高考數(shù)學(xué)（四海八荒易錯集）專題03 函數(shù)的圖像與性質(zhì) 理

專題03 函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1．(2016課標(biāo)全國乙)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為(　　) 答案　D 2．(2016山東)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>時，f＝f，則f(6)等于(　　) A．－2B．－1C．0D．2 答案　D 解析　當(dāng)x>時，f＝f，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1)．當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故選D. 3．(2016上海)設(shè)f(x)，g(x)，h(x)是定義域為R的三個函數(shù)，對于命題：①若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均為增函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)中至少有一個為增函數(shù)；②若f(x)＋g(x)，f(x)＋h(x)，g(x)＋h(x)均是以T為周期的函數(shù)，則f(x)，g(x)，h(x)均是以T為周期的函數(shù)，下列判斷正確的是(　　) A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題 答案　D 4．(2016北京)設(shè)函數(shù)f(x)＝ (1)若a＝0，則f(x)的最大值為________； (2)若f(x)無最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　(1)2　(2)(－∞，－1) 解析　(1)當(dāng)a＝0時，f(x)＝ 若x≤0，f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)． 由f′(x)＞0得x＜－1，由f′(x)＜0得－1＜x≤0. 所以f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增； 在(－1,0]上單調(diào)遞減，所以f(x)最大值為f(－1)＝2. 若x＞0，f(x)＝－2x單調(diào)遞減，所以f(x)＜f(0)＝0. 所以f(x)的最大值為2. (2)f(x)的兩個函數(shù)在無限制條件時圖象如圖． 由(1)知，當(dāng)a≥－1時，f(x)取得最大值2. 當(dāng)a＜－1時，y＝－2x在x＞a時無最大值，且－2a＞2. 所以a＜－1. 5．已知a>0，且a≠1，函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是圖中的(　　) 答案　B 6．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)等于(　　) A．1B.C．－1D．－ 答案　C 解析　由f(x－2)＝f(x＋2)?f(x)＝f(x＋4)， 因為4<log220<5，所以0<log220－4<1，－1<4－log220<0. 又因為f(－x)＝－f(x)，所以f(log220)＝f(log220－4)＝－f(4－log220)＝－f＝－1.故選C. 7．已知函數(shù)f(x)＝，則y＝f(x)的圖象大致為(　　) 答案　B 解析　方法一　由題意得， 解得f(x)的定義域為{x|x>－1，且x≠0}． 令g(x)＝ln(x＋1)－x，則g′(x)＝－1＝， 當(dāng)－1<x<0時，g′(x)>0； 當(dāng)x>0時，g′(x)<0. ∴f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)，對照各選項，只有B符合． 方法二　本題也可取特值，用排除法求解： f(2)＝<0，排除A. f＝＝<0，排除C，D，選B. 8．已知函數(shù)h(x)(x≠0)為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，h(x)＝若h(t)>h(2)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________． 答案　(－2,0)∪(0,2) 易錯起源1、函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 例1、(1)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，若f(log2m)<f(log4(m＋2))成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.≤m<2 B.≤m≤2 C．2<m≤4 D．2≤m≤4 (2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，則f(5a)的值是________． 答案　(1)A　(2)－ 解析　(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在[0,2]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在[－2,2]上單調(diào)遞增． 故由f(log2m)<f(log4(m＋2))， 可得 解－2≤log2m≤2，得≤m≤4； 解－2≤log4(m＋2)≤2，得≤m＋2≤16， 即－≤m≤14. 由log2m<log4(m＋2)，得log4m2<log4(m＋2)， 故有解得－1<m<2，且m≠0. 綜上可知，m的取值范圍是≤m<2，故選A. (2)由已知f＝f＝f＝－＋a， f＝f＝f＝＝. 又∵f＝f，則－＋a＝，a＝， ∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－. 【變式探究】(1)(2016四川)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)＝4x，則f＋f(1)＝________. (2)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為________． 答案　(1)－2　(2)－10 解析　(1)因為f(x)是周期為2的函數(shù)， 所以f(x)＝f(x＋2)． 而f(x)是奇函數(shù)， 所以f(x)＝－f(－x)． 所以f(1)＝f(－1)，f(1)＝－f(－1)，即f(1)＝0， 又f＝f＝－f， 故f＝－2，從而f＋f(1)＝－2. 【名師點(diǎn)睛】 (1)可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為給出解析式的范圍內(nèi)的函數(shù)值． (2)利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是化成f(x1)<f(x2)的形式． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．單調(diào)性：單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，規(guī)范步驟為取值、作差、判斷符號、下結(jié)論．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則． 2．奇偶性 (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定義域內(nèi)： ①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)； ②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是偶函數(shù)； ③一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)． (3)若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． (5)圖象的對稱性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱． 3．周期性 定義：周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．若函數(shù)在其定義域上滿足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，則其一個周期T＝|a|. 常見結(jié)論： (1)f(x＋a)＝－f(x)?函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|.(a≠0) (2)f(x＋a)＝?函數(shù)f(x)的最小正周期為2|a|. (a≠0) (3)f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝對稱． 易錯起源2、函數(shù)圖象及應(yīng)用 例2、(1)函數(shù)y＝的圖象大致為(　　) (2)已知函數(shù)f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f′(x)與g(x)的圖象不可能的是(　　) 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)首先根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可知y＝為(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(0)＝0，排除C，D；當(dāng)x＝時，顯然排除B，故選A. (2)因為f(x)＝＋， 所以f′(x)＝ax2－x＋， 若a＝0，則選項D是正確的，故排除D. 若a<0，選項B中的二次函數(shù)的判別式Δ＝1－4a＝1－2a2<0，所以a2>，又a<0，所以a<－. 二次函數(shù)f′(x)的圖象的對稱軸為x＝； 三次函數(shù)g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a， 所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2， 令g′(x)>0，得x<或x>， 令g′(x)<0，得<x<， 所以函數(shù)g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a的極大值點(diǎn)為x＝，極小值點(diǎn)為x＝； 由B中的圖象知<.但a<－，所以>， 所以選項B的圖象是錯誤的，故選B. 【變式探究】(1)函數(shù)f(x)＝cosx (－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為(　　) (2)已知三次函數(shù)f(x)＝2ax3＋6ax2＋bx的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，則函數(shù)f(x)與f′(x)的圖象可能是(　　) 答案　(1)D　(2)B 【名師點(diǎn)睛】 (1)根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖象，要從定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等方面入手，結(jié)合給出的函數(shù)圖象進(jìn)行全面分析，有時也可結(jié)合特殊的函數(shù)值進(jìn)行輔助推斷，這是解決函數(shù)圖象判斷此類試題的基本方法． (2)判斷復(fù)雜函數(shù)的圖象，常借助導(dǎo)數(shù)這一工具，先對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值，從而對選項進(jìn)行篩選．要注意函數(shù)求導(dǎo)之后，導(dǎo)函數(shù)發(fā)生了變化，故導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)定義域會有所不同，我們必須在原函數(shù)的定義域內(nèi)研究函數(shù)的極值和最值． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法，二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn)． 易錯起源3、基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì) 例3、(1)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)若函數(shù)若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 答案　(1)C　(2)C 解析　(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝1.5x在R上單調(diào)遞增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c. (2)方法一　由題意作出y＝f(x)的圖象如圖． 顯然當(dāng)a>1或－1<a<0時，滿足f(a)>f(－a)． 故選C. 方法二　對a分類討論： 當(dāng)a>0時，∴a>1. 當(dāng)a<0時，∴0<－a<1， ∴－1<a<0，故選C. 【變式探究】(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　) (2)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，且當(dāng)x∈(－∞，0)時，不等式f(x)＋xf′(x)<0恒成立，若a＝20.2f(20.2)，b＝ln2f(ln2)，c＝－2f(－2)，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)方法一　分a>1,0<a<1兩種情形討論． 當(dāng)a>1時，y＝xa與y＝logax均為增函數(shù)，但y＝xa遞增較快，排除C； 當(dāng)0<a<1時，y＝xa為增函數(shù)，y＝logax為減函數(shù)，排除A.由于y＝xa遞增較慢，所以選D. 方法二　冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象不過(0,1)點(diǎn)，排除A；B項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知0<a<1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越慢的變化趨勢，故B錯，D正確；C項中由對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax的圖象知a>1，而此時冪函數(shù)f(x)＝xa的圖象應(yīng)是增長越來越快的變化趨勢，故C錯． (2)構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，g′(x)<0，所以函數(shù)y＝g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減．因為函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，由此可知函數(shù)y＝g(x)是偶函數(shù)．根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)y＝g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又a＝g(20.2)，b＝g(ln2)，c＝g(－2)＝g(2)，由于ln2<20.2<2，所以c>a>b. 【名師點(diǎn)睛】 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是高考的必考內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用，同時考查分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法及其運(yùn)算能力． (2)比較代數(shù)式大小問題，往往利用函數(shù)圖象或者函數(shù)的單調(diào)性． 【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】 1．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象中的兩種情況的公共性質(zhì)． 2．冪函數(shù)y＝xα的圖象和性質(zhì)，主要掌握α＝1,2,3，，－1五種情況． 1．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝2x＋ D．y＝x＋ex 答案　D 解析　令f(x)＝x＋ex，則f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而A、B、C依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，故選D. 2．下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是(　　) A．f(x)＝x B．f(x)＝x3 C．f(x)＝()x D．f(x)＝3x 答案　D 3．函數(shù)f(x)＝x＋cosx的大致圖象是(　　) 答案　B 解析　∵f(x)＝x＋cosx，∴f(－x)＝－x＋cosx， ∴f(－x)≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)， 故函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C； 當(dāng)x＝時，x＋cosx＝＝x， 即f(x)的圖象與直線y＝x的交點(diǎn)中有一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，排除D.故選B. 4．已知函數(shù)f(x)＝的值域為R，那么a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1] B. C. D. 答案　C 解析　要使函數(shù)f(x)的值域為R， 需使　所以 所以－1≤a<，故選C. 5．設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝ x－1，則f，f，f的大小關(guān)系是(　　) A．f>f>f B．f>f>f C．f>f>f D．f>f>f 答案　A 6．已知符號函數(shù)sgnx＝f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則(　　) A．sgn[g(x)]＝sgn x B．sgn[g(x)]＝－sgn x C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)] D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 答案　B 解析　因為a>1，所以當(dāng)x>0時，x<ax，因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(x)<f(ax)，所以g(x)＝f(x)－f(ax)<0，sgn[g(x)]＝－1＝－sgnx；同理可得當(dāng)x<0時，g(x)＝f(x)－f(ax)>0，sgn[g(x)]＝1＝－sgnx；當(dāng)x＝0時，g(x)＝0，sgn[g(x)]＝0＝－sgnx也成立．故B正確． 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x－a|，若對?x1，x2∈[3，＋∞)，x1≠x2，不等式>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3] B．[－3,0) C．(－∞，3] D．(0,3] 答案　C 解析　由題意分析可知條件等價于f(x)在[3，＋∞)上單調(diào)遞增，又因為f(x)＝x|x－a|，所以當(dāng)a≤0時，結(jié)論顯然成立，當(dāng)a>0時，f(x)＝所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以0<a≤3. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，3]． 8.如圖所示的圖形是由一個半徑為2的圓和兩個半徑為1的半圓組成的，它們的圓心分別是O，O1，O2，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓弧按A→O→B→C→A→D→B的路線運(yùn)動(其中A，O，O1，O2，B五點(diǎn)共線)，記點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，設(shè)y＝|O1P|2，y與x的函數(shù)關(guān)系為y＝f(x)，則y＝f(x)的大致圖象是(　　) 答案　A 解析　當(dāng)x∈[0，π]時，y＝1. 當(dāng)x∈(π，2π)時，＝－，設(shè)與的夾角為θ，||＝1，||＝2，所以θ＝x－π，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosθ＝5＋4cosx，x∈(π，2π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞增，排除C，D. 當(dāng)x∈[2π，4π)時，因為＝－，設(shè)，的夾角為α，||＝2，||＝1，所以α＝2π－x，所以y＝||2＝(－)2＝5－4cosα＝5－4cosx，x∈[2π，4π)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是曲線，且單調(diào)遞減，排除B.故選A. 9．給出下列四個函數(shù)： ①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝. 當(dāng)0<x1<x2<1時，使f>恒成立的函數(shù)的序號是________． 答案?、冖? 解析　由題意知，滿足條件的函數(shù)圖象形狀為： 故符合圖象形狀的函數(shù)為y＝log2x，y＝. 10．已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 答案　 解析　由題意得解得≤a<3. 11．能夠把圓O：x2＋y2＝16的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為圓O的“和諧函數(shù)”，下列函數(shù)是圓O的“和諧函數(shù)”的是________． ①f(x)＝ex＋e－x； ②f(x)＝ln； ③f(x)＝tan； ④f(x)＝4x3＋x. 答案?、冖邰? 解析　由“和諧函數(shù)”的定義知，若函數(shù)為“和諧函數(shù)”，則該函數(shù)為過原點(diǎn)的奇函數(shù)，①中，f(0)＝e0＋e－0＝2，所以f(x)＝ex＋e－x的圖象不過原點(diǎn)，故f(x)＝ex＋e－x不是“和諧函數(shù)”；②中，f(0)＝ln＝ln1＝0，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝ln為“和諧函數(shù)”；③中，f(0)＝tan0＝0，且f(－x)＝tan＝－tan＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，故f(x)＝tan為“和諧函數(shù)”；④中，f(0)＝0，且f(x)為奇函數(shù)，故f(x)＝4x3＋x為“和諧函數(shù)”，所以②③④中的函數(shù)都是“和諧函數(shù)”． 12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(xiàn)(x)＝若f(－1)＝0，且對任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立． (1)求F(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍． 解　(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0， ∴b＝a＋1， ∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1. ∵f(x)≥0恒成立， ∴ 即 ∴a＝1，從而b＝2， ∴f(x)＝x2＋2x＋1， ∴F(x)＝ (2)由(1)知，g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1. ∵g(x)在[－2,2]上是單調(diào)函數(shù)， ∴≤－2或≥2， 解得k≤－2或k≥6. ∴k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．