高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第30練 與拋物線有關(guān)的熱點問題 文

第30練與拋物線有關(guān)的熱點問題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點考查對象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問題都是高考熱點考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上體驗高考1(2015四川)設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，與圓(x5)2y2r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是()A(1,3) B(1,4)C(2,3) D(2,4)答案D解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則相減得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時，符合條件的直線l必有兩條；當(dāng)直線l的斜率k存在時，如圖x1x2，則有2，即y0k2，由CMAB得，k1，y0k5x0,25x0，x03，即M必在直線x3上，將x3代入y24x，得y212，2y02，點M在圓上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故選D.2(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A.B.C.D.答案A解析由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.3(2016四川)設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y22px(p>0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖，由題意可知F，設(shè)P點坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時，kOM<0；y0>0時，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0.則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時等號成立故選C.4(2016課標(biāo)全國乙)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A2 B4C6 D8答案B解析不妨設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2)，D，點A(x0,2)在拋物線y22px上，82px0，點A(x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點D在圓x2y2r2上，25r2，聯(lián)立，解得p4，即C的焦點到準(zhǔn)線的距離為p4，故選B.5(2015上海)拋物線y22px(p>0)上的動點Q到焦點的距離的最小值為1，則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的性質(zhì)，我們知道當(dāng)且僅當(dāng)動點Q運動到原點的時候，才與拋物線焦點的距離最小，所以有|PQ|min1p2.高考必會題型題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1已知P為拋物線y26x上一點，點P到直線l：3x4y260的距離為d1.(1)求d1的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)；(2)若點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為d2，求d1d2的最小值解(1)設(shè)P(，y0)，則d1|(y04)236|，當(dāng)y04時，(d1)min，此時x0，當(dāng)P點坐標(biāo)為(，4)時，(d1)min.(2)設(shè)拋物線的焦點為F，則F(，0)，且d2|PF|，d1d2d1|PF|，它的最小值為點F到直線l的距離，(d1d2)min.點評與拋物線有關(guān)的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度“看到準(zhǔn)線想焦點，看到焦點想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑變式訓(xùn)練1(1)(2016浙江)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10，則點M到y(tǒng)軸的距離是_(2)已知點P在拋物線y24x上，那么點P到Q(2,1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為()A(，1) B(，1)C(1,2) D(1，2)答案(1)9(2)B解析(1)拋物線y24x的焦點F(1,0)準(zhǔn)線為x1，由M到焦點的距離為10，可知M到準(zhǔn)線x1的距離也為10，故M的橫坐標(biāo)滿足xM110，解得xM9，所以點M到y(tǒng)軸的距離為9.(2)拋物線y24x焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線為x1，作PQ垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，根據(jù)拋物線定義，|PQ|PF|PQ|PM|，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊大于直角邊知：|PQ|PM|的最小值是點Q到拋物線準(zhǔn)線x1的距離所以點P縱坐標(biāo)為1，則橫坐標(biāo)為，即(，1)題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2(2015福建)已知點F為拋物線E：y22px(p0)的焦點，點A(2，m)在拋物線E上，且|AF|3.(1)求拋物線E的方程；(2)已知點G(1,0)，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切方法一(1)解由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.(2)證明因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切方法二(1)解同方法一(2)證明設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A(2，m)在拋物線E：y24x上，所以m2，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2,2)由A(2,2)，F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，從而B.又G(1,0)，故直線GA的方程為2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點F到直線GB的距離dr.這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切點評(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程變式訓(xùn)練2已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點O，其圖象關(guān)于y軸對稱且經(jīng)過點M(2,1)(1)求拋物線C的方程；(2)若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另兩個頂點在拋物線上，求該等邊三角形的面積；(3)過點M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設(shè)MA，MB所在直線的斜率分別為k1，k2，當(dāng)k1k22時，試證明直線AB的斜率為定值，并求出該定值解(1)設(shè)拋物線C的方程為x22py(p>0)，由點M(2,1)在拋物線C上，得42p，則p2，拋物線C的方程為x24y.(2)設(shè)該等邊三角形OPQ的頂點P，Q在拋物線上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，則x4yP，x4yQ，由|OP|OQ|，得xyxy，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP>0，yQ>0，則yPyQ，|xP|xQ|，即線段PQ關(guān)于y軸對稱POy30，yPxP，代入x4yP，得xP4，該等邊三角形邊長為8，SPOQ48.(3)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x4y1，x4y2，k1k2(x12x22)2.x1x212，kAB(x1x2)3.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3已知拋物線C：ymx2(m>0)，焦點為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點R(xR,2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；(3)是否存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由解(1)拋物線C：x2y，它的焦點F(0，)(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)>0m>.設(shè)A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)P是線段AB的中點，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實數(shù)m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在實數(shù)m2，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形點評(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解變式訓(xùn)練3(2015課標(biāo)全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：y與直線l：ykxa(a>0)交于M，N兩點，(1)當(dāng)k0時，分別求C在點M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有OPMOPN？說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，C在點(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，故OPMOPN，所以點P(0，a)符合題意高考題型精練1如圖所示，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準(zhǔn)線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x答案C解析如圖，分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|a，則由已知得：|BC|2a，由定義得：|BD|a，故BCD30.在直角三角形ACE中，|AF|3，|AE|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，從而得a1，BDFG，求得p，因此拋物線方程為y23x，故選C.2已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|等于()A2B2C4 D2答案B解析設(shè)拋物線方程為y22px，則點M(2，2)焦點，點M到該拋物線焦點的距離為3，24p9，解得p2(負(fù)值舍去)，故M(2，2)|OM|2.3已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0等于()A1 B2C4 D8答案A解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.4已知拋物線C：y28x的焦點為F，點M(2,2)，過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若AMB90，則k等于()A.B.C.D2答案D解析拋物線C：y28x的焦點為F(2,0)，由題意可知直線AB的斜率一定存在，所以設(shè)直線方程為yk(x2)，代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24，x1x24，所以y1y2，y1y216，因為AMB90，所以(x12，y12)(x22，y22)40，解得k2，故選D.5已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A.B.C.D.答案D解析拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.6已知A(x1，y1)是拋物線y28x的一個動點，B(x2，y2)是圓(x2)2y216上的一個動點，定點N(2,0)，若ABx軸，且x1<x2，則NAB的周長l的取值范圍是()A(6,10) B(10,12)C(8,12) D(8,10)答案C解析拋物線的準(zhǔn)線l：x2，焦點F(2,0)，由拋物線定義可得|AF|x12，圓(x2)2y216的圓心為(2,0)，半徑為4，又定點N(2,0)，NAB的周長即為FAB的周長|AF|AB|BF|x12(x2x1)46x2，由拋物線y28x及B(x2，y2)在圓(x2)2y216上，x2(2,6)，6x2(8,12)，故選C.7如圖，從點M(x0,4)發(fā)出的光線，沿平行于拋物線y28x的對稱軸方向射向此拋物線上的點P，經(jīng)拋物線反射后，穿過焦點射向拋物線上的點Q，再經(jīng)拋物線反射后射向直線l：xy100上的點N，經(jīng)直線反射后又回到點M，則x0_.答案6解析由題意得P(2,4)，F(xiàn)(2,0)Q(2，4)，因此N(6，4)，因為QNPM，所以MNQN，即x06.8已知直線l過點(0,2)，且與拋物線y24x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則_.答案解析由題意可得直線的斜率存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為ykx2，代入拋物線y24x可得y2y0，y1y2，y1y2，.9已知拋物線y24x與經(jīng)過該拋物線焦點的直線l在第一象限的交點為A，A在y軸和準(zhǔn)線上的投影分別為點B，C，2，則直線l的斜率為_答案2解析設(shè)A(x0，y0)，則|AB|x0，|BC|1，由2，得x02，y02，又焦點F(1,0)，所以直線l的斜率為k2.10已知雙曲線x21上存在兩點M，N關(guān)于直線yxm對稱，且MN的中點在拋物線y218x上，則實數(shù)m的值為_答案0或8解析因為點M，N關(guān)于直線yxm對稱，所以MN的垂直平分線為yxm，所以直線MN的斜率為1.設(shè)線段MN的中點為P(x0，x0m)，直線MN的方程為yxb，則x0mx0b，所以b2x0m.由得2x22bxb230，所以xMxNb，所以x0，所以b，所以P(，m)因為MN的中點在拋物線y218x上，所以m2m，解得m0或m8.11如圖，已知兩條拋物線E1：y22p1x(p1>0)和E2：y22p2x(p2>0)，過原點O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(1)證明：A1B1A2B2；(2)過O作直線l(異于l1，l2)與E1，E2分別交于C1，C2兩點記A1B1C1與A2B2C2的面積分別為S1與S2，求的值(1)證明設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k1，k20)，由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以A1B1A2B2.(2)解由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2，所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知，故.12已知拋物線y22px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：(1)y1y2p2，x1x2；(2)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切證明(1)由已知得拋物線焦點坐標(biāo)為(，0)由題意可設(shè)直線方程為xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)則y1，y2是方程(*)的兩個實數(shù)根，所以y1y2p2.因為y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因為x1x2，x1x2|AB|p，代入上式，得(定值)(3)設(shè)AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，則|MN|(|AC|BD|)(|AF|BF|)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切