，由得由得則實(shí)數(shù)a的取值范圍為1,11若點(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x2y1上，則ab的最大值為_押題依據(jù)基本不等式在歷年高考中的地位都很重要，已成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，用基本不等式求函數(shù)(和式或積式)的最值問題，有時(shí)與解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合答案解析因?yàn)辄c(diǎn)A(a，b)在第一象限，且在直線x2y1上，所以a>0，b>0，且a2b1，所以aba2b()2，當(dāng)且僅當(dāng)a2b，即a，b時(shí)，“”成立2在R上定義運(yùn)算：adbc，若不等式1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為_押題依據(jù)不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本工具，在高考中是必考內(nèi)容往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合，最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式答案解析由定義知，不等式1等價(jià)于x2x(a2a2)1，x2x1a2a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，x2x1(x)2，a2a，解得a，則實(shí)數(shù)a的最大值為.3已知實(shí)數(shù)x，y滿足則zx2y的最小值為_押題依據(jù)線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)答案解析由題意可得不等式組所表示的可行域?yàn)槿鐖D中陰影部分所示的四邊形ABCD及其內(nèi)部因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)zx2y可化為y，其表示過可行域上的點(diǎn)(x，y)，斜率為且在y軸上的截距為的直線由圖可知，當(dāng)zx2y過點(diǎn)D(，1)時(shí)，z取得最小值zmin2.4若不等式x22x<對(duì)任意a，b(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_押題依據(jù)“恒成立”問題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型，可綜合考查不等式的性質(zhì)，函數(shù)的值域等知識(shí)，是高考的熱點(diǎn)答案(4,2)解析不等式x22x<對(duì)任意a，b(0，)恒成立，等價(jià)于不等式x22x<min.因?yàn)閷?duì)任意a，b(0，)，28(當(dāng)且僅當(dāng)，即a4b時(shí)取等號(hào))，所以x22x<8，解得4<x<2.A組專題通關(guān)1若log2a<0，則a的取值范圍是_答案(，1)解析當(dāng)2a>1a>時(shí)，若log2a<0，則0<<10<a<1，<a<1.當(dāng)1>2a>00<a<時(shí)，若log2a<0，則>1a>1，此時(shí)無解2函數(shù)y12xa4x在x(，1上y>0恒成立，則a的取值范圍是_. 答案(，)解析由題意得a>()max(x1)，令t，則t，)，因此()(t2t)，從而a>.3設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3x4y的最小值為_答案3解析作出不等式組，表示的平面區(qū)域如圖所示(圖中陰影部分)，作出直線3x4y0并平移，可知當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過點(diǎn)(1，)時(shí)，z取得最小值，最小值為3.4設(shè)x0, y0，x21，則x的最大值為_答案解析方法一x0, y0, x21，x .當(dāng)且僅當(dāng)x，y(即x2)時(shí)，x取得最大值.方法二令 (0)，則xcos ，當(dāng)2cos212sin2，即時(shí)，x，y時(shí)，x取得最大值.5已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值為_答案解析可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中A(1,4)，B(1,3)，C(，)，而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)E(，)連線的斜率，因此其最大值為kEA.6已知不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為_答案1解析先作出不等式組表示的平面區(qū)域，可得點(diǎn)(2,0)，(0,2)要使不等式組表示的平面區(qū)域的面積為4，那么直線kxy20與直線x2的交點(diǎn)應(yīng)為(2,4)，將其代入kxy20，得k1.7要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是_元答案160解析由題意知，體積V4 m3，高h(yuǎn)1 m，所以底面積S4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設(shè)總造價(jià)是y元，則y204108020160，當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x2時(shí)取得等號(hào)8已知x>0，y>0，若>m22m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(4,2)解析由題意可得m22m應(yīng)小于的最小值，所以由基本不等式可得2 8，所以m22m<84<m<2.9設(shè)0<a<1，集合AxR|x>0，BxR|2x23(1a)x6a>0，DAB，求集合D.(用區(qū)間表示)解令g(x)2x23(1a)x6a，其對(duì)稱軸方程為x(1a)，9(1a)248a9a230a93(3a1)(a3)當(dāng)0<a時(shí)，0，x(1a)>0，g(0)6a>0，方程g(x)0的兩個(gè)根分別為0<x1<x2，DAB；當(dāng)<a<1時(shí)，<0，則g(x)>0恒成立，所以DAB(0，)綜上所述，當(dāng)0<a時(shí)，D；當(dāng)<a<1時(shí)，D(0，)10運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50x100)(單位：千米/小時(shí))假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油(2)升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值解(1)行車所用時(shí)間為t(h)，y2(2)14，x50,100所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是yx，x50,100(2)yx26，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x18時(shí)，上述不等式中等號(hào)成立故當(dāng)x18時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為26元B組能力提高11(2016陜西改編)設(shè)f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則p、q、r的大小關(guān)系為_答案prq解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數(shù)，故ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln aln bln(ab)f()p.故prq.12已知正實(shí)數(shù)m，n滿足mn1，且使取得最小值，若曲線yx過點(diǎn)P(，)，則的值等于_答案解析因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足mn1，所以1725，當(dāng)且僅當(dāng)m，n時(shí)，取得最小值所以曲線yx過點(diǎn)P(，)，即()，所以.13已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線(m2)x(m1)y20與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_答案(，40，)解析如圖所示，不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域D是以點(diǎn)(1,0)，(0,1)和(1,0)為頂點(diǎn)的三角形直線(m2)x(m1)y20可化為m(xy)2xy20，該直線恒過點(diǎn)(2，2)若直線與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，直線的斜率取得最小值，經(jīng)過點(diǎn)(1,0)時(shí)，直線的斜率取得最大值2，則2.解得m4或m0，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，40，)14提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))解(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，顯然v(x)axb在20,200上是減函數(shù)，由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約3 333輛/小時(shí)