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專題六 解析幾何 第一講 直線與圓適考素能特訓 理
一、選擇題
1．[2015湖南岳陽一模]已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過A(－1,0)的直線l與圓C相交于P，Q兩點．若|PQ|＝2，則直線l的方程為( )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0
B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0
D．x＝1或4x＋3y－4＝0
答案 B
解析 當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意；當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得k＝，此時直線l的方程為y＝(x＋1)．故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.
2．[2016重慶測試]已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2與y軸在第二象限所圍區(qū)域的面積為S，直線y＝2x＋b分圓C的內部為兩部分，其中一部分的面積也為S，則b＝( )
A．－ B．
C．－ D．
答案 D
解析 本題考查圓的性質、點到直線的距離公式與數(shù)形結合思想．依題意圓心C的坐標為(1,2)，則圓心C到y(tǒng)軸的距離為1，由圓的對稱性可知，若直線2x－y＋b＝0分得圓C內部的一部分面積也為S，則圓心C(1,2)到直線2x－y＋b＝0的距離等于1，于是有＝1，解得b＝，故選D.
3．[2016南昌一模]已知點P在直線x＋3y－2＝0上，點Q在直線x＋3y＋6＝0上，線段PQ的中點為M(x0，y0)，且y0
0，當點位于射線BN(不包括端點B)上時，kOM<－，所以的取值范圍是∪(0，＋∞)，故選D.
4．[2016金版原創(chuàng)四]傾斜角互補的直線l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分別被圓O：x2＋y2＝4所截得的弦長之比為，則m1m2＝( )
A．－9或－ B．9或
C．－9 D．－
答案 A
解析 本題考查直線與圓的位置關系．由題可知兩條直線斜率分別為m1，m2，又兩直線的傾斜角互補，所以斜率互為相反數(shù)，即m1＋m2＝0，被圓O：x2＋y2＝4所截得的弦長之比為＝，化簡得3m－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m＝－或－9，故選A.
5．[2016廣東綜合測試]已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是原點，且有|＋|≥||，則k的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．[，2) D．[，2]
答案 C
解析 本題考查直線與圓的位置關系、平面向量的運算．設AB的中點為D，則OD⊥AB，因為|＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因為||2＋||2＝4，所以||≥1.因為直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，故選C.
6．已知點A(－2,0)，B(0,2)，若點C是圓x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的動點，△ABC面積的最小值為3－，則a的值為( )
A．1 B．－5
C．1或－5 D．5
答案 C
解析 解法一：圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝1，圓心M(a,0)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為d＝，
可知圓上的點到直線AB的最短距離為d－1＝－1，(S△ABC)min＝2＝3－，
解得a＝1或－5.
解法二：圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝1，設C的坐標為(a＋cosθ，sinθ)，C點到直線AB：x－y＋2＝0的距離為
d＝＝，
△ABC的面積為
S△ABC＝2
＝，
當a≥0時，a＋2－＝3－，解得a＝1；
當－2≤a<0時，|a＋2－|＝3－，無解；
當a<－2時，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5.
故a＝1或－5.
解法三：設與AB平行且與圓相切的直線l′的方程為x－y＋m＝0(m≠2)，圓心M(a,0)到直線l′的距離d＝1，即＝1，解得m＝－a，
兩平行線l，l′之間的距離就是圓上的點到直線AB的最短距離，
即＝，
(S△ABC)min＝2＝|－a－2|.
當a≥0時，|－a－2|＝3－，解得a＝1.
當a<0時，|－a－2|＝3－，解得a＝－5.
故a＝1或－5.
二、填空題
7．[2015福建廈門一模]已知a>0，b>0，若直線l1：x＋a2y＋2＝0與直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，則ab的最小值是________．
答案 2
解析 依題意可得，1(a2＋1)＋a2(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，∴ab＝＝a＋≥2.
當且僅當a＝，即a＝1，b＝2時，ab取到最小值2.
8．[2015云南統(tǒng)考]已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的圖象在切點P(1，－2)處的切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________.
答案?。?
解析 由題意得f(1)＝－2?a－2b＝－3，
又∵f′(x)＝3x2＋a，
∴f(x)的圖象在點P(1，－2)處的切線方程為
y＋2＝(3＋a)(x－1)，
即(3＋a)x－y－a－5＝0，
∴＝?a＝－，
∴b＝，∴3a＋2b＝－7.
9．[2015山東青島質檢]在平面直角坐標系xOy中，已知點P(3,0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內，動直線AB過點P且交圓C于A，B兩點．若△ABC的面積的最大值為16，則實數(shù)m的取值范圍為________．
答案 (3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2)
解析 由題意得圓心C(m,2)，半徑r＝4.因為點P(3,0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－2，
解得k<－或k>1.
11．[2016江西九江三模]已知點P是圓F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一點，點F2與點F1關于原點對稱，線段PF2的中垂線與PF1交于M點．
(1)求點M的軌跡C的方程；
(2)設軌跡C與x軸的左、右兩個交點分別為A，B，點K是軌跡C上異于A，B的任意一點，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點Q使得|HK|＝|KQ|，連接AQ并延長交過B且垂直于x軸的直線l于點D，N為DB的中點．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．
解 (1)由題意得，F(xiàn)1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，
圓F1的半徑為4，且|MF2|＝|MP|，
從而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2，
∴點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為左、右焦點的橢圓，其中長軸長2a＝4，焦距2c＝2，
則短半軸長b＝＝＝1，
∴點M的軌跡C的方程為＋y2＝1.
(2)如圖，設K(x0，y0)，則＋y＝1.
∵|HK|＝|KQ|，
∴Q(x0,2y0)．
∴|OQ|＝＝2，
∴Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上．
又A(－2,0)，
∴直線AQ的方程為y＝(x＋2)．
令x＝2，得D.
又B(2,0)，N為DB的中點，
∴N.
∴＝(x0,2y0)，＝.
∴＝x0(x0－2)＋2y0
＝x0(x0－2)＋
＝x0(x0－2)＋
＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0.
∴⊥.
∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切．
12．[2015福建高考]已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)過點(0，)，且離心率e＝.
(1)求橢圓E的方程；
(2)設直線l：x＝my－1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．
解 (1)由已知得，
解得
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為H(x0，y0)．
由
得(m2＋2)y2－2my－3＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，
從而y0＝.
所以|GH|2＝2＋y＝(my0＋)2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋.
＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)，
故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0，
所以|GH|>.
故點G在以AB為直徑的圓外．
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